Logica modale: differenze tra le versioni

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{{NN|filosofia|arg2=matematica|dicembre 2015}}

Nell'ambito della [[logica formale]], si indica come '''logica modale''' una qualsiasi logica in cui è possibile esprimere il "modo" in cui una proposizione è vera o falsa. Storicamente, gli studi di logica modale sono iniziati con i concetti di ''possibilità'' e ''necessità''<ref name=":0" />. Tuttavia, la logica modale contemporanea si occupa di numerosi altri concetti, come quello di ''obbligo morale'' o come quelli di ''credenza''. Esempi di proposizioni modali sono, quindi, "È possibile che piova" o "È necessario che Socrate sia mortale o non mortale", ma anche "È doveroso andare a votare" o "Socrate crede che piova".

== Introduzione ==

Nell'ambito della logica formale, si indica come '''logica modale''' una qualsiasi logica in cui è possibile esprimere il "modo" in cui una proposizione è vera o falsa. Storicamente, gli studi di logica modale sono iniziati con i concetti di ''possibilità'' e ''necessità''<ref name=":0" />. Tuttavia, la logica modale contemporanea si occupa di numerosi altri concetti, come quello di ''obbligo morale'' o come quelli di ''credenza''. Esempi di proposizioni modali sono, quindi, "È possibile che piova" o "È necessario che Socrate sia mortale o non mortale", ma anche "È doveroso andare a votare" o "Socrate crede che piova".

Gli '''operatori modali''' basilari sono <math>\Box</math> per esprimere la necessità e <math>\Diamond</math> la possibilità. Nella logica modale classica, ciascuno dei due operatori può essere espresso nei termini dell'altro e dell'operatore di negazione.

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:<math>\Box p \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p.</math>

Quindi si dirà che "È possibile che Socrate sia stato ucciso" [[se e solo se]] "Non è necessario che Socrate non sia stato ucciso".

Lo studio delle logiche modali trova applicazione in [[filosofia]], nell'investigazione dei fondamenti della [[matematica]], in [[informatica]] e nelle [[scienze cognitive]].

== Definizione degli operatori ==

:<math>\Box p \leftrightarrow \lnot \Diamond \lnot p</math>, non è una equivalenza fra i due membri, in cui sarebbe corretto sostituire al simbolo <math>\leftrightarrow </math>, quello di uguaglianza, se si guarda alla definizione comune di "necessario", che corrisponde a: ''ciò che è vero '''e''' che non può essere altrimenti'' (di cui non è possibile il contrario).<br> In simboli:<br/>

:<math>\Box p = p \land \lnot \Diamond \lnot p</math>. <br/>

Questa definizione dell'operatore di necessità, contiene l'assioma di necessità secondo cui: ''tutto ciò che è necessariamente vero, dovrebbe essere vero''.<br>

In simboli:<br />

:<math>\Box p \rightarrow p</math>, che è poi l'assioma T di cui si parla nel seguito. La definizione non è valida per le modalità deontiche. Infatti, per l'operatore di necessità, abbiamo due assiomi (vedi sotto), T (più diffuso nei sistemi modali) e D, in cui: ''la necessità implica la realtà, oppure la sola possibilità di un predicato''.

Per l'altro operatore di possibilità, A.[[Alfred Tarski]] definisce possibile tutto ciò che non è auto-contradditoriocontraddittorio, cioè: ''per cui vale la legge di non-contraddizione e del terzo escluso, in simboli:''.

In simboli:

Per l'altro operatore di possibilità, A. Tarski definisce possibile tutto ciò che non è auto-contradditorio, cioè: per cui vale la legge di non-contraddizione e del terzo escluso, in simboli:

:<math>\Diamond p = \lnot \lnot p \rightarrow p.</math>

Vale sempre la modalità ''ab esse ad posse'', secondo cui la realtà di un predicato implica sempre la sua possibilità:<br/>

:<math> p \rightarrow \Diamond p;</math>,
:assioma di possibilità il quale afferma che tutto ciò che è vero, è possibile; in genere non è esplicitato nei sistemi modali.

== Storia ==

La logica modale nasce in epoca classica con l'analisi delle proposizioni contenenti le espressioni ''necessario'' e ''possibile'' fatta da [[Aristotele]] negli ''[[Analitici Primi''primi]] e nel [[Sull''interpretazione|De Interpretatione'']]. Dopo di lui si occuparono di questo tipo di enunciati i [[Megarici]] e gli [[Stoici]].

Tali studi ebbero ampi sviluppi nel [[medioevoMedioevo]] nell'ambito della filosofia [[Scolastica (filosofia)|filosofia Scolastica]], in particolare ad opera di [[Guglielmo di Ockham]]. Risale a questa tradizione la qualificazione di ''modale'' per le espressioni che indicano il modo in cui una proposizione è vera.

La logica modale moderna nasce con le assiomatizzazioni datene nel 1932 da C. I. Lewis nel libro ''Symbolic Logic'', scritto con C. H. Langford. L'introduzione di queste assiomatizzazioni era rivolta alla soluzione dei paradossi dell'[[implicazione logica]] o materiale, come il fatto che una proposizione falsa implichi qualsiasi proposizione (''[[Ex falso sequitur quodlibet]]'') o che una proposizione vera sia implicata da qualsiasi proposizione. Lewis volle allora introdurre il concetto di ''implicazione stretta'', dove "''p implica strettamente q"'' significa "''non è possibile che p sia vero e q sia falso"'' (in simboli <math>\lnot \Diamond (p \land \lnot q)</math>, equivalente a <math>\Box(p \rightarrow q)</math>). I diversi insiemi di assiomi utilizzati da Lewis per descrivere l'implicazione stretta condussero a cinque sistemi noti come S1 - S5, di cui attualmente solo S4 e S5 sono utilizzati. L'implicazione stretta ha rappresentato una soluzione parziale ai due paradossi delle implicazioni materiali citati.<ref>{{cita libro|autore= Pasquale De Luca|url=https://books.google.it/books?id=oV71CgAAQBAJ&pg=PT204&lpg=PT204|pagina=204|titolo=Da Pitagora al mostro di Firenze|editore=Giuffrè|isbn=9788814169724|oclc=8622712544|anno=2011|serie=Diritto e rovescio. Nuova serie|città=Milano}} Citazione: ''"Benché risolva questi paradossi ne lascia aperti altri analoghi, [...] Con l'implicazione stretta i paradossi classici risultano sostanzialmente riformulati in termini modali e sopravvivono sotto mutate spoglie.''</ref>

Si consideri l'esempio: "i cittadini pagano le tasse", e gli enunciati modali "necessariamente i cittadini pagano le tasse", "si sa che i cittadini pagano le tasse", "credo che i cittadini paghino le tasse", mentre posso stabilire con certezza che "è possibile che i cittadini paghino le tasse" (dato che già avviene).

Eccetto l'operatore di possibilità quando si parte da una situazione vera o necessaria, gli operatori della logica modale non sono vero-funzionali: diversamente dai connettivi logici booleani (congiunzione, disgiunzione, implicazione, ecc.), per gli operatori modali non si può costruire una [[tabella della verità]] perché il valore di verità dipende ''ma non esclusivamente'' da quello degli enunciati semplici componenti, e in genere il fattore aggiuntivo è il valore di verità di quell'enunciato rispetto a situazioni alternative a quella reale.

Nel 1959 [[Saul Kripke]] definì una semantica per le logiche modali basata sul concetto di ''mondi possibili'' e sulla relazione di accessibilità tra mondi. Riuscì a costruire le tavole di verità per gli operatori di possibilità e necessità. In base a tale semantica, la proposizione "È necessario ''p''" è vera in un mondo ''w'' se è vera in tutti i mondi ''v'' accessibili da ''w''. L'introduzione di tale semantica ha dato inizio agli studi attuali sulle logiche modali. In simboli, abbiamo le definizioni di verità (valori 1 oppure 0) dei due operatori, proposte da Carnap in ''In Meaning and Necessity'':

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dove per "mondo possibile" si intendono quelli accessibili dal mondo scelto come attuale.

Con questa drastica restrizione di campo, non considerosono più considerate tutte le alternative, ma solo quelle possibili per una presa a riferimento: la verità o falsità di una formula modale dipendono non più da tutti i mondi possibili, ma dalla relazione R di accessibilità.

Le logiche modali sono estensioni della logica classica con conseguenze sul piano sintattico Ee semantico:<br/>

Le logiche modali sono estensioni della logica classica con conseguenze sul piano sintattico E semantico:<br/>

* Sul piano semantico le logiche modali sono estensioni della semantica classica che mantengono il principio della bivalenza (vero/falso) ma non quello della vero-funzionalità (la verità/falsità delle proposizioni composte non dipende solo da quella delle proposizioni elementari componenti, ma dalla relazione di accessibilità coi mondi possibili),

* Sul piano sintattico le logiche modali sono estensioni sintattiche della logica classica perché ne inglobano i segni del linguaggio (= alfabeto) e le regole del calcolo (= regole di deduzione).

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Come afferma [[Lorenzo Magnani]], nell'ambito della ''computer science'', ad esempio, ha insegnato alle macchine come imitare ragionamenti umani molto complessi<ref>[http://www.raiscuola.rai.it/lezione-embed/logica/4298/default.aspx ''Magnani: logica e possibilità'']</ref>, ad esempio con la [[bisimulazione]], cioè modelli di Kripke che usano un [[Sistema a transizione di stati]] al posto dei mondi possibili, per decidere la correttezza e la terminazione con successo di un programma informatico<ref name=":0">[https://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/#DeoLog James Garson, ''Modal Logic''], su ''Stanford Encyclopedia of Philosophy'', First published Tue Feb 29, 2000; substantive revision Tue May 27, 2014</ref>.

Nel 2020, nell'applicazione del calcolo proposizionale, sono noti elaboratori capaci di validare una dimostrazione di logica formale completa di tutti i passi logici, regole di calcolo applicate e relative assunzioni, ma non sono noti elaboratori capaci di elaborare autonomamente una dimostrazione, intesa come derivazione di una conclusione a partire da un insieme di una o più [[formula ben formata|formule ben formate]] assunte come premesse. In altre parole, l'elaboratore meccanico, elettronico o meccatronico è a posteriori in grado di confermare la correttezza o non correttezza di una dimostrazione eseguita da agenti umani, ma non è capace di eseguire una dimostrazione in modo tale da sostituirsi o superare l'operatore umano in tale tipo di ragionamento logico deduttivo.<ref>Edward J. Lemmon, ''Elementi di logica con gli esercizi risolti'', Giuseppe Laterza editore, cap. 1-''La logica proposizionale'', p. 43, ISBN 978-88-420-2772-0. Citazione: ''I calcoli aritmetici possono essere generati oltre che controllati, meccanicamente, mentre fin qui non abbiamo trovato alcun modo meccanico di generare prove - anche se, una volta scoperte, una macchina potrebbe certamente verificarne la validità.''</ref> Tale possibilità non è però stata esclusa a livello teoretico, data l'assimilazione della logica proposizionale al calcolo matematico numerico e letterale, già eseguito dagli elaboratori, e data la similitudine fra il formalismo di quest'ultima e quello della logica matematica.

== Modalità aletiche ==

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È il senso più debole, in quanto pressoché qualsiasi cosa intelligibile è logicamente possibile: gli asini possono volare, Socrate può essere immortale e la teoria atomica della materia può essere falsa.

Alla stessa maniera, pressoché nulla è logicamente impossibile:; una cosa logicamente impossibile è chiamata ''contraddizione''. È possibile che Socrate sia immortale, ma non è possibile che Socrate sia mortale e immortale. Molti logici ritengono che le verità matematiche siano logicamente necessarie (ad esempio è logicamente impossibile che 2+2 ≠ 4).

=== Possibilità fisica ===

Qualcosa è fisicamente possibile se è permesso dalle leggi della natura. Ad esempio, è possibile che ci sia un atomo con numero atomico 150, anche se nella realtà tale atomo non esiste. Per contro non è in questo senso possibile che ci sia un atomo il cui nucleo contenga formaggio. Mentre è logicamente possibile accelerare qualcosa oltre la [[velocità della luce]], secondo la scienza moderna ciò non è fisicamente possibile per un oggetto dotato di massa.

=== Possibilità metafisica ===

I filosofi possono prendere in considerazione le proprietà che gli oggetti hanno indipendentemente dalle leggi della natura. Ad esempio, potrebbe essere metafisicamente necessario che qualsiasi ente pensante abbia un corpo e possa avere esperienza del passaggio del tempo, o che Dio esista (o non esista).

La possibilità metafisica è generalmente ritenuta più forte di quella logica, nel senso che ci sono meno cose metafisicamente possibili di quante ce ne siano logicamente. È invece materia di dibattito filosofico il rapporto con la possibilità fisica, e il fatto se le verità metafisicamente necessarie siano tali "per definizione" o perché riflettono qualche fatto rilevante sulla realtà.

e il fatto se le verità metafisicamente necessarie siano tali "per definizione" o perché riflettono qualche fatto rilevante sulla realtà.

== Modalità epistemiche ==

{{senza fonte|Il contesto epistemico è caratterizzato dagli operatori di conoscenza, o epistemico (indicato con “K”, dall’inglese “to Know”, conoscere, sapere), e di credenza, o [[Logica doxastica|doxastico]] (indicato con “B”, dall’inglese “to Believe”, credere, essere sicuri, reputare), che nel linguaggio ordinario corrispondono rispettivamente alle espressioni "conosco, so che, p" e "credo che p, sono certo che p, reputo che p".

I due operatori sono condizionati da alcuni principi.

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* B1 Bp ⇏ p (essere certi di p non implica la verità di p)

* B2 Bp → ¬B¬p ([[principio di non contraddizione]] epistemico)

* B3 Bp → BBp (principio di introspezione)

* B4 ¬Bp → B¬Bp (tale principio prova che è impossibile dubitare di tutto, cioè che è impossibile non essere certi di dubitare)

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Le modalità temporali sono utilizzate per esprimere il [[valore di verità]] di una proposizione rispetto al tempo. Si hanno due coppie di operatori duali, una riferita al passato e una al futuro. Per il passato l'operatore <math>\Box</math> è letto come "È sempre stato vero che...", mentre l'operatore <math>\Diamond</math> come "C'è stato un istante in cui è stato vero che...". Per il futuro si avrà invece, rispettivamente, "Sarà sempre vero che..." e "Ci sarà un istante in cui sarà vero che...".

[[Bertrand Russell]], William[[Willard VonVan Orman Quine]], e John C. Smart proposero un approccio di de-temporalizzazione per ricondurre le proposizioni in modalità temporale al caso della logica classica, che è atemporale. Ogni proposizione temporale, passata o futura, ha una data sottintesa che deve essere esplicitata, dopodiché diventa indipendente dal tempo: atemporale e trattabile quindi con la logica classica, vale a dire omnitemporalmente vera o falsa. Ma non per tutte le proposizioni (si pensi a quelle future che devono ancora accadere) è possibile esplicitare una data ''nota'' che le renda atemporali.

Con l'approccio opposto di temporalizzazione abbiamo il calcolo logico effettuato con l'uso della logica classica e l'aggiunta di nuovi assiomi ed operatori temporali, che possono essere combinati tra loro. Con la temporalizzazione, la logica è polivalente (almeno trivalente, con tre possibili valori di verità), cioè valgono i principi di identità e non-contraddizione, ma non del terzo escluso: quindi, abbiamo valori di verità intermedi fra vero e falso; es. 1 (vero) , 0 (falso) , ½ (indefinito).

Nella più studiata delle logiche multimodali, la logica dei tempi verbali, dovuta a [[Arthur Prior|Arthur N. Prior]] (1951)<ref>PRIOR [[Arthur Norman Prior]], ''Time and modality'', Clarendon Press, Oxford, 1957.</ref>, abbiamo i due operatori di necessità e possibilità cui Prior aggiunge altri quattro operatori per le modalità temporali: gli operatori primitivi sono H e G, da leggere 'sempre in passato' (passato forte) e 'sempre in futuro' (futuro forte), mentre i loro duali sono P e F, ossia 'qualche volta in passato' (o anche 'è stato vero che', passato debole) e 'qualche volta in futuro' (o anche 'sarà vero che', futuro debole). La logica di Prior è un'estensione della logica classica, perché in essa le proposizioni atemporali sono trattate come casi particolari delle proposizioni temporali, sebbene verrebbe più naturale pensare il contrario, cioè che le frasi temporali vere o false in relazione a una singola data siano casi particolari rispetto a frasi vere o false in ogni tempo.

Rescher<ref>Nicholas RESCHERRescher&nbsp;–Alasdair – Alasdair URQUHARTUrquhart, ''Temporal logic'', Springer, Wien, 1971</ref> distingue fra proposizioni cronologicamente indefinite, quasi-proposizioni la cui verità dipende dal tempo dell'asserzione e che contengono pseudo-date ("ieri", "tre minuti fa"); dalle proposizioni cronologicamente definite, la cui verità è indipendente dal tempo e che contengono date. Rescher propone una logica che chiama ''logica topologica'', una logica temporalizzazione, che aggiungo un unico operatore P parametrizzato che trasforma una proposizioni indefinite in proposizione temporale (o meglio le relativizza a un dominio di proposizioni temporali), ma che possono essere più generalmente anche spaziali, situazionali.

== Modalità deontiche ==

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In tutti i sistemi deontici (assiologici, morali, legali), non vale l'assioma '''T''' (<math>\Box p \Rightarrow p</math>), sostituito dall'assioma '''D''': <math>\Box p \Rightarrow \Diamond p</math>.

L'assioma '''D''' ha l'importante funzione di garantire l'incontraddittorietà normativa, cioè il fatto che se è obbligatoria una certa proposizione p non può contemporaneamente esserlo anche la sua negazione ¬p (''ad'' ''impossibilia nemo tenetur'').

Gli assiomi '''T''' e '''D''' pongono un diverso rapporto fra il mondo originario (di solito quello attuale) e la parte degli altri mondi possibili con cui il mondo originario è in relazione e che quindi da esso sono accessibili. Mentre l'assioma '''T''' (la necessità implica la realtà) mette il mondo originante le relazioni sullo stesso piano degli altri perché sottoposto alle medesime necessitazioni (le leggi fisiche valgono anche nel mondo attuale), ciò non vale per l'assioma '''D''' (nel mondo originante la necessità deontica implica la possibilità).

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== Definizione di mondo possibile ==

La semantica formale di Tarski formalizza la semantica classica, e considera la verità delle formule come riguardante lo stato di cose di un unico mondo attuale. La semantica relazionale di Kripke è un'evoluzione della semantica formale di Tarski, in cui la verità viene a dipendere da stati di cose in mondi alternativi a quello attuale (i mondi possibili, accessibili da quello attuale), con queste interpretazioni:

* Nella metafisica e teologia naturale, —ee questo è il senso più antico del termine che risale a Leibniz—[[Leibniz]], la nozione può essere interpretata per formalizzare universi alternativi all'attuale, ma che Dio era libero di creare.

* Nelle scienze fisiche i mondi possibili possono, per esempio, rappresentare diversi stadi evolutivi dell'universo passati o futuri rispetto all'attuale, oppure possibili evoluzioni dell'universo compatibili con le stesse condizioni iniziali, ma mai realizzati.

* Nelle scienze biologiche possono rappresentare diversi processi evolutivi o stadi evolutivi della materia biologica distinti da quelli attualmente vigenti, ma ugualmente compatibili.

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* In epistemologia, possono essere interpretati come distinte rappresentazioni del mondo attuale.<ref>''LOGICA II: LOGICHE MODALI E INTENSIONALI Parte IV: Cenni di logica modale e di logiche intensionali'', Pontificia Università Lateranense, Roma, 2008, corso 50609</ref>

Kripke assume che i nomi sono dei «designatori rigidi», ovvero designano lo stesso individuo in tutti i mondi possibili contemplati dalla struttura-modello (sebbene possano designare individui differenti nei mondi di altre strutture modello). I predicati, e con essi gli enunciati atomici, cambiano valore semantico da un mondo all'altro, in modo da poter rappresentare il fatto che certi oggetti potrebbero soddisfare predicati diversi da quelli che soddisfano nel mondo attuale. Il fatto che dal punto di vista logico non siamo tenuti ad adottare una in particolare fra le infinite strutture-modello a disposizione dalla teoria, evita di perdersi in considerazioni metafisiche su quale sìa la migliore mappa della realtà e delle sue alternative possibili<ref>[[Achille C. Varzi]], ''Kripke: modalità e verità'', Achille C. Varzi, Versione finale pubblicata in ''Il genio compreso. La filosofia di Saul Kripke'' a cura di A. Borghini, Roma, Carocci Editore, 2010, pp. 23–78, 186–191</ref>.

Kripke assume che i nomi sono dei «designatori rigidi», ovvero designano lo stesso individuo

in tutti i mondi possibili contemplati dalla struttura-modello (sebbene possano designare individui differenti nei mondi di altre strutture modello). I predicati, e con essi gli enunciati atomici, cambiano valore semantico da un mondo all'altro, in modo da poter rappresentare il fatto che certi oggetti potrebbero soddisfare predicati diversi da quelli che soddisfano nel mondo attuale. Il fatto che dal punto di vista logico non siamo tenuti ad adottare una in particolare fra le infinite strutture-modello a disposizione dalla teoria, evita di perdersi in considerazioni metafisiche su quale sìa la migliore mappa della realtà e delle sue alternative possibili<ref>''Kripke: modalità e verità'', Achille C. Varzi, Versione finale pubblicata in ''Il genio compreso. La filosofia di Saul Kripke'' a cura di A. Borghini, Roma, Carocci Editore, 2010, pp. 23–78, 186–191</ref>.

Ugualmente la relazione di accessibilità fra mondi possibili può essere interpretata con i tipi di relazioni fra oggetti nelle diverse teorie (causali in fisica e metafisica, legali in logica, giuridiche in diritto, etcecc.), e portare a una teoria unificata delle varie semantiche per i sistemi di logica aletica, deontica ed epistemica, e ad una loro unica semplice rappresentazione tramite grafo orientato.

La relazione del mondo di partenza con gli altri mondi da questo accessibili, è di tipo euclideo, vale cioè la proprietà transitiva (a seconda del sistema formale scelto, se vale l'assioma '''T''' oppure '''D''' è anche simmetrica o asimmetrica; mai riflessiva):; se da u si accede a v, e se sempre da u si accede a w, ciò implica che da v si accede a w, cioè che i mondi possibili sono tutti in relazione tra loro. Si dimostra che poiché la relazione dal mondo di partenza è euclidea-transitiva, quelle tra i mondi possibili godono tutte di una riflessività e simmetricità (e transitività) secondaria.

== Assiomatizzazioni ==

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Se indichiamo con <math>m</math> un qualsiasi calcolo modale, questo si ottiene aggiungendo al linguaggio le regole caratteristiche di deduzione di m dette D(m), costituite dalle regole del calcolo classico D(k) più le regole tipiche del calcolo modale.

La regola comune a tutti i calcoli m è la Regola di necessitazione (N) vista in precedenza, pertanto K è detto sistema formale di logica modale ''fondamentale'', e dove vale N tutti i i calcoli modali sono detti anche normali. In funzione del sistema formale di calcolo K possono essere espressi in tutti gli altri sistemi formali, con le loro regole specifiche per il calcolo modale, derivate dalle combinazioni opportune degli assiomi esposti:

* '''K''': <math> D(K) = D(k) + N</math>

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* <math> KT4G \supset K46GF</math>

* <math> KT4S \supset KT4G</math>

Il duale di un assioma si ottiene ruotando di 45° i quadrati (in modo da convertire l'operatore di necessità in quello di possibilità e viceversa) e ruotando di 180° il simbolo della freccia (per invertire il verso dell'implicazione logica).<ref>{{cita web|url=https://www.johndcook.com/blog/2022/01/24/dual-axioms-in-modal-logic/|titolo=Dual axioms in modal logic|data=24 gennaio 2022|accesso=9 settembre 2023|dataarchivio=16 ottobre 2022|urlarchivio=https://archive.is/20221016172121/https://www.johndcook.com/blog/2022/01/24/dual-axioms-in-modal-logic/|urlmorto=sì}}</ref>

=== Interpretazione dei sistemi KT, KD e KD45 ===

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Il sistema formale '''T''' è tipico della necessità delle leggi della fisica. Con l'aggiunta dell'assioma 5, per cui '''T''' è vero in tutti i mondi possibili, otteniamo il sistema formale tipico di ogni possibilità metafisica.

Nei sistemi "misti" aletico-deontici tipo '''KD''' in cui si usa una particolare versione dell'assioma '''D(KQ)''', grazie a '''Q''' siaè possibile isolare il mondo attuale ''u'' in cui, grazie all'assioma '''T ''' valgono le necessitazioni ontiche (fisiche/metafisiche), da una particolare sottoclasse dei mondi possibili con cui è in relazione, quella dei “mondi buoni” in cui, cioè, gli obblighi deontici sono realtà.

Se la relazione di accessibilità tra mondo attuale e altri mondi '''R''' nel sistema formale '''KD''' è seriale, ad ogni mondo segue almeno un'alternativa deontica che non è mai realizzata nel mondo di partenza (altrimenti varrebbe l'assioma '''T'''), cioè esiste almeno un mondo possibile in cui è realizzato ciò che nel mondo attuale è solo doveroso. Partendo da un certo mondo possibile preso come situazione iniziale, la struttura di '''KD''' e in particolare il carattere seriale della relazione di accessibilità, configura un modello avente il carattere di '''progetto pratico o morale''', in cui ogni avanzamento avviene nella direzione di un maggiore perfezionamento.

In '''KD4''', con l'aggiunta dell'assioma '''4''', in base al quale p→p, ciò che è obbligatorio ad uno stadio del progetto rimane tale nell'evoluzione successiva e non può mai decadere (cumulatività degli obblighi). In '''KD5''' abbiamo la conservazione e cumulatività dei permessi, e si dimostra che non può esservi incremento dei permessi (dimostrazione valida anche per i permessi in KD4).

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In '''KD45''', designato anche come '''S5''' deontico, tanto gli obblighi che i permessi sono perciò conservati e non incrementati. La relazione '''R''' fra mondo attuale e tutti gli altri mondi è transitiva, asimmetrica, non riflessiva, euclidea: grazie al fatto che è euclidea, sono simmetriche, riflessive, transitive le relazioni esistenti fra tutti gli altri mondi di '''S5 secondario'''. Con l'evolversi del progetto deontico iniziale (vale a dire il mondo attuale), in ognuno dei mondi possibili obblighi e permessi si cumulano, mantengono un completo equilibrio diritti-doveri, vigono rigorosamente le stesse regole deontiche e in ognuno di essi (stante la relazione riflessiva xRx che tutti li caratterizza) sono realizzate (sono tutti cioè mondi buoni). La relazione asimmetrica dei mondi possibili con quello iniziale u, equivale a dire che nulla di ciò che appartiene ad essi può in alcun modo determinare u.

'''KD45''' è anche il sistema-base anche delle logiche epistemiche del “sapere fondato”, in cui il mondo di partenza è quello reale, e gli altri mondi accessibili sono interpretati come le possibili rappresentazioni date da noi al mondo reale:; dal mondo reale sono "causate", senza che valga il contrario, che si possa dire che la realtà oggettiva può cambiare in qualche modo perché noi ne abbiamo dato una qualche rappresentazione.

== Sistemi formali con regole di calcolo non-modali ==

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Il fatto che una legge logica A (che si può anche chiamare "teorema") abbia una tavola di verità sempre vera, a prescindere dalle variabili, vale a dire che sia sempre una tautologia, non implica che si sappia o si creda che sia una tautologia (potrebbe essere di forma estremamente complessa), e nemmeno che si sappia o si creda che A sia vera: per cui è naturale pensare che la mancanza della regola R debba essere condivisa anche da certe logiche modali non aletiche.

Kripke suggeriva di classificare i mondi possibili inclusi accessibili da quello preso a riferimento (W) in due categorie disgiunte: i mondi «normali» N e quelli «non normali» (nei quali, per esempio, la regola R e l'onniscienza logica non vige), e concentrare sui primi la struttura-modello. Formulando opportune condizioni sulla relazione R e sulla composizione di N, Kripke dimostrava la completezza di una varietà di logiche più deboli di K: E2 risulta completa rispetto alla classe di tutte le strutture-modello, mentre E3, S2 e S3 risultano complete nelle classi di strutture- modello in cui, rispettivamente, R è transitiva, N contiene α, e R è transitiva e N contiene la variabile individuale α.

== Note ==

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* [[Formula di Barcan]]

* [[Logica dinamica]]

* [[Pensiero controfattuale]]

== Altri progetti ==

Riga 275 ⟶ 282:

* {{SEP|logic-modal|Modal Logic|James Garson}}

* {{SEP|logic-epistemic|Epistemic Logic|Rasmus Rendsvig & John Symons}}

* {{cita web|url=https://web.archive.org/web/20060723023641/http://lgxserve.ciseca.uniba.it/lei/biblioteca/lr/public/mugnai-1.0.pdf|titolo= Logica modale e mondi possibili|autore=Massimo Mugnai|accesso=21 marzo 2018|dataarchivio=23 luglio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20060723023641/http://lgxserve.ciseca.uniba.it/lei/biblioteca/lr/public/mugnai-1.0.pdf|urlmorto=sì}}

* {{cita web|url=http://mally.stanford.edu/notes.pdf|titolo=Basic Concepts in Modal Logic|autore=Edward N. Zalta}}

* {{cita web|url=httpshttp://webwww.archivehorizons-2000.org/web/20190604094042/http://www2.cc.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems%20Ideas%20and%20Meaning/indexJohn%20Halleck%27s%20Logic%20System%20Interrelationships.html|titolo=ListLogic of LogicSystem SystemsInterrelationships}} Lista delle logiche modali più comuni

{{Controllo di autorità}}

{{portale|filosofia|matematica}}

[[Categoria:Logica matematica]]