Modulo libero: differenze tra le versioni

Versione delle 10:06, 23 ago 2020

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== Definizione e basi ==

Sia <math>A</math> un [[anello (algebra)|anello]] e <math>M</math> un [[modulo (algebra)|modulo]] su <math>A</math>. <math>M</math> è libero se esiste un insieme <math>E</math> di elementi di <math>M</math> tali che:

*<math>E</math> genera <math>M</math>: ogni elemento di <math>M</math> può essere scritto come [[combinazione lineare]] (finita) di elementi di <math>E</math>, ossia per ogni <math>m</math> in <math>M</math> esistono <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math> ed <math>e_1,\ldots,e_n\in E</math> tali che <math>m=a_1e_1+\cdots+a_ne_n</math>;

*<math>E</math> è [[indipendenza lineare|linearmente indipendente]]: se esistono <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math> ed <math>e_1,\ldots,e_n\in E</math> tali che <math>a_1e_1+\cdots+a_ne_n=0</math>, allora tutti gli <math>a_i</math> sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un [[insieme di generatori]] (ad esempio si può prendere <math>E=M</math> stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulo <math>\mathbb{Z}_n</math> delle [[aritmetica modulare|classi di resto]] modulo <math>n</math>.

Se <math>A</math> è un [[campo (matematica)|campo]], gli <math>A</math>-moduli sono gli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]], e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli <math>A</math>-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli <math>A</math>-moduli sono liberi, e <math>A</math> è [[anello commutativo|commutativo]], allora <math>A</math> è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di [[commutatività]], <math>A</math> deve essere un [[corpo (matematica)|corpo]].

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento <math>m</math> come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la [[somma diretta]] di copie di <math>A</math>.