Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel]] (ZF), il '''Teoremateorema di Cantor''', sviluppato dall'omonimo matematico tedesco [[Georg Cantor]], è un teorema che afferma che per ogni insieme <math>A</math>, di qualsiasi [[cardinalità]] arbitraria (finita o infinita), il suo [[insieme delle parti]] <math>\mathcal P(A)</math> ha sempre cardinalità strettamente maggiore.:

:<math>card(\mathcal P(A)) > card(A)</math>

Per quanto riguarda gli insiemi finiti, il teorema di Cantor si dimostra semplicemente enumerando gli elementi dei due insiemi e confrontandone la cardinalità. La cardinalità di <math>A</math> è <math>n</math>. La cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math>, contando l'insieme vuoto <math>\emptyset</math> e <math>A</math> stesso come sottoinsiemi di <math>A</math>, vale <math>2^n</math>. Di conseguenza il teorema vale, perché <math>2^n > n</math> per ogni [[Intero positivo|intero non negativo]].

Il vero e proprio teorema di Cantor specifica che questa proprietà degli insiemi finiti non si estingue quando la loro cardinalità diviene infinita. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei [[Numero naturale|numeri naturali]] <math>\mathcal P(\N)</math>, dove <math>\N</math> è un [[Insieme numerabile|infinito numerabile]] con cardinalità <math>\aleph_0 = card(\N)</math>, è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei [[Numero reale|numeri reali]] <math>\R</math>, spesso definita come [[cardinalità del continuo]].

:<math>card(|\mathcal P(A))| > card(|A)|.</math>

La relazione che lega la cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math> con quella di <math>A</math> è espressa dalla disequazione <math>2^{\aleph_0} > \aleph_0</math>. In particolare, l'insieme delle parti di un insieme numerabile (o non numerabile) è un insieme non numerabile.

La relazione che lega la cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math> con quella di <math>\mathcal P(A)</math> è espressa dalla disequazione <math>|A| < 2^{\aleph_0|A|} > \aleph_0</math>. In particolare, l'insieme delle parti di un insieme numerabile (o non numerabile) è un insieme non numerabile.

Il teorema di Cantor ha avuto un impatto immediato e importante sulla [[filosofia della matematica]]. Ad esempio, nell'applicare iterativamente l'insieme delle parti di un insieme infinito e successivamente il teorema di Cantor, otteniamo una gerarchia infinita di cardinalità infinite, ognuna strettamente maggiore della precedente. Di conseguenza, il teorema implica che non esiste una cardinalità massima per un insieme. Di conseguenza, i livelli gerarchici delle cardinalità infinite sono anch'esse infinite.<ref>{{Cita libro|autore=Marco Bramanti|autore2=Pagani Carlo Domenico|autore3=Sandro Salsa|titolo=Analisi Matematica 1}}</ref>

IlNel verocaso ein propriocui teorema<math>A</math> disia Cantorun specificainsieme checon questacardinalità proprietànumerabile, deglisotto insiemil'[[ipotesi finitidel noncontinuo]], siil estinguesuo quandoinsieme ladelle loroparti è un insieme con cardinalità divienenon infinitanumerabile. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei [[Numero naturale|numeri naturali]] <math>\mathcal P(\N)</math>, (dove <math>\N</math> è un [[Insieme numerabile|infinito numerabile]] con cardinalità <math>\aleph_0 = card(|\N)|</math>,) è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei [[Numero reale|numeri reali]] <math>\R</math>, spessocioè definita comela [[cardinalità del continuo]].

Il teorema di Cantor ha avuto un impatto immediato e importante sulla [[filosofia della matematica]]. Ad esempio, nell'applicare iterativamente l'insieme delle parti di un [[insieme infinito]] e successivamente il teorema di Cantor, otteniamo una gerarchia infinita di cardinalità infinite, ognuna strettamente maggiore della precedente. Di conseguenza, il teorema implica che non esiste una cardinalità massima per un dato insieme., Dio conseguenzaequivalentemente, che i livelli gerarchici delle cardinalità infinite sono anch'esseessi infiniteinfiniti.<ref>{{Cita libro|autore=Marco Bramanti|autore2=Pagani Carlo Domenico|autore3=Sandro Salsa|titolo=Analisi Matematica 1}}</ref>

== Dimostrazione ==

Il teorema si divide in due casi, in base alla cardinalità di <math>A</math>.

Se la cardinalità di <math>A</math> è finita, il teorema di Cantor si dimostra semplicemente enumerando gli elementi dei due insiemi e confrontandone la cardinalità.

Per definizione di cardinalità, abbiamo <math>card(X) < card(\bar{X})</math> per due insiemi generici <math>X</math> e <math>\bar{X}</math>, se e solo se esiste una funzione [[Funzione iniettiva|iniettiva]], ma non [[Corrispondenza biunivoca|biettiva]] da <math>X</math> a <math>\bar{X}</math>.

La cardinalità di <math>A</math> è <math>n</math>. La cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math> corrisponde al numero di sottoinsiemi impropri generabili a partire dagli elementi di <math>A</math>, che risulta essere <math>2^n</math>. Di conseguenza il teorema vale, dato che <math>2^n > n, \ \forall n \in \N</math>.

Di conseguenza, è sufficiente dimostrare che non c'è [[suriezione]] da <math>X</math> a <math>\bar{X}</math>. Questo è il cuore del teorema di Cantor: non esiste una funzione suriettiva da un insieme al suo insieme delle parti. Per dimostrarlo, basta far vedere che non è possibile per una funzione <math>f</math> mappare tutti gli elementi di un insieme qualsiasi <math>A</math> a tutti i sottoinsiemi generati dall'insieme delle parti <math>\mathcal P(A)</math>.

Se la cardinalità di <math>A</math> è infinita, presi due insiemi generici <math>X</math> e <math>S</math>, per definizione stessa di cardinalità abbiamo che <math>|X| < |S|</math> [[se e solo se]] tutte le funzioni da <math>X</math> a <math>S</math> non sono suriettive (o equivalentemente ogni [[funzione iniettiva]] non è anche suriettiva).

Quindi dobbiamo dimostrare l'esistenza di un elemento in <math>P(A)</math> che non è contenuto nell'immagine di <math>f</math> (Ogni <math>f(x)</math> è sottoinsieme di <math>A</math>).

Basta far vedere che non esiste una funzione <math>f</math> capace di mappare tutti gli elementi di un insieme qualsiasi <math>A</math> a tutti gli elementi di <math>\mathcal P(A)</math>.

Sia <math>f</math> una generica funzione da <math>A</math> a <math>\mathcal P(A)</math>:

:<math>f\colon A \to \mathcal P(A).</math>

Un sottoinsieme con le proprietà appena descritte è dato dalla seguente costruzione, chiamatoderivato dall'[[argomento diagonale di Cantor]].

:<math>B=\left\{x\in A : x\not\in f(x)\right\} \in \mathcal P(A).</math>

Supponiamo per assurdo quindi, che esista una funzione <math>f</math> suriettiva da <math>A</math> a <math>\mathcal P(A)</math>.

Tale sottoinsieme avrà come elementi costitutivi tutti gli elementi appartenenti ad <math>A</math>, che però non appartengono al sottoinsieme di cui sono [[controimmagine]].

Per qualche valore particolare di <math>\xi \in A</math>, si ha allora <math>f(\xi) = B</math>. Si considerano ora i due casi possibili:

Supponiamo per assurdo quindi, che esista una funzione <math>f</math> suriettiva da <math>A</math> a <math>\mathcal P(A)</math> (e che quindi ogni elemento di <math>\mathcal P(A)</math> abbia controimmagine in <math>A</math>).

PerNecessariamente qualcheci valoresarà particolareun diqualche valore <math>\xi \in A</math>, sila hacui allorafunzione <math>f(\xi)</math> =sarà uguale a <math>B</math> . SiCi consideranosono ora i due casi possibili:

:<math>\xi \not\in B</math> oppure <math>\xi \in B.</math>

Allora si giunge alla seguente contraddizione:

Allora:

:<math>\begin{aligned}
\xi \in f(\xi) &\iff \xi \in B && \text{(dall'assunzione che }f(\xi)=B\text{)}; \\

\xi\in B &\iff \xi\notin f(\xi) && \text{(per definizione di }B\text{)}.\end{aligned}</math>

Si ha quindi una contraddizione. Quindi non esiste un valore <math>\xi \in A : f(\xi) = B</math>.

In altre parole, <math>B</math>Quindi non èesiste nell'immagineun divalore <math>f</math>,\xi e\in <math>fA</math> non mappa a tutti gli elementitale diche <math>f(\mathcal P(Axi)</math>, e quindi= <math>fB</math> non è suriettiva.

Per completare il teorema non resta che trovare una funzione iniettiva <math>g\colon A \to \mathcal P(A).</math>

Ossia, <math>B</math> non è nell'immagine di <math>f</math>, e <math>f</math> non mappa a tutti gli elementi di <math>A</math> in <math>\mathcal P(A)</math>. <math>f</math> non è suriettiva. Per completare il teorema non resta che trovare una funzione iniettiva <math>g\colon A \to \mathcal P(A).</math> Questa funzione è molto semplice ed è definita come la [[funzione identità]] che mappa <math>x</math> all'insieme contenente solamente <math>x</math>. stesso:

:<math>g(x)=\{x\}.</math>

La dimostrazione è terminata, in quanto abbiamo stabilito la diseguaglianza stretta per ogni insieme <math>A</math> tale che <math>card(\mathcal P(A)) > card(A)</math>

== Note ==

<references/>

== Voci correlate ==

Line 41 ⟶ 56:

* [[Georg Cantor]]

* [[Paradosso dell'ipergioco]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==

Line 48 ⟶ 66:

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[Categoria:Teoremi di matematica|Cantor]]