Operatore differenziale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[Operatore (matematica)|operatore]] definito come una funzione dell'operatore di [[derivata|derivazione]].

{{T|lingua=inglese|argomento=matematica|data=giugno 2006}}

In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[operatore]] [[trasformazione lineare|lineare]] definito come una funzione dell'operatore [[derivata|differenziazione]].

Nel seguito si trattano operatori differenziali [[trasformazione lineare|lineari]], che sono i maggiormente diffusi, sebbene esistano anche diversi operatori differenziali non lineari.

==Notazioni==

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:

Il più semplice operatore differenziale è la [[derivata]]. Una notazione comune è <math>{d \over dx}</math> o <math>D_x</math>, mentre quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata si usa solo <math>D</math>. Per le derivate successive si usa rispettivamente <math>d^n \over dx^n</math>, <math>D^n</math> e <math>D^n_x</math>. La notazione <math>D</math> è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math> nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]].

: <math>{d \over dx}</math>

==Operatori differenziali lineari==

: <math>D,\,</math> quando la variabile di differenziazione è chiara, e

Un operatore differenziale lineare è un particolare operatore differenziale che agisce come una [[trasformazione lineare]], cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono valide particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:

:<math>A = \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n},</math>

: <math>D_x,\,</math> quando la variabile è dichiarata esplicitamente.

che applicato a un elemento dello [[spazio funzionale]] <math>f(x)</math>:

Per le derivate successive

: <math>d^A f(x)= \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \overfrac{d^n f(x)}{dx^n}.</math>

In generale un operatore è rappresentato da una [[matrice quadrata]] e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice.

: <math>D^n\,</math>

===Proprietà===

: <math>D^n_x.\,</math>

Le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali:

:<math>(A+B) f = Af + Bf \qquad (A \cdot B) f = A(Bf) \qquad (AB)C = A(BC) \qquad A(B+C) = AB + AC.</math>

La notazione D è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma

Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:

:<math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>

:<math>AB \ne BA.</math>

nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]].

Definendo [[commutatore (matematica)|commutatore]]:

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^nAB {\partial^2\over- \partialBA = x_k^2}.[A,B]</math>

si può dire che due operatori commutano [[se e solo se]]: <math>[A,B]=0</math>.

Un altro operatore differenziale è l'operatore &Theta;, definito come

===Polinomi===

:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

Ogni [[polinomio]] in <math>D</math> con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola:

:<math>(D_1 \circ D_2)(f) = D_1 [D_2(f)].</math>

<!--==Adjoint of an operator==

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore <math>D_2</math> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore <math>D_1</math> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre, questo anello non è [[commutativo]] poiché un operatore <math>gD</math> non è in generale uguale a <math>Dg</math>. Per esempio, si veda la relazione in [[meccanica quantistica]]:

Given a linear differential operator

: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>

the '''adjoint''' of this operator is defined as the operator <math>T^*</math> such that

: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle</math>

where the notation <math>\langle,\rangle</math> is used for the [[scalar product]] or [[inner product]]. This definition therefore depends on the definition of the scalar product. In the functional space of [[square integrable]] functions, the scalar product is defined by

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx. </math>

:<math>Dx -xD = 1.</math>

If one moreover adds the condition that ''f'' and ''g'' vanish for <math>x \to a</math> and <math>x \to b</math>, one can also define the adjoint of ''T'' by

Il sottoanello degli operatori che sono polinomi in <math>D</math> con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u]</math>.

===Potenza e funzione di operatore===

This formula does not explicitly depend on the definition of the scalar product. It is therefore sometimes chosen as a definition of the adjoint operator. When <math>T^*</math> is defined according to this formula, it is called the '''formal adjoint''' of ''T''.

Definiamo ''potenza ennesima'' di un operatore, l'operatore:

:<math>A^n=\underbrace{ A\cdot A \cdots A }_{n}.</math>

A '''self-adjoint''' operator is an operator adjoint of itself.

Se la funzione <math>F(t)</math> è sviluppabile in [[serie di potenze]] di Mc Laurin:

The [[Sturm-Liouville theory |Sturm-Liouville]] operator is a well-known example of formal self-adjoint operator. This second order linear differential operators ''L'' can be written in the form

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;\!</math>

This property can be proven using the formal adjoint definition above.

: <math>\begin{matrix}

L^*u &=& (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\

&=& -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\

&=& -(pu)''+(p'u)'+qu \\

&=& -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\

&=& -p'u'-pu''+qu \\

&=& -(pu')'+qu

&=& Lu\\

\end{matrix}</math>

:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n,</math>

This operator is central to [[Sturm-Liouville theory]] where the [[eigenfunctions]] (analogues to [[eigenvectors]]) of this operator are considered.-->

allora si definisce la funzione <math>F(A)</math> come:

==Proprietà degli operatori differenziali==

:<math>F(A)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_n A^n.</math>

Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle [[derivata|derivate]], che sono lineari

==Operatore aggiunto==

: <math>D (f+g) = (Df) + (Dg)</math>

{{vedi anche|Operatore aggiunto}}

Dato un operatore lineare differenziale:

: <math>D (af)Tu = \sum_{k=0}^n a a_k(Dfx) D^k u</math>

l'aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che:

dove ''f'' e ''g'' sono funzioni e ''a'' è una costante.

: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle,</math>

Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizione di prodotto scalare. Nello spazio funzionale delle [[funzione a quadrato sommabile|funzioni a quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

:(''D''₁o''D''₂)(f) = ''D''₁ [''D''₂(''f'')].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore ''D''₂ deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore ''D''₁ richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è [[commutativo]]: un operatore ''gD'' non è in generale uguale a ''Dg''. Per esempio la relazione semplice in [[meccanica quantistica]]

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx .</math>

:''Dx'' &minus; ''xD'' = 1.

Se a questo aggiungiamo la condizione che <math>f</math> e <math>g</math> tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in ''D'' con [[coefficienti costanti]] è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u].</math>

==Più variabili==

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di ''operatore aggiunto formale''.

La stessa costruzione può essere usata con le [[derivata parziale|derivate parziali]].

L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]]. L'operatore differenziale del secondo ordine <math>L</math> può essere scritto nella forma:

==Descrizione indipendente dalle coordinate==

In [[geometria differenziale]] e in [[geometria algebrica]] è spesso conveniente avere una descrizione degli operatori indipendente dalle [[coordinata|coordinate]].

<!--In [[differential geometry]] and [[algebraic geometry]] it is often convenient to have a [[coordinate]]-independent description of differential operators between two [[vector bundle|vector bundles]]. Let ''E'' and ''F'' be two vector bundles over a [[manifold]] ''M''. An operator is a mapping of [[vector bundle|sections]], ''P'': &Gamma;(''E'') &rarr; &Gamma;(''F'') which maps the [[sheaf (mathematics)|stalk]] of the [[sheaf (mathematics)|sheaf]] of [[sheaf (mathematics)|germs]] of &Gamma;(''E'') at a point ''x'' &isin; ''M'' to the [[fibre bundle|fibre]] of ''F'' at ''x'':

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math>

:&Gamma;_''x''(''E'') &rarr; ''F''_''x'' .

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

An operator ''P'' is said to be a '''''k''th order differential operator''' if it factors through the [[jet (mathematics)|jet bundle]] ''J''^k(''E''). In other words, there exists a linear mapping of vector bundles

:<math>\begin{align}

:''i''_''P'' : ''J''^''k''(''E'') &rarr; ''F''

L^*u &= (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu)\\

&= -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\

&= -(pu)''+(p'u)'+qu\\

&= -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\

&= -p'u'-pu''+qu\\

&= -(pu')'+qu \\

&= Lu

\end{align}</math>

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[Autovettore e autovalore|autovettori]])

such that ''P'' = ''i''_''P'' o ''j''^''k'' as in the following composition:

==Esempi==

:''P'' : &Gamma;_''x''(''E'') &rarr; ''J''^''k''(''E'')_''x'' &rarr; ''F''_''x'' .

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come:

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.</math>

A foundational result and characterization is the [[Peetre theorem]].

Un altro operatore differenziale è l'operatore <math>\Theta</math>, definito come:

==Esempi==

:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

* In applications to the physical sciences, operators such as the [[Laplace operator]] play a major role in setting up and solving [[partial differential equation]]s.

* In [[differential topology]] the [[exterior derivative]] and [[Lie derivative]] operators have intrinsic meaning.

== Bibliografia ==

* In [[abstract algebra]], the concept of a [[derivation (abstract algebra)|derivation]] allows for generalizations of differential operators which do not require the use of calculus. Frequently such generalizations are employed in [[algebraic geometry]] and [[commutative algebra]]. See also [[jet (algebraic geometry)]].

*{{Cita libro | cognome=Evans | nome=Lawrence C. | titolo=Partial differential equations | annooriginale=1998 | url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf | editore=[[American Mathematical Society]] | città=Providence, R.I. | edizione=2nd |serie=Graduate Studies in Mathematics | anno=2010 | volume=19| id={{MathSciNet | id = 2597943}} }}

* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

*Rozhdestvenskii, B.L., in Hazewinkel, Michiel, [[Encyclopedia of Mathematics]], Springer, 2001 ISBN 978-1556080104

==See alsoVoci correlate ==

* [[Difference operatorDerivata]]

* [[DeltaDerivata operatorparziale]]

* [[EllipticEquazione operatordelle onde]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica]]

* [[Fractional calculus]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]]

-->

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica]]

* [[Operatore aggiunto]]

* [[Operatore autoaggiunto]]

* [[Trasformazione lineare]]

* [[Notazione per la differenziazione]]

== Collegamenti esterni ==

==Voci correlate==

* {{Collegamenti esterni}}

* [[Operatore differenziale lineare]]

{{Controllo di autorità}}

[[Categoria:Calcolo a più variabili]]

{{Portale|matematica}}

[[Category:Operatori differenziali]]

[[Categoria:Operatori differenziali| ]]

[[de:Differentialoperator]]

[[en:Differential operator]]

[[es:Operador diferencial]]

[[fi:Differentiaalioperaattori]]

[[pl:Operator różniczkowy]]

[[pt:Operador diferencial]]

[[ru:Дифференциальный оператор]]