Prodotto cartesiano: differenze tra le versioni

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In [[matematica]]File:Cartesian ilProduct '''prodottoqtl1.svg|miniatura|250x250px|Prodotto cartesiano''' di due [[insieme|insiemi]] ''<math>A'' e\times ''B'' è l'insieme delle coppie ordinate <math>(a,b)</math> condegli insiemi <math>a A=\{x,y,z\in A}</math> e <math>b B=\in B{1,2,3\}</math>:]]

In [[matematica]] il '''prodotto cartesiano''' di due [[insieme|insiemi]] <math>A</math> e <math>B</math> è l'insieme delle [[coppia (matematica)|coppie ordinate]] <math>(a,b)</math> con <math>a</math> in <math>A</math> e <math>b</math> in <math>B</math>. Formalmente:

:<math>A\times B :=\{(a,b) : a \in A \; \mathrm{e} \; b\in B\}.</math>

Il prodotto cartesiano non è commutativo, cioè <math>A\times B\neq B\times A</math>, e inoltre anche quando ''A'' e ''B'' sono due copie dello stesso insieme si ha in generale <math>(a,b)\neq(b,a)</math>. Il prodotto cartesiano può essere esteso al caso di ''n'' insiemi considerando l'insieme delle n-uple ordinate:

:<math>A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n := \{(a_1, a_2, \ldots, a_n) : a_i \in A_i \; \forall i\}</math>

e identificando <math>A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n</math> con <math>A_1\times (A_2 \times \cdots \times A_n)</math>, in questo modo il prodotto cartesiano risulta associativo. Il prodotto cartesiano di ''n'' copie di un insieme ''A'' viene indicato con <math>{A}^n</math>.

:<math>A\times B :=\{(a,b) : a \in A \; \land \; b\in B\}.</math>

Ogni sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi costituisce una [[relazione binaria]]. Le [[matricematrici]] sono funzioni che hanno come dominio un prodotto cartesiano.

Se <math>A</math> e <math>B</math> sono insiemi distinti, i prodotti <math>A\times B</math> e <math>B\times A</math> sono formalmente distinti, anche se sono in naturale [[corrispondenza biunivoca]].

Il prodotto cartesiano è molto utilizzato in matematica per costruire insiemi complessi a partire da insiemi semplici, inoltre se gli insiemi di partenza hanno qualche struttura aggiuntiva (ad esempio una [[spazio topologico|topologia]], o una struttura di [[gruppo (matematica)|gruppo]]) è spesso possibile costruire una struttura analoga sul loro prodotto cartesiano.

Il prodotto cartesiano può essere esteso alla composizione di <math>n</math> insiemi considerando l'insieme delle <math>n</math>-uple ordinate:

:<math>A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n := \{(a_1, a_2, \ldots, a_n) : a_i \in A_i \; \forall i=1,\ldots,n\}.</math><ref>{{Cita|M. Manetti|p. 21|manetti}}.</ref>

Possiamo identificare in modo canonico <math>A_1\times A_2\times\cdots\times A_n</math> con <math>A_1\times (A_2\times\cdots\times A_n)</math>; in questo modo il prodotto cartesiano risulta naturalmente associativo.

Il prodotto cartesiano di <math>n</math> copie di un insieme <math>A</math> viene indicato con <math>A^n</math> e può essere chiamato potenza cartesiana. Si osserva che questo insieme si può identificare con l'insieme delle [[funzione (matematica)|funzioni]] dall'insieme <math>\{1,2,\ldots,n\}</math> in <math>A</math>.

== Proprietà del prodotto cartesiano ==

Il numero di elementi (o [[cardinalità]]) del prodotto cartesiano di due insiemi è il prodotto del numero di elementi dei due insiemi. Generalizzando, il numero di elementi del prodotto cartesiano di <math>n</math> insiemi è il prodotto del numero di elementi di ogni insieme.

Gli elementi di questi prodotti cartesiani si chiamano anche [[sequenza finita|sequenze finite]]; quando gli insiemi fattore coincidono e sono finiti si usa anche il termine [[Calcolo combinatorio#Disposizioni con ripetizioni|disposizioni con ripetizione]]. Ricordiamo anche che vengono detti [[Stringa (linguaggi formali)|stringhe]] o parole gli elementi della potenza cartesiana <math>n</math>-esima di un [[alfabeto]], insieme finito di oggetti semplici che si possono chiamare caratteri, lettere o simboli.

Ogni [[sottoinsieme]] del prodotto cartesiano di due insiemi costituisce una [[relazione binaria]]. Le [[matrice|matrici]] sono le funzioni che hanno come [[dominio (matematica)|dominio]] un prodotto cartesiano.

Il prodotto cartesiano è una costruzione formale molto utilizzata in matematica per costruire insiemi complessi a partire da insiemi semplici; se gli insiemi di partenza hanno qualche struttura aggiuntiva (ad esempio una [[spazio topologico|topologia]], o una struttura di [[gruppo (matematica)|gruppo]]) è spesso possibile costruire una struttura analoga sul loro prodotto cartesiano.

== Prodotto cartesiano generalizzato ==

Il prodotto cartesiano è definito anche su una quantità infinita di insiemi. Siano <math>X_i</math>, con <math>i\in I</math>, degli insiemi parametrizzati da un insieme di indici <math>I</math>. Definiamo il loro prodotto come:

:<math>\prod_{i \in I} X_i := \{ f\colon I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ f(i) \in X_i \; \forall i \},</math>

e cioè come l'insieme delle funzioni definite su <math>I</math> che mandano ogni elemento <math>i</math> in un elemento di <math>X_i</math>. Se <math>I</math> è un insieme finito <math>\{1,2,\ldots,n\}</math> questa definizione di prodotto cartesiano coincide con quella data sopra.

=== Relazione con l'assioma della scelta ===

L'[[assioma della scelta]] si può riformulare in termini di proprietà del prodotto cartesiano generalizzato; più precisamente si può dimostrare essere equivalente alla seguente affermazione:

: Il prodotto cartesiano generalizzato di una famiglia <math>\mathcal F=\{A_i: i \in I\}</math> non [[insieme vuoto|vuota]] di insiemi non vuoti è non vuoto

che viene talvolta chiamata assioma moltiplicativo.

== Esempi di interesse geometrico ==

Il [[piano (geometria)|piano]] cartesiano è costruito come prodotto cartesiano <math>\mathbb{R}\times\mathbb{R}</math> di due copie della [[retta reale]]. Questa costruzione è stata introdotta da [[Cartesio]] ed è alla base della [[geometria analitica]]; analogamenteda essa deriva il nome del prodotto che stiamo presentando. Analogamente lo [[Spazio (fisica)|spazio]] tridimensionale è il prodotto cartesiano <math>\mathbb{R}^3</math> di tre copie della retta reale e lo spazio delle ennuple di numeri reali <math>\mathbb{R}^n</math> è la sua generalizzazione ''<math>n''</math>-dimensionale. Simili costruzioni sipossonosi possono ottenere con prodotti cartesianocartesiani di insiemi come i numeri interi (v. [[piano combinatorio]]), i numeri razionali (v. [[piano razionale]]) o gli insiemi di classi di resti.

Un altro esempio di oggetto geometrico costruito tramite il prodotto cartesiano è il [[toro (geometria)|toro]], dato dal prodotto cartesiano di due [[circonferenza|circonferenze]]; la sua generalizzazione ''<math>n''</math>-dimensionale è definita come il prodotto cartesiano di ''<math>n''</math> circonferenze.

Se facciamo il prodotto di una quantità numerabile di copie di <math>\R</math>, parametrizzate con un [[numero naturale]] <math>1,2,\dots</math> (quindi l'insieme di indici <math>I</math> è l'insieme dei [[numeri naturali]]), otteniamo l'insieme delle successioni di numeri reali. Analogamente possiamo definire ad esempio l'insieme delle successioni di [[numeri interi]] o [[numeri razionali|razionali]].

== Strutture prodotto ==

== Strutture prodotto ==

Il prodotto cartesiano viene utilizzato per quel genere di costruzione che a partire da due o più strutture di una qualsiasi specie porta alla corrispondente struttura prodotto o a qualche sua variante. In particolare si può fare riferimento ai seguenti articoli e termini:

* [[Prodotto diretto|Prodotto diretto di magmigruppi]]

* [[Prodotto direttosemidiretto|Prodotto semidiretto di semigruppigruppi]]

* [[Prodotto diretto di gruppianelli]]

* [[Prodotto semidirettodiretto di gruppispazi vettoriali]]

* [[Prodotto diretto di anellialgebre]]

* [[Prodotto diretto di campiinsiemi ordinati]]

* [[Topologia prodotto]]

*[[Prodotto diretto di spazi vettoriali]]

* [[Varietà prodotto]]

*[[Prodotto diretto di algebre]]

*[[Prodotto diretto di insiemi ordinati]]

Dal punto di vista della [[teoria delle categorie]] il prodotto cartesiano è un [[prodotto diretto]] nella [[categoria degli insiemi]].

*[[Topologia prodotto]]

*[[Varietà prodotto]]

== Prodotto cartesiano di funzioni ==

Se <math>f</math> è una [[funzione (matematica)|funzione]] da <math>A</math> in <math>B</math> e <math>g</math> una funzione da <math>C</math> in <math>D</math>, si definisce come loro prodotto cartesiano e si denota con <math>f\times g</math> la funzione da <math>A\times C</math> in <math>B\times D</math> data da

:<math>(f \times g)(a,c) := (f(a), g(c)).</math>

== Unione di potenze cartesiane ==

La unione di tutte le potenze cartesiane positive e la poco diversa unione di tutte le potenze cartesiane naturali di alcuni insiemi costituiscono ambienti nei quali si collocano vantaggiosamente determinate entità. Consideriamo in particolare

:<math>\bigcup_{n=1}^\infty \R^n.</math>

Si tratta dell'insieme delle sequenze di lunghezza positiva arbitraria di [[numero reale|numeri reali]]. Per tale insieme si usa anche la scrittura <math>R^+</math> e viene chiamata ''cross'' chiusura dell'insieme <math>\R</math>. Gli elementi di questo insieme si possono identificare con i [[polinomio|polinomi]] di grado positivo con coefficienti in <math>\R</math>.

Costruzione poco diversa è quella che conduce alla cosiddetta ''star'' chiusura di un insieme. Consideriamo in particolare le potenze dell'insieme dei numeri complessi e l'unione

:<math>\mathbb{C}^\star := \bigcup_{n=0}^\infty \mathbb{C}^n.</math>

Si tratta dell'insieme delle sequenze di lunghezza arbitraria di [[numero complesso|numeri complessi]] e gli elementi di questo insieme si possono identificare con i polinomi di grado qualsiasi (non solo positivo) con coefficienti complessi. Questa costruzione si pone alla base delle considerazioni dello [[spazio vettoriale]] costituito dai polinomi in una variabile.

Altre interessanti costruzioni formali di questo genere sono quelle del [[semigruppo libero]] e del [[monoide libero]] su un dato alfabeto.

==Note==

<references/>

==Bibliografia==

* {{cita libro | cognome= Manetti | nome= Marco | titolo= Topologia| editore= Springer| anno= 2008|isbn= 978-88-470-0756-7|cid =manetti}}

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{FOLDOC|Cartesian product|Cartesian product}}

{{Teoria degli insiemi}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[Categoria:Matematica di base]]

[[Categoria:Operazioni binarie]]

[[Categoria:Cartesio]]

[[bg:Декартово произведение]]

[[cs:Kartézský součin]]

[[de:Kartesisches Produkt]]

[[en:Cartesian product]]

[[es:Producto cartesiano]]

[[fi:Karteesinen tulo]]

[[fr:Produit cartésien]]

[[ja:直積集合]]

[[lt:Dekarto sandauga]]

[[nl:Cartesisch product]]

[[pl:Iloczyn kartezjański]]

[[pt:Produto cartesiano]]

[[uk:Декартів добуток множин]]

[[zh:笛卡尔积]]