Insieme nullo (teoria della misura): differenze tra le versioni

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Nella [[teoria della misura]], un '''insieme nullo''' è un insieme trascurabile ai fini della [[misura (matematica)|misura]] usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi disi dovrebbe parlare di insiemi ''<math> ''m''\mu </math>-nulli'' per la data misura ''m''<math> \mu </math>.

''Il termine '''insieme nullo''' è talvolta usato come sinonimo di [[insieme vuoto]]. In altri casi, è usato nel senso più generale di [[insieme trascurabile]]''

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Nella [[teoria della misura]], un '''insieme nullo''' è un insieme trascurabile ai fini della [[misura (matematica)|misura]] usata. La classe degli insiemi nulli dipende dalla misura considerata. Quindi di dovrebbe parlare di insiemi '' ''m''-nulli'' per la data misura ''m''.

== Definizione ==

Sia ''<math> X'' </math> uno [[spazio misurabile]], sia ''m''<math> \mu </math> una misura su ''<math> X'' </math>, e sia ''<math> N'' </math> un [[insieme misurabile]] in ''<math> X'' </math>.

Se <math> \mu </math> è una [[misura positiva]], allora <math> N </math> è nullo [[se e solo se]] <math> \mu (N)=0 </math>.

Sia ''X'' uno [[spazio misurabile]], sia ''m'' una misura su ''X'', e sia ''N'' un [[insieme misurabile]] in ''X''.

Se ''m''<math> \mu </math> non è una [[misura positiva]], allora ''<math> N'' </math> è <math> \mu </math>-nullo [[Sese e<math> soloN </math> è <math> se|sse]]|\mu la||</math>-nullo, suadove misura<math> ''m''(''N'')|| \mu || </math> è la [[0variazione (numero)|zerototale]] di <math> \mu </math>; questo è più forte che richiedere <math> \mu (N)=0 </math>.

Se ''m'' non è una misura positiva, allora ''N'' è ''m''-nullo se ''N'' è |''m''|-nullo, dove |''m''| è la [[variazione totale]] di ''m''; questo è più forte che richiedere ''m''(''N'') = 0.

Un insieme non misurabile è considerato nullo se è un [[sottoinsieme]] di un insieme misurabile nullo.

Alcune fonti richiedono che un insieme nullo sia misurabile: comunque gli insiemi nulli sono sempre trascurabili per i fini della teoria della misura.

Parlando di insiemi nulli nell'[[spazio euclideo|''n''-spazio euclideo]] '''R'''<supmath>'' \mathbb{R}^n'' </supmath> è di solito sottointesosottinteso che la misura usata è quella di [[misura di Lebesgue|Lebesgue]].

== Proprietà ==

L'[[insieme vuoto]] è sempre un insieme nullo.

Più in generale, ogni [[unione (insiemistica)|unione]] [[numerabile]] di insiemi nulli è nulla.

Ogni sottoinsieme misurabile di un insieme nullo è nullo.

Insieme, questi fatti mostrano che gli insiemi ''m''<math> \mu </math>-nulli di ''<math> X'' </math> formano un [[sigma-ideale]] su ''<math> X'' </math>.

Allo stesso modo gli insiemi ''m''<math> \mu </math>-nulli misurabili formano un sigma-ideale della [[sigma-algebra]] degli insiemi misurabili.

Quindi gli insiemi nulli possono essere interpretati come [[insieme trascurabile|insiemi trascurabili]], definendo una nozione di [[quasi ovunque]].

=== Nella misura di Lebesgue ===

Per la misura di Lebesgue su '''R'''<supmath>'' \mathbb{R}^n'' </supmath>, tutti gli [[singleton (matematica)|insiemi di un punto]] sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli.

In particolare, L'insieme '''<math> \mathbb{Q'''} </math> dei [[numero razionale|numeri razionali]] è un insieme nullo, nonostante sia [[denso (topologia)|denso]] in '''<math> \mathbb{R'''} </math>.

L'[[insieme di Cantor]] è un esempio di insieme nullo [[insieme non numerabile|non numerabile]] in '''<math> \mathbb{R'''} </math>.

Più in generale, un sottoinsieme ''<math> N'' di\subseteq '''\mathbb{R'''} </math> è nullo se e solo se:

Per la misura di Lebesgue su '''R'''^''n'', tutti gli [[singleton (matematica)|insiemi di un punto]] sono nulli, e quindi tutti gli insiemi numerabili sono nulli.

: Dato un qualsiasi [[numero positivo]] &epsilon;<math> \varepsilon </math>, esiste una [[successione (matematica)|successione]] {''I''<submath>'' \{I_n\}_{n'' \in \mathbb{N}} </submath>} di [[intervallo (matematica)|intervalli]] tali che ''<math> N'' </math> è contenuto nell'unione degli ''I''<submath>''n'' I_n </submath> e la lunghezza totale degli ''I''<submath>''n'' I_n </submath> è minore di &epsilon;<math> \varepsilon </math>.

In particolare, L'insieme '''Q''' dei [[numero razionale|numeri razionali]] è un insieme nullo, nonostante sia [[denso (topologia)|denso]] in '''R'''.

Questa condizione può essere generalizzata a '''R'''<supmath>'' \mathbb{R}^n'' </supmath>, usando [[ipercubo|''n''-[[Cubo (geometria)|cubi]] al posto degli intervalli.

L'[[insieme di Cantor]] è un esempio di insieme nullo [[insieme non numerabile|non numerabile]] in '''R'''.

Più in generale, un sottoinsieme ''N'' di '''R''' è nullo se e solo se:

: Dato un qualsiasi [[numero positivo]] &epsilon;, esiste una [[successione (matematica)|successione]] {''I''_''n''} di [[intervallo (matematica)|intervalli]] tali che ''N'' è contenuto nell'unione degli ''I''_''n'' e la lunghezza totale degli ''I''_''n'' è minore di &epsilon;.

Questa condizione può essere generalizzata a '''R'''^''n'', usando ''n''-[[Cubo (geometria)|cubi]] al posto degli intervalli.

Di fatto l'idea può essere resa sensata in ogni [[varietà topologica]], anche se non è disponibile una misura di Lebesgue.

== Applicazioni ==

{{Vedivedi anche|Spazio Lp|Spazio di misura}}

*Gli insiemi nulli giocano un ruolo chiave nella definizione dell'[[integrale di Lebesgue]]: se le funzioni ''f'' e ''g'' sono uguali ovunque tranne che in un insieme di misura nulla, allora ''f'' è integrabile se e solo se ''g'' lo è, e gli integrali sono uguali.

*Uno [[spazio di misura]] in cui tutti tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto '''completo'''.

{{Vedi anche|Spazi di Lebesgue}}

*Uno [[spazio di misura]] in cui tutti tutti gli insiemi contenuti in un insieme nullo siano misurabili è detto '''completo'''.

Ogni misura non completa può essere completata andando a formare una misura completa, assumendo che gli insiemi nulli abbiano misura zero.

La misura di Lebesgue è un esempio di misura completa; in alcune costruzioni è definita come il completamento di una [[misura di Borel]] non completa.

{{Vedi anche|Spazio di misura}}

==Bibliografia==

* {{Cita libro

| lastcognome = Halmos

| firstnome = Paul R.

| authorlinkwkautore = Paul Halmos

| yearanno = 1974

| titletitolo = Measure Theory

| url = https://archive.org/details/measuretheory00halm

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| ___locationcittà = New York

| idisbn = ISBN 0-387-90088-8

}}

==Voci correlate==

*[[Teoria della misura]]

*[[Quasi ovunque]]

*[[Quasi certamente]]

== Collegamenti esterni ==

==Bibliografia==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

* {{cite book

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{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria della misura]]

[[de:Nullmenge]]

[[en:Null set]]

[[fi:Nollamittaisuus]]

[[fr:Ensemble négligeable]]

[[he:מידה אפס]]

[[pl:Zbiór miary zero]]

[[pt:Conjunto de medida zero]]

[[sv:Nollmängd]]