Funzione identità: differenze tra le versioni

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{{SF|analisi matematica|agosto 2014}}

In [[matematica]] si chiama '''funzione identità''' su un [[insieme]] ''<math>X''</math> unala [[funzione (matematica)|funzione]] chache associa ad ogni elemento l'elemento stesso.

La funzione identità su ''X'' si indica con id<submath>''X''</submath> osi indica con 1<submath>''X''\mathrm{id}_X</submath>. Essa ha dunque ''<math>X''</math> come [[dominio (matematica)|dominio]] e [[codominio]] ed è tale per cui per ogni ''<math>x''∈'' \in X''</math> si ha id<sub>''X''</submath>\mathrm{id}_X(''x'') ='' x''</math>.

In [[matematica]] si chiama '''funzione identità''' su un [[insieme]] ''X'' una [[funzione (matematica)|funzione]] cha associa ad ogni elemento l'elemento stesso.

== Proprietà ==

La funzione identità su ''X'' si indica con id_''X'' o con 1_''X''. Essa ha dunque ''X'' come [[dominio]] e [[codominio]] ed è tale per cui per ogni ''x''∈''X'' si ha id_''X''(''x'')=''x''.

La funzione identità è la più semplice tra le funzioni definibili su un insieme, ed è inoltre compatibile con praticamente tutte le [[struttura (matematica)|strutture matematiche]] possedute dall'insieme; viene infatti utilizzata come prototipo per definire gli [[automorfismo|automorfismi]], ovvero le funzioni interne ad un insieme, che ne conservano le strutture. All'interno del [[automorfismo#Gruppo di automorfismi|gruppo degli automorfismi]] di una data struttura, l'identità costituisce inoltre l'[[elemento neutro]] rispetto alla [[composizione di funzioni|composizione]] di morfismi.

==Esempi==

A seconda delle strutture su cui è applicata, la funzione identità riveste quindi diverse caratteristiche:

* Se ''X'' è l'insieme '''R''' dei [[numeri reali]] è possibile rappresentare visivamente la funzione id_'''R''' con il suo [[grafico di una funzione|grafico]] sul [[piano cartesiano]] che corrisponde alla bisettrice degli assi ''y''=''x''.

* su un insieme è una [[corrispondenza biunivoca|biiezione]];

* Se ''X'' è uno spazio vettoriale di dimensione ''n'' la funzione id_''X'' è una [[trasformazione lineare]] rappresentata dalla [[matrice identità]] di ordine ''n''.

* su qualunque [[struttura algebrica]] è un [[isomorfismo]];

* su uno [[spazio vettoriale]] è una [[funzione lineare]];

* su uno [[spazio metrico]] è una [[isometria]];

* su uno [[spazio topologico]] è un [[omeomorfismo]];

* su una [[varietà differenziabile]] è un [[diffeomorfismo]].

== Rappresentazioni ==

==Voci correlate==

*[[Inclusione canonica]]

La funzione identità può venire rappresentata in modi diversi a seconda delle caratteristiche degli insiemi su cui è definita; ad esempio:

* Se ''X'' è lsull'insieme '''<math>\mathbb{R'''}</math> dei [[numero reale|numeri reali]] è possibile rappresentare visivamente la funzione id<submath>'''\mathrm{id}_\mathbb{R'''}</submath> con il suo [[grafico di una funzione|grafico]] sul [[piano cartesiano]] che corrisponde alla [[bisettrice]] deglidel assiprimo ''y''=''x''.e terzo [[quadrante (geometria analitica)|quadrante]];

* Se ''X'' èsu uno spazio vettoriale di dimensione ''<math>n''</math> la funzione id_''X''identità è una [[trasformazione lineare]] rappresentata dalla [[matrice identità]] di ordine ''<math>n''</math>.

== Voci correlate ==

* [[Identità (matematica)]]

* [[Matrice identità]]

* [[Risoluzione all'identità]]

* [[Teoria delle categorie]]

* [[Inclusione canonica]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Funzioni speciali}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matematica di base]]

[[Categoria:Funzioni matematiche]]

[[Categoria:Matematica di base]]

[[da:Identitetsfunktion]]

[[Categoria:Funzioni matematiche|Identità]]

[[de:Identische Abbildung]]

[[en:Identity function]]

[[fi:Identiteettifunktio]]

[[fr:Application identité]]

[[ja:恒等関数]]

[[ko:항등 함수]]

[[lmo:Aplicazziú idéntica]]

[[nl:Identiteitsfunctie]]

[[pl:Odwzorowanie tożsamościowe]]

[[pt:Função identidade]]

[[ru:Тождественное отображение]]

[[sv:Identitetsfunktion]]

[[tr:Özdeşlik göndermesi]]

[[zh:恆等函數]]