Invarianza di scala: differenze tra le versioni

Versione delle 14:35, 15 apr 2022

Versione attuale delle 20:35, 30 mar 2025

(9 versioni intermedie di 6 utenti non mostrate)

Riga 1:

[[Image:Wiener process animated.gif|thumb|upright=2.3|Un [[processo di Wiener]] èha invarianteinvarianza di scala.]]

In [[fisica]] e [[matematica]], l''''invarianza di scala''' è una caratteristica degli oggetti o una [[legge fisica|legge fisico-matematica]] che non cambia forma se si scalano le lunghezze (o parimenti le energie) di un fattore comune. Il termine tecnico per questa trasformazione è [[dilatazione termica|dilatazione]] e la dilatazione può essere anche considerata come un sottoinsieme delle [[Trasformazione conforme|trasformazioni conformi]].

* In matematica, l'invarianza di scala spesso si riferisce all'invarianza di una singola [[funzione (matematica)|funzione]] o [[curva (matematica)|curva]]. Un concetto strettamente correlato è l'auto-similarità, dove la funzione o la curva in questione è invariante rispetto a un sottoinsieme discreto delle dilatazioni. È anche possibile che le [[Distribuzione di probabilità|distribuzioni di probabilità]] di un [[processo stocastico|processo casuale]] ammettano questo tipo di invarianza di scala o [[auto similarità]] (si veda per esempio il [[moto browniano]]).

Riga 25:

:<math>\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a).</math>

Considerando rotazioni della curva, l'invarianza si manifesta riscalando l'angolo, <math>\theta(\lambda r)</math>,; la trasformazione ovviamente lascia identica a se stessa la curva.

===Geometria proiettiva===

Riga 31:

L'idea di una invarianza di scala dei monomi si generalizza in un numero maggiore di dimensioni all'idea dei polinomi omogenei e più genericamente alle funzioni omogenee. Le funzioni omogenee sono la base naturale degli spazi proiettivi e i polinomi omogenei sono studiati come varietà proiettive in geometria proiettiva. La [[geometria proiettiva]] è un campo particolarmente fertile della matematica; nella sua forma più astratta, la geometria degli schemi, ha svariate connessioni con la [[teoria delle stringhe]].

[[Image:Kochsim.gif|thumb|La [[curva di Koch]] è [[auto similarità|auto similare]].]]

===Frattali===

Spesso comunemente i [[Frattale|frattali]] sono indicati come oggetti invarianti di scala sebbene sarebbe più corretto dire che sono piuttosto [[Auto similarità|auto-similari]]. Un frattale è uguale a se stesso tipicamente solamentesolo per un insieme discreto di valori di λ e anche le traslazioni e le rotazioni devono essere applicate in modo discreto per riottenere lo stesso frattale. Quindi per esempio, la [[curva di Koch]] scala con Δ = 1, ma il riscalamento è valido solo per valori di λ = 1 / 3n con n intero. Inoltre, la curva di Koch si riscala non solo rispetto all'origine, ma, in un certo senso, "dovunque": una copia in miniatura di tutto il frattale può essere ritrovata in qualsiasi punto della curva.

Alcuni frattali possono avere sequenze differenti di valori di invarianza di scala che sono studiate con l'analisi multifrattale.

Riga 50:

===Cosmologia===

Nella [[cosmologia (astronomia)|cosmologia]], lo spettro di potenza della distribuzione spaziale della radiazione di fondo cosmica è prossima ad essere una distribuzione invariante di scala. Sebbene in matematica questo significhi che lo spettro esibisce una [[legge di potenza]], in cosmologia il termine "invariante di scala" indica che l'ampiezza, ''P''(''k''), delle fluttuazioni primordiali come funzione del [[numero d'onda]], ''k'', è approssimativamente costante, cioè uno spettro piatto. Questo tipo di spettro è consistente con i modelli [[Inflazione (cosmologia)|inflativi]].

==Invarianza di scala nelle teorie quantistiche dei campi==

La dipendenza dalla scala di una [[teoria diquantistica dei campocampi]] (QFT) è caratterizzata dal modo in cui le sue [[costanti di accoppiamento]] dipendono dall'energia a cui avviene un dato processo. Questa dipendenza dall'energia è descritta dal [[gruppo di rinormalizzazione]], ed è codificata nella [[funzione beta (teoria quantistica dei campi)|funzione beta]] della teoria.

Per avere una teoria QFT invariante di scala, le sue costanti di accoppiamento devono essere indipendenti dalla scala di energia e questo è indicato dall'annullarsi della funzione beta della teoria. Queste teorie sono note come [[punto fisso|punti fissi]] del corrispondente flusso del gruppo di rinormalizzazione.

Riga 59:

===Elettrodinamica quantistica===

Un semplice esempio di teoria di campo quantistica invariante di scala è il [[campo elettromagnetico]] libero quantizzato senza alcuna particella carica. Questa teoria, come il suo corrispettivo classico, è invariante di scala semplicemente dato che non contiene al suo interno alcuna costante di accoppiamento (né con le assenti particelle cariche, né con gli stessi [[Fotone|fotoni]] dato che questi non interagiscono direttamente tra di loro).

Tuttavia in natura il campo elettromagnetico è accoppiato con le particelle cariche, come per esempio gli [[elettrone|elettroni]] o i [[positrone|positroni]]. La teoria quantistica che descrive sia i campi fermionici degli elettroni sia quelli elettromagnetici è nota come [[elettrodinamica quantistica]] (QED) e non è una teoria invariante di scala. Analizzando la funzione beta della QED, si ricava che la [[carica elettrica]] (che è il parametro di accoppiamento della teoria) cresce al crescere dell'energia . Quindi, mentre il campo elettromagnetico quantizzato senza particelle cariche '''è''' invariante di scala, la QED '''non''' è invariante di scala.

===Teorie di campo scalari prive di massa===

Riga 73:

===Teoria dei campi conforme===

Le teorie quantistiche invarianti di scala sono quasi sempre invarianti sotto l'azione di tutto il [[gruppo conforme]] e lo studio di queste teorie è noto come [[teoria dei campi conforme]] (CFT). Alcuni operatori nella CFT hanno delle ben definite dimensioni di scala, analoghe alla potenza <math>\Delta</math> dei casi precedenti. Tuttavia le dimensioni di scala degli operatori in una teoria CFT differiscono tipicamente da quelle classiche a causa di contributi quantistici noti come dimensioni di scala anomale.

==Transizioni di fase==