Base ortonormale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra lineare]], una '''base ortonormale''' di uno [[spazio vettoriale]] munito di [[prodotto scalare]] definito positivo è una [[base (algebra lineare)|base]] composta da vettori di [[norma (matematica)|norma]] unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno.

Una '''base ortogonale''' è una base di vettori ortogonali (ossia il cui prodotto scalare è nullo) rispetto al prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale, non necessariamente definito positivo. Si tratta di una condizione meno restrittiva rispetto a quella di ortonormalizzazione, e solitamente si costruiscono basi ortonormali a partire da basi ortogonali.

I concetti di base ortonormale e ortogonale generalizzano la nozione di [[sistema di riferimento]] nel [[piano cartesiano]], e rendono possibile definire degli assi perpendicolari, e quindi un sistema di riferimento che assegna ad ogni punto delle coordinate su uno spazio vettoriale con dimensione arbitraria.

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Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita sul campo <math>K</math>, nel quale sia definito un [[prodotto scalare]]. Una base ortogonale per <math> V </math> è una [[base (algebra lineare)|base]] composta da vettori <math>\mathbf v_1 \cdots \mathbf v_n</math> a due a due ortogonali, cioè tali che:<ref>{{Cita|Lang|pag. 151}}.</ref>

:<math> \langle \mathbf v_i , \mathbf v_j \rangle = 0, \quad i \ne j.</math>

Si ponga il prodotto scalare definito positivo. Una base ortonormale è una base ortogonale in cui ogni vettore ha [[norma (matematica)|norma]] uno, cioè tale che:<ref>{{Cita|Lang|pag. 155}}.</ref>

:<math> \langle \mathbf v_i , \mathbf v_j \rangle = \delta_{ij},</math>

dove <math>\delta_{ij}</math> indica il [[delta di Kronecker]].

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Se <math>B</math> è una base ortonormale si ha:

:<math>\mathbf x=\sum_{\mathbf v_i \in B}\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle \mathbf v_i.</math>

La [[norma (matematica)|norma]] di <math>\mathbf x</math> è quindi data da:<ref>{{Cita|Lang|pag. 154}}.</ref>

:<math>\|\mathbf x\|^2=\sum_{\mathbf v_i \in B}|\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle |^2.</math>

Se <math>B</math> è una base ortonormale di <math>V</math>, allora <math> V </math> è isomorfo a <math>\ell^2(B)</math> nel senso che esiste una mappa lineare e biunivoca <math>\Phi :\colon V \to \ell^2(B)</math> tale che:

:<math>\langle\Phi(\mathbf x),\Phi(\mathbf y)\rangle=\langle \mathbf x,\mathbf y\rangle,</math>

per ogni coppia di vettori <math>\mathbf x</math> e <math>\mathbf y</math> di <math> V </math>.

Se la base di vettori ortonormali <math>\mathbf v_1 \cdots \mathbf v_n</math> considerata non è contenuta in alcun altro sistema ortonormale, allora si ha un sistema ortonormale completo.

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e la [[norma (geometria)|norma]] di <math>v</math> è data dall'[[identità di Parseval]]:

:<math>\| \mathbf v\|^2=\sum_{\mathbf b\in B}|\langle \mathbf v, \mathbf b\rangle |^2.</math>

Inoltre il prodotto scalare fra due vettori è dato da:

:<math>\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle = \sum_{\mathbf b\in B} \langle \mathbf x,\mathbf b \rangle \langle \mathbf b,\mathbf y \rangle.</math>

Queste espressioni hanno senso anche se <math>B</math> è [[insieme non numerabile|non numerabile]]: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Le [[serie di Fourier]] sono un esempio.