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[[File:SoftGravitonTheorem.svg|miniatura|[[Scattering]] di ''n'' particelle in entrata e ''m'' in uscita con un [[gravitone]] uscente aggiunto a una gamba in uscita.]]
In [[fisica]], il '''teorema del gravitone ''molle''''' (''soft'' in inglese), formulato la prima volta da [[Steven Weinberg]] nel 1965,<ref name=":0">{{Cita pubblicazione|nome=Steven|cognome=Weinberg|data=1965-10-25|titolo=Infrared Photons and Gravitons|rivista=Physical Review|volume=140|numero=2B|pp=B516–B524|accesso=2021-08-19|abstract=x|doi=10.1103/PhysRev.140.B516|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.140.B516}}</ref> permette di calcolare la [[matrice S]], usata nel calcolo dell'esito degli [[Urto|urti]] tra [[Particella subatomica|particelle]], quando entrano in gioco [[Gravitone|gravitoni]] a bassa energia (''molli'').
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Il teorema vale anche mettendo dei fotoni al posto dei gravitoni, ottenendo così un corrispondente '''teorema del fotone ''molle'''''.
Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della [[gravità quantistica]] sotto forma di [[Teoria perturbativa (meccanica quantistica)|teoria quantistica perturbativa]], cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica
Theory of Gravity|autore=Mritunjay Verma|editore=Harish-Chandra Research Institute}}</ref>
Nel 2014 [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno esteso il teorema relativo al gravitone aggiungendo un termine che ne permette l'[[Teoria di gauge|invarianza di gauge]] per rotazioni, garantendo la conservazione globale del [[momento angolare]], invece dell'invarianza di gauge conseguente alla sola conservazione globale del [[Quantità di moto|momento lineare]], come nella versione scoperta da Weinberg. Tale estensione è associata all'effetto [[Effetto memoria gravitazionale|memoria gravitazionale di spin]].<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014}}</ref>
== Formulazione ==
Date delle particelle la cui interazione è descritta da una certa matrice ''S'' iniziale, aggiungendo un gravitone molle (cioè la cui energia è trascurabile rispetto all'energia delle altre particelle) che si accoppia a una delle particelle in entrata o uscita, la risultante matrice ''S''<nowiki/>' è
<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu
dove <math>p</math> è il momento della particella che interagisce con il gravitone, <math>p_G</math> è il momento del gravitone, <math>\
La formula deriva da uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] e l'ultimo termine con la [[O-grande|O grande]] indica che termini di ordine superiore non sono considerati.
▲dove <math>p</math> è il momento della particella che interagisce con il gravitone, <math>p_G</math> è il momento del gravitone, <math>\epsilon</math> è la sua [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzazione]] e il fattore'' ''<math>\eta</math> è uguale a 1 per le particelle uscenti o uguale a -1 per quelle entranti.
Nel caso di più gravitoni molli coinvolti, il fattore davanti a ''S'' è la somma dei fattori dovuti a ogni singolo gravitone.
Se al posto del gravitone
<math>{\cal S}' = \frac{\eta q p \cdot \epsilon}{p \cdot p_\gamma - i \eta \varepsilon} {\cal S} + O(p_\gamma^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1" />
con gli stessi parametri di prima ma con <math>p_\gamma</math> momento del fotone, <math>\epsilon</math> la sua [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|polarizzazione]] e <math>q</math>
Come sopra, nel caso di più fotoni occorre sommare i corrispondenti termini.
=== Estensione al termine successivo ===
Volendo estendere lo sviluppo della formula al termine successivo [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno dimostrato che per il gravitone vale la seguente relazione:
<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S}-i\sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu ({p_G}_\rho J^{\rho\nu}) \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^1)</math>,
dove <math>J^{\rho\nu}</math>rappresenta il momento angolare della particella che interagisce con il gravitone.<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014|pp=1-3|capitolo=1 .Introduction}}</ref>
[[:en:Francis_E._Low|F.E. Low]] per il fotone
[2] F. E. Low, “Scattering of light of very low frequency by systems of spin 1/2,” Phys. Rev. 96 (1954) 1428–32.
[4] F. E. Low, “Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions,”Phys. Rev. 110 (1958) 974–77.
== Dimostrazione ==
Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di
Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento <math>p_G</math>. Il calcolo esatto dell'ampiezza d'interazione richiederebbe la conoscenza della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie si può utilizzare uno sviluppo in [[serie di Laurent]], utilizzando come [[Polo (analisi complessa)|polo]] tale momento e considerando solo il primo termine dello sviluppo. In base alle [[Formule di riduzione LSZ|regole LSZ]] per calcolare le ampiezze di scattering si possono utilizzare le relative [[Propagatore#Propagatori relativistici|funzioni di Green]] in [[Ordinamento sul cammino|ordinamento temporale]] amputando (quindi ignorando) le gambe esterne.
Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman).
To derive this formula, let us take any scattering process with n incoming and
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'''propagator.'''
Andrew Strominger - Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory, p. 35
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re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.
In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem<ref>{{Cita
Weinberg’s soft graviton theorem [1] is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.▼
▲Weinberg’s soft graviton theorem<ref
https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1▼
▲https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1
== Note ==
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