Coppia (matematica): differenze tra le versioni

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In [[matematica]] con il termine '''coppia''' o con il termine equivalente più esplicito '''coppia ordinata''' si intende una collezione di due oggetti tra i quali si possa distinguere un primo componente (o membro) da un secondo componente, e si tratta del caso più semplice del concetto più generale di [[Ennupla|ennupla ordinata]]. La coppia che ha come primo componente un oggetto identificato da ''a'' e come secondo un oggetto identificato da ''b'' viene denotata con la scrittura <math>\langle a,b \rangle</math> o anche con la (''a'', ''b'').

La seconda notazione è usata più comunemente, soprattutto per il fatto di potersi ottenere più facilmente: tutte le tastiere rendono direttamente disponibili le parentesi tonde, mentre le parentesi angolate si possono visualizzare bene solo con un sistema come [[TeX]]. La scrittura (''a'', ''b''), tuttavia potrebbe essere confusa con un [[intervallo aperto]] della [[retta reale]] o con l'indicazione dei due argomenti di una funzione di due variabili; se il contesto non consente di eliminare una tale ambiguità, è opportuno ricorrere alla prima notazione.

L'[[insieme]] di tutte le coppie ordinate il cui primo componente appartiene ad un insieme ''X'' e il cui secondo membro si trova in un insieme ''Y'' viene chiamato [[prodotto cartesiano]] di ''X'' e ''Y'' e viene scritto ''X'' &times;× ''Y''. Ogni [[sottoinsieme]] di ''X'' &times;× ''Y'' viene chiamato [[relazione binaria]] fra ''X'' e ''Y''.

== Definizione ==

Una coppia ordinata si distingue da un insieme di due elementi per il fatto che <math>(a,b)</math> è diverso da <math>(b,a)</math>. Di conseguenza due coppie ordinate <math>(a_1,b_1)</math> e <math>(a_2,b_2)</math> sono uguali se e solo se <math>a_1</math> è uguale a <math>b_1a_2</math> e <math>a_2b_1</math> è uguale a <math>b_2</math>. Questa è la principale proprietà delle coppie ordinate, e pertanto qualunque definizione si dia di coppia ordinata, bisogna che a partire da essa sia possibile dimostrare il seguente teorema:

:<math>(a_1,b_1) = (a_2,b_2) \Leftrightarrow a_1=a_2 \land b_1=b_2</math>

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:<math>\{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\} = \{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\}</math>

Ora, per l'[[assioma di estensionalità]] due insiemi sono uguali se e solo se contengono gli stessi elementi,. perSi cuipossono neldistinguere secondodue insiemecasi. ciSe deve<math>a_1 essere\ne unb_1</math>, elementoe ugualedunque al'insieme <math>\{a_1,b_1\}</math>. Taleha elementodue nonelementi puòdistinti, allora deve essere <math>\{a_2,b_2a_1\}</math>, sicché= bisogna che sia <math>\{a_2\}</math>. Ma allora, sedunque <math>\{a_1\} = a_2</math> è ugualee adquindi <math>\{a_2\}b_1 = b_2</math>,. deveSe anche essereinvece <math>a_1 =a_2 b_1</math>., Passandoallora poisi all'insiemeha <math>\{\{a_1,b_1\}</math>\} esso,= per ragioni analoghe\{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\} non= può che essere uguale ad <math>\{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\}</math>, e poiché abbiamo già dimostrato chedunque <math>a_1 =a_2</math> bisognab_1 che= siaa_2 anche= <math>b_1=b_2</math>.

==Voci correlateBibliografia ==

* AZRIEL, L., "Basic Set Theory", Mineola N.Y., Dover, 2002 (1979), pp. 24-5. ISBN 9780486420790 [http://books.google.ch/books?id=TCIX3qis9pUC&printsec=frontcover&dq=Basic++Set+Theory&source=bl&ots=wWOxKcl9zG&sig=7o35KmS1v1yhzcCiXMNCts4dkSM&hl=fr&ei=oHy0Ta_SLInrOc2Q8PQI&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CGoQ6AEwCA#v=onepage&q&f=false]

* HOCHBERG, H., "The Wiener-Kuratowski Procedure and the Analysis of Order", "Analysis", 1981, 41, 161-63. [http://users.drew.edu/jlenz/hochberg-on-kuratowski.html]

*[[Ennupla|Ennupla ordinata]]

* KURATOWSKI, C., "Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles", "Fundamenta Mathematicae", 1921, 2, 161-71. [https://web.archive.org/web/20131021233518/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm2/fm2122.pdf]

* POTTER, M., "Set Theory and its Philosophy", Oxford, OUP, 2004, pp. 63-5. ISBN 9780199270415

== Voci correlate ==

* [[Ennupla|EnnuplaCoppia non ordinata]]

{{Portale|* [[Terna (matematica}})]]

* [[Quaterna]]

* [[Ennupla]]

== Collegamenti esterni ==

{{Portale|matematica}}

* {{Collegamenti esterni}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

{{Teoria degli insiemi}}

[[ar:أزواج مرتبة]]

{{Portale|Matematica}}

[[ca:Parell ordenat]]

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[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

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