Asintoto: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|ottobre 2015}}

[[File:1-over-x-plus-x.svg|thumb|Curva asintotica rispetto all'asse delle ordinate e alla retta y=x]]

Una retta è detta '''asintoto''' (dal [[Lingua greca|greco]] ''ἀσύμπτωτος'', composto didal [[αA|prefisso privativo]] +

[[''συμπίπτω]]'', lett. "{{Lett|che non tocca"}}) del [[grafico di una funzione]] quando la distanza di un punto qualsiasi della funzione da tale retta tende a 0 al tendere all'<math>\infty</math>infinito dell'[[ascissa]] o dell'[[Ordinata (piano cartesiano)|ordinata]] del punto.<ref name="Bergamini63">{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0|p=U63}}</ref>

Il termine '''asintoto''' è utilizzato in [[matematica]] per designare una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data. Con il termine ''asintoto'', senza ulteriori specificazioni, si intende, genericamente, una retta, a meno che dal contesto non emerga un altro significato, quando si vuole essere più specifici si parla di '''retta asintotica''' o, più in generale, di '''curva asintotica'''.

== Definizione ==

In matematica espressioni come "avvicinarsi indefinitamente" (o l'equivalente "tendere a") non sono definite rigorosamente, se non utilizzando in modo esplicito il concetto di [[limite (matematica)|limite]]. Volendo adottare un linguaggio più conforme a quello che si impiega nello studio dei limiti, si può dire che "la curva <math>A</math> è un asintoto della curva <math>C</math>" se, comunque si fissi una distanza minima, esiste un tratto contiguo, non limitato, della curva <math>C</math> che dista dall'asintoto <math>A</math> meno della distanza minima fissata.

In generale, la curva <math>C</math> può intersecare anche più volte il suo asintoto <math>A</math>. Tuttavia storicamente e in modo intuitivo, l'asintoto era considerato una curva <math>A</math> alla quale la nostra curva <math>C</math> si avvicina senza mai raggiungerla. Questo rende ragione della etimologia del termine, che deriva dal [[lingua greca antica|greco]] ἀσύμπτωτος ''a-sým-ptōtos'', dove ''a-'' ha un valore privativo, mentre ''sým-ptōtos'' è composto da ''syn-'', "con", e ''ptōtós'', un aggettivo che connota ciò che "cade". Dunque ''sým-ptōtos'' descrive ciò che "cade assieme", ovvero ciò che "interseca", e ''a-sým-ptōtos'' etimologicamente descrive ciò che "non interseca", nel senso che si diceva poco fa. Volendo si può fare ricorso ada un linguaggio figurato e dire che c'è una "intersezione all'infinito" fra <math>A</math> e <math>C</math>. È questa particolare "intersezione all'infinito" che rende <math>A</math> "asintoto" di <math>C</math>.

== Rette asintotiche ==

=== Asintoto verticale ===

La retta di equazione <math>x=a</math> è '''un asintoto verticale''' allaper curvail rappresentativagrafico della funzione <math>y = f(x)</math>, se vale almeno una delle seguenti relazioni:<ref>{{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|anno=1993|url=https://archive.org/details/lezionidianalisi00made|cognome=Maderna C. e Soardi P.M.|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4|p=[https://archive.org/details/lezionidianalisi00made/page/n132 256]}}</ref><ref name="Bergamini63" />

# <math>\lim_{x \to a^{-}} f(x)=\pm\infty;</math>

# <math>\lim_{x \to a^{+}} f(x)=\pm\infty.</math>

La retta di equazione <math>x=a</math> puòè essereun asintoto verticale ascendente o discendente da sinistra (o da destra) a seconda che <math>f(x)</math> tenda a più infinito o a meno infinito. Inda generale la ricerca degli asintoti verticali per una funzione si effettua calcolando i limiti destro e sinistrosinistra (o unoda di questidestra), e, in tal caso, vale comunque la definizione data.

Per esempio la [[tangente (matematica)|funzione tangente]] ha un numero infinito di asintoti verticali in corrispondenza dei valori <math>\frac{ \pi}{2}+k\pi</math> con <math>k \in \mathbb{Z}</math>, cioè le rette <math>x = \frac{\pi}{2}+k\pi</math> sono asintoti verticali.

Un altro esempio è il [[logaritmo naturale]] il quale ha come asintoto verticale la retta <math>x = 0</math>.

=== Asintoto orizzontale ===

La retta di equazione <math>y=c</math> è '''un asintoto orizzontale''' allaper la curva di equazione <math>y = f(x)</math>, se:<ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0|p=U65}}</ref>:

:<math>\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = c </math>

:<math>\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = c .</math>

In generale, si ha un asintoto orizzontale quando la funzione è scrivibile nella forma: <math>y = c + h(x)</math>

dove <math>h(x)</math> è una funzione infinitesima nell'intorno dell'infinito (tende a zero per <math>x</math> tendente ad infinito) e <math>c</math> è un valore finito.

In generale, si ha un asintoto orizzontale quando la funzione è scrivibile nella forma: <math>y = c + h(x),</math> dove <math>h(x)</math> è una funzione infinitesima nell'intorno di infinito (tende a zero per <math>x</math> tendente a infinito) e <math>c</math> è un valore finito.

=== Asintoto obliquo ===

A volte può esistere un asintoto obliquo, ovveroossia la funzione tende asintoticamente ada una retta di equazione <math>y = m xmx + q.</math><ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0|pp=U142-143}}</ref>.

Questo accade quando si ha

:<math>\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-(mx+q) \right] = 0</math>

Questo accade quando si ha

:<math>\begin{align}

\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-(mx+q) \right] = 0

\end{align}</math>

e una condizione analoga si ha per i limiti a <math>-\infty</math>.

Esiste un teorema che afferma<ref>{{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|anno=1993|url=https://archive.org/details/lezionidianalisi00made|cognome=Maderna C. e Soardi P.M.|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4|p=[https://archive.org/details/lezionidianalisi00made/page/n134 258]}}</ref> che la condizione necessaria e sufficiente affinché <math>y = m x + q</math> sia asintoto obliquo del grafico di <math>f(x)</math> per <math> x_0\to +\infty </math> è che esista finito: il limite

:<math>\lim_{x\to+\infty}\frac {f(x)}{x}\;</math> e che sia <math>\lim_{x\to+\infty}\frac {f(x)}{x} = m</math>

e che esista finito anche:

e che sia

:<math>\begin{align}

\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-mx \right]

:<math>\lim_{x\to+\infty}\frac {f(x)}{x} = m</math>

\end{align}\;</math> e che sia <math>\begin{align}

\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-mx \right] = q

e che esista finito anche: il limite

\end{align}</math>

L'enunciato per <math> x_0\to -\infty </math> è identico.

:<math>\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-mx \right]</math>

e che sia

:<math>\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x)-mx \right] = q.</math>

L'enunciato per <math> x_0\to -\infty </math> è identico.

Come esempio notevole consideriamo la funzione

:<math> f(x) = \sqrt{1+x^2}</math>

il cui grafico è contenuto in una [[iperbole (geometria)|iperbole]]. Si può facilmente verificare che le rette <math>y = \pm x</math> sono asintoti rispettivamente a <math>\pm \infty</math>.

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== Altri asintoti ==

=== Punto asintotico ===

Un esempio è la [[spirale]].

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=== Curva asintotica ===

[[File:Trid1111.jpg|miniatura|Tridente di Newton]]

Una curva di equazione

Una curva di equazione <math>y=\frac{(ax^3+bx^2+cx+d)}{x}</math> ammette una parabola asintoto di equazione <math>y=ax^2+bx+c</math> e un'iperbole asintoto di equazione <math>y=\frac{d}{x}</math>. La figura costituisce un [[tridente di Newton]].

:<math>y=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x}</math>

Una curva di equazione <math>y=\frac{(ax^3+bx^2+cx+d)}{x}</math> ammette una parabola asintoto di equazione <math>y=ax^2+bx+c</math> e un'iperbole asintoto di equazione <math>y=\frac{d}{x}</math>. La figura costituisce un [[tridente di Newton]].

==Note==

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== Altri progetti ==

{{interprogetto|wikt=asintoto|wikt_etichetta=asintoto|preposizione=sull'}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

*{{Treccani|asintoto}}

{{Analisi matematica}}