Distribuzione di Pascal: differenze tra le versioni

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{{F|matematicastatistica|maggio 2017}}

{{Variabile casuale

| nome = Distribuzione di Pascal, o binomiale negativa <math>\mathcal{NB}(p,n)</math>

| tipo = distribuzione discreta

| pdf_image =[[ImageFile:Negbinomial.gif|300px|Distribuzione di probabilità]]

| cdf_image =

| parametri = <math>p \in [0,1]\ </math><br /><math>q=1-p</math><br /><math>n\in\mathbb{N}</math> oppure <math>r\in\mathbb{R}</math>

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| pdf = <math>{k+n\choose k-1}p^k\ =\ {-n\choose k}p^n(-q)^k</math>

| cdf = <math>I_p(n,k+1)\ </math><br /><small>[[funzione beta di Eulero#Funzione beta incompleta|funzione Beta incompleta regolarizzata]] </small>

| media =<math>\frac{nnq}{p}</math>

| mediana =

| moda =

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La probabilità di fallimento di una singola prova è <math>q=1-p</math>.

La [[probabilità]] che si verifichino esattamente ''k'' fallimenti prima di ottenere un totale di ''n'' successi è data dalla probabilità di ottenere un successo nella prova numero ''k+n'' (<math>X_{k+n}=1</math>) '''e''' di ottenere esattamente ''k'' fallimenti e ''n-1'' successi nelle prove precedenti, ovvero

:<math>P(k)={k+n-1\choose k}p^nq^k</math>,

dove il [[coefficiente binomiale]] ''conta'' il numero di possibili combinazioni di ''successi'' e ''fallimenti''.

Questa probabilità può anche essere scritta nella forma ''binomiale negativa''

:<math>P(k)={-n \choose k}p^n(-q)^k</math>,

dove si considera la generalizzazione del coefficiente binomiale

:<math>{-n\choose k}=\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-k+1)}{k!}=(-1)^k{n+k-1\choose k}</math>.

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Alcuni testi definiscono la distribuzione di Pascal come quella che descrive il numero di prove fino al successo ''n''-esimo, ed altri scambiano i termini ''successo'' ed ''insuccesso'' nella definizione. Per collegare queste definizioni basta rispettivamente considerare la variabile aleatoria <math>T_n+n</math> al posto di <math>T_n</math> nel primo caso e scambiare i valori di ''p'' e ''q'' nell'altro.

===[[Distribuzione geometrica]]===

Una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] <math>T_n</math> con distribuzione di Pascal <math>\mathcal{NB}(p,n)</math> è pari alla somma <math>Y_1+...+Y_n</math> di ''n'' variabili aleatorie [[Variabili dipendenti e indipendenti|indipendenti]] con uguale [[distribuzione geometrica]] <math>\mathcal{G}(p)-1</math>, poiché a differenza della distribuzione geometrica che rappresenta il numero totale di tentativi necessari per ottenere un successo, una variabile binomiale negativa descrive i fallimenti, quindi il numero di tentativi - 1, ovvero il successo. Questo si può vedere considerando come <math>Y_i</math> la variabile aleatoria che ''conta'' il numero di ''fallimenti'' intercorsi tra il ''successo'' numero <math>i-1</math> e il ''successo'' numero <math>i</math>: le <math>Y_1,...,Y_n</math> sono allora indipendenti ed hanno distribuzione geometrica di parametro ''p'' sottratto di uno perché la distribuzione geometrica conta il numero di prove per ottenere un successo che corrispondono al numero di fallimenti e la prova finale del successo.

In particolare, la distribuzione di Pascal <math>\mathcal{NB}(p,1)</math> coincide con la distribuzione geometrica <math>\mathcal{G}(p)-1</math>, e la somma di ''m'' variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Pascal aventi lo stesso parametro ''p'' segue ancora la distribuzione di Pascal con parametro ''p'' (è sempre somma di variabili aleatorie indipendenti con uguale distribuzione geometrica).

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La distribuzione di Pascal è una [[mistura di distribuzioni|mistura]] della [[distribuzione Gamma]] e della [[distribuzione di Poisson]]: una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}(L)</math>, il cui parametro ''L'' segua una distribuzione Gamma, segue la distribuzione di Pascal.

La distribuzione di Pascal <math>\mathcal{NB}\left(\frac{r-\lambda}{r},r\right)</math> di speranza <math>\lambda</math>, per <math>r\longrightarrow +\infty</math> [[Convergenza di variabili casuali#Convergenza in distribuzione|converge]] alla distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}(\lambda)</math>.

La distribuzione di Pascal si trova anche come mistura della distribuzione di Poisson e della [[distribuzione logaritmica]], ovvero descrive la somma <math>X_1+...+X_N</math> di un numero <math>N</math>, che segue la distribuzione di Poisson, di variabili aleatorie indipendenti che seguono una stessa distribuzione logaritmica.

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{{Probabilità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Distribuzioni di probabilità|Pascal]]