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Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della [[gravità quantistica]] sotto forma di [[Teoria perturbativa (meccanica quantistica)|teoria quantistica perturbativa]], cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica.<ref>{{Cita web|url=https://www.hri.res.in/~strings/verma.pdf|titolo=Soft Graviton Theorem in Generic Quantum

Theory of Gravity|autore=Mritunjay Verma|editore=Harish-Chandra Research Institute}}</ref>

Nel 2014 [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno esteso il teorema relativo al gravitone aggiungendo un termine che ne permette l'[[Teoria di gauge|invarianza di gauge]] per rotazioni, garantendo la conservazione globale del [[momento angolare]], invece dell'invarianza di gauge conseguente alla sola conservazione globale del [[Quantità di moto|momento lineare]], come nella versione scoperta da Weinberg. Tale estensione è associata all'effetto [[Effetto memoria gravitazionale|memoria gravitazionale di spin]].<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014}}</ref>

== Formulazione ==

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<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cita libro|nome=Andrew|cognome=Strominger|titolo=Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory|url=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691179506/lectures-on-the-infrared-structure-of-gravity-and-gauge-theory|accesso=2023-01-18|data=2018-03-06|editore=[[Princeton University Press]]|lingua=en|pp=35-36|ISBN=978-0-691-17950-6}}</ref>

dove <math>p</math> è il momento della particella che interagisce con il gravitone, <math>p_G</math> è il momento del gravitone, <math>\epsilon_{\mu\nu}</math> è la sua polarizzazione e il fattore''  ''<math>\eta</math> è uguale a 1 per le particelle uscenti e a -1 per quelle entranti.

La formula deriva da uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] e l'ultimo termine con la [[O-grande|O grande]] indica che termini di ordine superiore non sono considerati.

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Come sopra, nel caso di più fotoni occorre sommare i corrispondenti termini.

=== Estensione al termine successivo ===

== Dimostrazione ==

Volendo estendere lo sviluppo della formula al termine successivo [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno dimostrato che per il gravitone vale la seguente relazione:

Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e non nota.

<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S}-i\sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu ({p_G}_\rho J^{\rho\nu}) \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^1)</math>,

Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba esterna, come in figura, di momento <math>p_G</math>. L'ampiezza completa è data da uno sviluppo in [[serie di Laurent]] rispetto a tale momento, sviluppo il cui calcolo richiederebbe la conoscenza della funzione, quindi della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie ci si può limitare al primo termine, relativo a un [[Polo (analisi complessa)|polo della funzione]]. Sfruttando le [[Formule di riduzione LSZ|regole LSZ]] per calcolare le ampiezze di scattering si possono calcolare le relative [[Propagatore#Propagatori relativistici|funzioni di Green]] in [[Ordinamento sul cammino|ordinamento temporale]]

dove <math>J^{\rho\nu}</math>rappresenta il momento angolare della particella che interagisce con il gravitone.<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014|pp=1-3|capitolo=1 .Introduction}}</ref>

Infatti la formula completa richiederebbe un termin O(p⁰)

[[:en:Francis_E._Low|F.E. Low]] per il fotone

[2] F. E. Low, “Scattering of light of very low frequency by systems of spin 1/2,” Phys. Rev. 96 (1954) 1428–32.

[4] F. E. Low, “Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions,”Phys. Rev. 110 (1958) 974–77.

== Dimostrazione ==

Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e nondescritta notadalla matrice ''S'' iniziale.

Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento <math>p_G</math>. L'ampiezzaIl completacalcolo èesatto datadell'ampiezza da uno sviluppo in [[serie di Laurent]] rispetto a tale momento, sviluppo il cui calcolod'interazione richiederebbe la conoscenza della funzione, quindi della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie ci si può limitareutilizzare aluno primosviluppo termine,in relativo[[serie adi unLaurent]], utilizzando come [[Polo (analisi complessa)|polo della funzione]] tale momento e considerando solo il primo termine dello sviluppo. SfruttandoIn lebase alle [[Formule di riduzione LSZ|regole LSZ]] per calcolare le ampiezze di scattering si possono calcolareutilizzare le relative [[Propagatore#Propagatori relativistici|funzioni di Green]] in [[Ordinamento sul cammino|ordinamento temporale]] amputando (quindi ignorando) le gambe esterne.

Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman).

To derive this formula, let us take any scattering process with n incoming and

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'''propagator.'''

Andrew Strominger - Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory, p. 35

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re-formulates scattering amplitudes of a set of finite energy external particles with one or more low energy external gravitons, in terms of the amplitude without the low energy gravitons.

In the classical limit, there is a different manifestation of the same theorem<ref>{{Cita (2)pubblicazione|nome=Arnab Priya|cognome=Saha|nome2=Biswajit|cognome2=Sahoo|nome3=Ashoke|cognome3=Sen|data=2020-04-23|titolo=Proof of the Classical Soft Graviton Theorem in D=4|rivista=arXiv:1912.06413 [gr-qc, physics:hep-th]|accesso=2023-05-02|url=http://arxiv.org/abs/1912.06413}}</ref>: here it determines the low frequency component of the gravitational wave-form produced during a scattering process in terms of the momenta and spin of the incoming and outgoing objects, without any reference to the interactions responsible for the scattering.

Weinberg’s soft graviton theorem [1] is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

Weinberg’s soft graviton theorem<ref [1]name=":0" /> is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

''Consider an amplitude M involving some incoming and some outgoing particles. Now, consider the same amplitude with an additional soft-photon (''<math>\omega_{\text{photon}} \to 0</math>'') coupled to one of the particles. Call this amplitude M'. The two amplitudes are related by''

<math>{\cal M}' = {\cal M} \frac{\eta q p \cdot \epsilon}{p \cdot p_\gamma - i \eta \varepsilon}</math>

https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1

''where p is the momentum of the particle that the photon couples to,'' <math>\epsilon</math>'' is the polarization of the photon and'' <math>p_\gamma</math>'' is the momentum of the soft-photon.  ''<math>\eta = 1</math>''for outgoing particles and'' <math>\eta = -1</math>'' for incoming ones. Finally, q is the charge of the particle.''

the proportionality factor relating M and M' is independent of the type of particle that the photon couples to

[1] S. Weinberg, “Infrared photons and gravitons,” Phys. Rev. 140, B516 (1965);

ibid “The Quantum theory of fields. Vol. 1: Foundations,” Cambridge, UK: Univ. Pr. (1995).

(2) https://arxiv.org/abs/1912.06413

Weinberg re-immaginò la teoria quantistica dei campi da una prospettiva diversa, affermando il primato della relatività speciale, della meccanica quantistica e della nozione di particelle come punto di partenza. Nei suoi primi lavori ha studiato le forze a lungo raggio, come l'elettromagnetismo e la gravità, mediate da particelle senza massa, il fotone e il gravitone. Come tutte le particelle elementari, queste hanno un momento angolare intrinseco, o "spin", che si presenta in unità quantizzate: i fotoni hanno spin 1 e i gravitoni spin 2. Weinberg ha mostrato che la relatività speciale e la meccanica quantistica pongono restrizioni molto stringenti sulle interazioni delle particelle senza massa.

Le particelle con spin 1 devono essere descritte da teorie le cui equazioni hanno la simmetria di gauge, mentre le particelle con spin 2 devono avere le proprietà del gravitone, con una forza di accoppiamento universale comune a tutte le particelle. Questo fornisce una derivazione più profonda del principio di equivalenza assunto da Albert Einstein come punto di partenza per sviluppare la relatività generale. Nessun'altra possibilità è coerente – le forze a lungo raggio che vediamo in natura esauriscono ciò che è permesso dalla relatività speciale e dalla meccanica quantistica.

https://www.lescienze.it/news/2021/08/17/news/quanta_weinberg_fisico_teorico_teoria_quantistica_campi-4955567/

== Note ==