Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], in particolare in [[analisi matematica]] e [[geometria differenziale]], una '''funzione differenziabile''' in un punto è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una [[trasformazione lineare]] in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.

Affinché ciò si verifichi è necessario (ma non sufficiente) che tutte le [[derivata parziale|derivate parziali]] calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile, allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di [[funzione derivabile]] a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un [[iperpiano]] tangente.

Una funzione può essere differenziabile <math>k</math> volte, e si parla in questo caso di funzione di [[Classe C di una funzione|classe]] <math>C^k</math>. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta [[funzione liscia|liscia]]. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math>C^k</math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

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[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|right|Una funzione da <math>\R</math> in <math>\R</math> è [[funzione derivabile|derivabile]] in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di ''funzione differenziabile''.]]

Una [[funzione (matematica)|funzione]]:

:<math>\mathbf{F}\colon U \rightarrow \R^m</math>

definita su un [[insieme aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math> \R^n </math> è detta differenziabile in un punto <math>\mathbf{x}_0</math> del [[dominio (matematica)|dominio]] se esiste una [[applicazione lineare]]:

:<math>\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\colon\R^n \rightarrow \R^m</math>

tale che valga l'approssimazione:<ref>{{Cita|Rudin|p. 213}}.</ref>

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h}) ,</math>

dove <math>\mathbf r(\mathbf{h})</math> si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento <math>\mathbf{h}</math>. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

:<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac { \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix}} = \mathbf{0}.</math>

Se la funzione <math>\mathbf{F}</math> è differenziabile in <math>\mathbf{x}_0</math>, l'applicazione <math>\mathbf{L}</math> è rappresentata dalla [[matrice jacobiana]] <math>J_F \ </math>.

Il vettore:

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:Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

* Se <math> n = 1 </math>, la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

* Se <math> m = n = 1 </math>, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

== Differenziabilità in analisi complessa ==

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Sia <math>U</math> un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] del [[piano complesso]] <math>\Complex</math>. Una funzione <math> f\colon U\to\Complex </math> è ''differenziabile in senso complesso'' (<math>\mathbb C</math>-differenziabile) in un punto <math>z_0</math> di <math>U</math> se esiste il [[limite di una funzione|limite]]:

:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } .</math>

Il limite va inteso in relazione alla [[spazio topologico|topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di [[Numero complesso|numeri complessi]] che [[limite di una successione|convergono]] a <math>z_0</math> il [[rapporto incrementale]] deve tendere allo stesso numero, indicato con <math>f'(z_0)</math>. Se <math> f </math> è differenziabile in senso complesso in ogni punto <math>z_0</math> di <math>U</math>, essa è una [[funzione olomorfa]] su <math> U </math>. Si dice inoltre che <math> f </math> è olomorfa nel punto <math>z_0</math> se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che <math>f</math> è olomorfa in un insieme non aperto <math>A</math> se è olomorfa in un aperto contenente <math>A</math>.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa <math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)</math> è olomorfa allora <math>u</math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math>x</math> e <math>y</math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:

:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,.</math>

In modo equivalente, la [[derivata di Wirtinger]] <math>\partial f / \partial\overline{z}</math> di <math>f</math> rispetto al [[complesso coniugato]] <math> \overline{z} </math> di <math>z</math> è nulla.

== Proprietà delle funzioni differenziabili ==

* Una funzione differenziabile in un punto <math>\mathbf x_0</math> è [[funzione continua|continua]] in <math>\mathbf x_0</math>. Infatti:

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\right.</math>

:ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in <math>(0,0)</math> la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in <math>(0,0)</math>. Tuttavia, se <math>F</math> è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math> in un [[intorno]] di <math>\mathbf x_0</math>, cioè se esistono tutte le derivate parziali di <math>F</math> e queste sono [[funzioni continue]], allora <math>F</math> è differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\R^n</math> è aperto, che <math>F\in C^1(\Omega)</math> implica la differenziabilità in <math>\Omega</math> che implica a sua volta che <math>F\in C^0(\Omega)</math>.

:Tuttavia, se <math>F</math> è di [[classe C di una funzione|classe]] <math>C^1</math> in un [[intorno]] di <math>\mathbf x_0</math>, cioè se esistono tutte le derivate parziali di <math>F</math> e queste sono [[funzioni continue]], allora <math>F</math> è differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\R^n</math> è aperto, che <math>F\in C^1(\Omega)</math> implica la differenziabilità in <math>\Omega</math> che implica a sua volta che <math>F\in C^0(\Omega) </math>.

== Approssimazioni ==

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Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una [[trasformazione affine]] quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione:

:<math>\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0).</math>.

Per verificarlo, si consideri un intorno di <math>\mathbf x_0</math> di raggio <math>\delta</math>.

Se si effettua uno zoom sul grafico di <math>F</math> in modo che l'intorno ci appaia di raggio <math>1</math>, la distanza che si vede tra la funzione <math>F</math> e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto <math>\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h</math> è pariuguale a:

:<math>\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,</math>

dove la divisione per <math>\delta</math> corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

:<math>\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta,</math>,

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di <math>F</math> si deduce che:

:<math>\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0,</math>,

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di <math>F</math> e della sua approssimazione affine intorno a <math>\mathbf x_0</math> è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di <math>F</math>.

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== Altri progetti ==

{{interprogetto|b=Calcolo differenziale|preposizione=sulla}}

==Collegamenti esterni==

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{{analisi_matematica}}

{{Controllo di autorità}}

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