Modello di Malthus: differenze tra le versioni

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{{F|statistica|aprile 2013}}

[[File:Thomas_Malthus.jpg|miniatura|[[Thomas Robert Malthus]], autore del modello]]

Il '''modello di Malthus''' è stato il primo modello di [[dinamica delle popolazioni]] a essere introdotto ed è il più semplice modello di [[crescita esponenziale]]. Il modello deve il suo nome al reverendo [[Thomas Robert Malthus]], uno dei primi ad essersi dedicati allo studio demografico con il suo [[Saggio sul principio di popolazione]] del [[1798]].

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Il modello di Malthus si applica a una popolazione di individui isolata (che non interagisce con altre popolazioni), dotata di infinite risorse di spazio e cibo. La variazione del numero di individui dipende dunque esclusivamente dal numero di nascite e di morti che avvengono nell'unità di tempo. L'ipotesi del modello di Malthus è che il tasso netto di riproduzione (ovvero la differenza tra le nascite e le morti nell'unità di tempo) sia costante.

Sia <math>x(t)</math> il numero di individui e sia <math>r</math> il tasso netto di crescita per individuo. Possiamo studiare un modello discreto mediante l'equazione:

: <math>\displaystyle x_{n+1}=x_n(1+r)</math>

oppure, nell'ipotesi che la popolazione sia molto numerosa e che i tempi di osservazione siano lunghi, possiamo considerare un modello continuo, ottenendo l'equazione differenziale:

: <math>\dot{x}(t)=r x(t)</math>

Nel caso discreto l'andamento della popolazione è descritto da una [[progressione geometrica]] di ragione <math>1+r</math>,:

: <math>\displaystyle x_{n+1}=x_0(1+r)^{n+1}</math>

Nel caso continuo, la soluzione dell'equazione differenziale è l'esponenziale:

: <math>\displaystyle x(t)=x_0 e^{rt} </math>