Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

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:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }.</math>

Il limite va inteso in relazione alla [[spazio topologico|topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di [[Numero complesso|numeri complessi]] che [[limite di una successione|convergono]] a <math>z_0</math> il [[rapporto incrementale]] deve tendere allo stesso numero, indicato con <math>f'(z_0)</math>. Se <math> f </math> è differenziabile in senso complesso in ogni punto <math>z_0</math> di <math>U</math>, essa è una [[funzione olomorfa]] su <math> U </math>. Si dice inoltre che <math> f </math> è olomorfa nel punto <math>z_0</math> se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che <math>f</math> è olomorfa in un insieme non aperto <math>A</math> se è olomorfa in un aperto contenente <math>A</math>.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa <math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)</math> è olomorfa allora <math>u</math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math>x</math> e <math>y</math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:

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