Polinomio: differenze tra le versioni
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In [[matematica]] un '''polinomio''' è un'[[Espressione matematica|espressione]] composta da costanti e variabili combinate usando soltanto [[addizione]], [[sottrazione]] e [[moltiplicazione]], gli esponenti delle variabili sono valori interi non negativi. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la [[somma algebrica]] di alcuni [[monomio|monomi]] non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Ad esempio:
:<math>x + 3y - z^2</math>
è la somma di tre monomi. Ciascun monomio viene chiamato ''termine'' del polinomio. Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso [[insieme numerico]] o di un [[anello (algebra)|anello]].
Quando valutati in un opportuno [[dominio (matematica)|dominio]], i polinomi possono essere interpretati come [[Funzione (matematica)|funzioni]]. Ad esempio, il polinomio
:<math>p(x) = x^2 - 3x +2 </math>
definisce una funzione [[numeri reali|reale]] di variabile reale.
Quando questo ha senso, le [[radice (matematica)|radici]] del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, <math> p(x) </math> ha come radici i valori <math>1</math> e <math>2</math>, poiché sostituendoli nell'espressione del polinomio si ha
:<math> 1^2 - 3\times 1 + 2 = 0 </math>
:<math> 2^2 -3\times 2 + 2 = 0 </math>
I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'[[algebra]], ma anche dell'[[analisi matematica|analisi]] e della [[geometria analitica]].
== Nomenclatura ==
Un polinomio
* ''ridotto in forma normale'', quando è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili e sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli. Ad esempio:
::<math>
:ridotto in forma normale diventa
::<math>
* ''nullo'', se consta del solo zero
* [[monomio]], [[binomio]], [[trinomio]], ''quadrinomio''... se è la somma rispettivamente di
* ''omogeneo'' se è la somma di monomi dello stesso grado. Ad esempio:<br /><math>x^2 +3y^2 - xz</math><br />è omogeneo di grado <math>2</math>.
* ''completo'' rispetto ad una variabile, se osservando tutti i termini del polinomio di quella certa variabile e partendo dal termine di grado più elevato rispetto a quella variabile il polinomio contiene tutti i termini di grado inferiore fino a zero. Esempio di un polinomio ''completo rispetto a <math>z</math>'': <math>xz^3 +3yz^2 +z -2.</math>
Due polinomi sono
:<math> x +3y +28z -2y - 28z, \ x+y, \ y+x. </math>
Il
:<math>
ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a <math>x</math> che a <math>y</math>.
Il
:<math>
il termine noto è l'ultimo monomio
== Operazioni con i polinomi ==
Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali
:<math>
:<math>
allora la somma ed il prodotto di
:<math>
:<math>
Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.
=== Somma di due polinomi ===
Il grado (''degree'') della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:
:<math>\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q));</math>
:<math>\deg(P - Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)).</math>
Esempi:
* Il grado di <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> è 3. Si noti che 3 ≤ max(3, 2)
* Il grado di <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> è 2. Si noti che 2 ≤ max(3, 3)
=== Prodotto di un polinomio per uno scalare ===
Il grado del prodotto di un polinomio per un numero scalare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:
:<math>\deg(cP)=\deg(P).</math>
Esempio:
* Il grado di <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> è 2, che è appunto uguale al grado di <math>x^2+3x-2</math>.
Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un [[Anello (algebra)|anello]] che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(1+2x) = 1</math>, ma <math>\deg(2(1+2x)) = \deg(2+4x) =\deg(2) = 0</math>. L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, forma uno [[spazio vettoriale]] (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).
=== Moltiplicazione di due polinomi ===
Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un [[dominio d'integrità]], è uguale alla somma dei gradi dei due polinomi:
:<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q).</math>
Esempio:
* Il grado di <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> è <math>3+2=5</math>.
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) + \deg(1+2x) = 1 + 1 = 2</math>, ma <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>.
=== Composizione di due polinomi ===
Il grado della composizione di due polinomi <math>P</math> e <math>Q</math> a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:
:<math>\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q).</math>
Esempio:
* Se <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, allora <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, che ha grado d 6.
Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) \deg(1+2x) = 1\cdot 1 = 1</math>, ma <math>\deg(2x\circ(1+2x)) = \deg(2+4x)=\deg(2) = 0</math>.
=== Grado del polinomio zero ===
Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).<ref>Shafarevich (2003) afferma riguardo al polinomio zero: "In questo caso, noi consideriamo che il grado del polinomio non è definito." (p. 27)<br />
Childs (1995) usa −1. (p. 233)<br />
Childs (2009) usa −∞ (p. 287), tuttavia esclude il polinomio zero nella sua Proposition 1 (p. 288) e in seguito spiega che questa proposizione 1 porta ad introdurre il polinomio zero "con la ragionevole assunzione che <math>-\infty</math> + ''m'' = <math>-\infty</math> per qualsiasi ''m'' intero ovvero ''m'' = <math>-\infty</math>".<br />
Axler (1997) usa −∞. (p. 64)<br />
Grillet (2007) afferma: "Il grado del polinomio zero a volte non è definibile, altre volte è definito in vario modo come −1 ∈ ℤ oppure come <math>-\infty</math>, in quanto deg 0 < deg A per ogni A ≠ 0." (dove A è un polinomio.). Tuttavia, l'autore esclude il polinomio zero Proposition 5.3. (p. 121)
</ref>
Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio nullo. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.
Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio nullo.<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref>
Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensioni. È pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a "meno infinito", <math>-\infty</math>, e introdurre quindi queste regole aritmetiche<ref>Axler (1997) dà queste regole e afferma: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref>
:<math> \max(a,-\infty) = a ,</math>
e
:<math> a + -\infty = -\infty .</math>
I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e composizione di due polinomi:
* Il grado della somma <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> è 3. Ciò soddisfa il risultato atteso, cioè che <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>.
* Il grado della differenza <math>(x)-(x) = 0</math> è <math>-\infty</math>. E, infatti, vale che: <math>-\infty \le \max(1,1)</math>.
* Il grado del prodotto <math>(0)(x^2+1)=0</math> è <math>-\infty</math>. E, infatti, vale che: <math>-\infty = -\infty + 2</math>.
== Riduzione delle variabili ==
In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio
:<math>
può essere considerato anche come polinomio in
:<math>
è di grado <math>5</math>, ma se visto soltanto nelle singole variabili
== Polinomi di una sola variabile ==
Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:
:<math> a_0 + a_1x + a_2x^2 +\dots + a_nx^n
con <math>
Un tale polinomio è detto:
*
*
=== Radici di un polinomio ===
{{vedi anche|
Una
:<math>
cioè tale che, sostituito a <math>x</math>, rende nulla l'espressione. Quindi se
:<math>
il numero <math>b</math> è radice se
:<math>
Nel caso di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]] l'insieme delle radici reali di un polinomio
:<math>
poiché <math>
==
Sia <math>A</math> un anello. A un polinomio
:<math> f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\ldots + a_nx^n
a coefficienti in <math>A</math> si può associare una ''funzione polinomiale'', che è la [[funzione (matematica)|funzione]] da <math>A</math> in sé definita da
:<math>b \mapsto f(b) = a_0 + a_1 b + a_2 b^2 +\ldots + a_n b^n,</math>
per <math>b \in A</math>. Se <math>A</math> è [[insieme finito|finito]], allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se <math>A = \Z_p = \Z / p \Z</math> è il campo con un [[numero primo]] <math>p</math> di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio <math>x^p - x</math> è comunque associata, per il [[piccolo teorema di Fermat]], la funzione che manda ogni elemento di <math>A</math> in zero. Lo stesso può valere se <math>A</math> è [[insieme infinito|infinito]], ma non è un [[dominio d'integrità|dominio]], per esempio se <math>A</math> è un'[[algebra esterna]] infinita, in cui vale <math>x^2 = 0</math> per ogni <math>x \in A</math>.
Se invece <math>A</math> è un dominio infinito, allora vale il seguente ''principio d'identità dei polinomi'', che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è [[funzione iniettiva|iniettiva]]):
:''due polinomi <math>p</math> e <math>q</math> a coefficienti in un dominio <math>A</math> infinito tali che <math> p(x) = q(x) </math> per ogni <math>x \in A</math> sono uguali.''
Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.
Negli esempi che seguono, fissiamo <math>A</math> eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,
:un polinomio di grado <math>0</math> è una [[funzione costante]],
:un polinomio di grado <math>1</math> è una [[funzione lineare]],
:un polinomio di grado <math>2</math> è una [[funzione quadratica]] o [[conica]],
:un polinomio di grado <math>3</math> è una [[funzione cubica]].
=== Esempi ===
Riga 104 ⟶ 172:
{|
|-----
| [[
| [[
|-----
| [[
| [[
|}
=== Derivata ===
:<math> p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots +a_nx^n
:<math> p'(x) = a_1 + 2a_2x + \ldots +na_nx^{n-1}.
== Anello di polinomi ==
Riga 123 ⟶ 191:
Dato un [[Anello (algebra)|anello]] <math>A</math>, il simbolo
:<math> A[x_1,\ldots, x_n] </math>
denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili <math> x_1,\ldots, x_n </math> con coefficienti in <math>A</math>. Ad esempio, <math>A</math> può essere un [[campo (matematica)|campo]] come quello dei [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]].
L'insieme <math> A[x_1,\ldots, x_n] </math> risulta essere anch'esso un anello,
Se <math>A</math> è un campo, l'anello dei polinomi è un'[[algebra su campo|algebra]] su <math>A</math>,
=== Esempi ===
*
*
*
* Il principio di identità dei polinomi vale solo su domini infiniti. Ad esempio, se
=== Derivata formale ===
{{vedi anche|Algebra differenziale}}
Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come ''definizione'' di derivata (chiamata
== Somme di potenze di radici ==
Siano <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_n</math> le n [[radice (matematica)|radici]] di un polinomio di grado <math>n</math>, e sia <math>s_k=\lambda_1^k+\ldots+\lambda_n^k</math>.
Allora
* se <math>1\le k\le n</math> si ha che <math>s_k+a_{k-1}s_{k-1}+\ldots+a_{n-k+1}s_1+a_{n-k}\cdot n=0;</math>
* se <math>k>n</math> si ha che <math>s_k+a_{n-1}s_{k-1}+\ldots+a_1s_{k-n+1}+a_0s_{k-n}=0.</math>
=== Casi particolari ===
====Caso particolare <math>n=2</math>====
Per le [[formule di Viète|relazioni tra radici e coefficienti]], un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma
:<math>x^2-Sx+P,</math>
dove
* <math>S=\lambda_1+\lambda_2,</math>
* <math>P=\lambda_1\lambda_2.</math>
Allora
* <math>s_1=\lambda_1+\lambda_2=S,</math>
* <math>s_2=\lambda_1^2+\lambda_2^2=S^2-2P.</math>
====Caso particolare <math>n=3</math>====
Per le [[formule di Viète|relazioni tra radici e coefficienti]] un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma
:<math>x^3-Sx^2+Qx-P,</math>
dove
* <math>S=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,</math>
* <math>Q=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1,</math>
* <math>P=\lambda_1\lambda_2\lambda_3.</math>
Allora
* <math>s_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=S,</math>
* <math>s_2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=S^2-2Q,</math>
* <math>s_3=\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3=S^3-3SQ+3P.</math>
== Note ==
<references />
== Bibliografia ==
* {{cita libro|nome1=Peter|cognome1=Borwein|nome2=Tamás|cognome2=Erdélyi|wkautore1=Peter Borwein|titolo=Polynomials and polynomial Inequalities|url=https://archive.org/details/polynomialspolyn0000borw|editore=[[Springer (azienda)|Springer]]|città=[[Berlino]]|anno=1995|ISBN=0-387-94509-1|lingua=en}}
* {{Cita libro|cognome=Barbeau |nome=E.J.|titolo=Polynomials |editore=Springer |anno=2003 |isbn=978-0-387-40627-5 |url=http://books.google.com/?id=CynRMm5qTmQC&printsec=frontcover|lingua=en}}
== Voci correlate ==
* [[Algoritmo di Bairstow]]
* [[Criterio di Cartesio]]
* [[Criterio di Jury]]
* [[Criterio di Routh-Hurwitz]]
* [[Espressione matematica]]
* [[Matrice compagna]]
* [[Prodotto notevole]]
* [[Sequenza polinomiale]]
* [[Scomposizione dei polinomi]]
* [[Teorema di Ruffini]]
== Altri progetti ==
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{FOLDOC|polynomial|polynomial}}
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{{algebra}}
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[[Categoria:Polinomi| ]]
[[Categoria:Polinomi speciali]]
[[Categoria:Algebra elementare]]
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