Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 12:37, 11 apr 2023

Versione attuale delle 22:40, 5 feb 2024

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Riga 17:

La cardinalità di <math>A</math> è <math>n</math>. La cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math> corrisponde al numero di sottoinsiemi impropri generabili a partire dagli elementi di <math>A</math>, che risulta essere <math>2^n</math>. Di conseguenza il teorema vale, dato che <math>2^n > n, \ \forall n \in \N</math>.

Se la cardinalità di <math>A</math> è infinita, presi due insiemi generici <math>X</math> e <math>S</math>, per definizione stessa di cardinalità abbiamo che <math>|X| < |S|</math> [[se e solo se]] tutte le funzioni da <math>X</math> a <math>S</math> non sono suriettive (o equivalentemente ogni [[funzione iniettiva]] non è anche suriettiva).

Basta far vedere che non esiste una funzione <math>f</math> capace di mappare tutti gli elementi di un insieme qualsiasi <math>A</math> a tutti gli elementi di <math>\mathcal P(A)</math>.

Riga 28:

:<math>B=\left\{x\in A : x\not\in f(x)\right\} \in \mathcal P(A).</math>

Tale sottoinsieme avrà come elementi costitutivi tutti gli elementi appartenenti ad <math>A</math>, che però non appartengono al sottoinsieme di cui sono [[controimmagine]].

Supponiamo per assurdo quindi, che esista una funzione <math>f</math> suriettiva da <math>A</math> a <math>\mathcal P(A)</math> (e che quindi ogni elemento di <math>\mathcal P(A)</math> abbia controimmagine in <math>A</math>).

Per costruzione,Necessariamente ci sarà un qualche valore di <math>\xi \in A</math>, sila hacui allorafunzione <math>f(\xi)</math> =sarà uguale a <math>B</math> . Ci sono ora due casi possibili:

:<math>\xi \not\in B</math> oppure <math>\xi \in B.</math>