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Il teorema viene usato nell'ambito dei tentativi di formulare una teoria della [[gravità quantistica]] sotto forma di [[Teoria perturbativa (meccanica quantistica)|teoria quantistica perturbativa]], cioè come approssimazione di una possibile, non ancora nota, teoria esatta della gravità quantistica.<ref>{{Cita web|url=https://www.hri.res.in/~strings/verma.pdf|titolo=Soft Graviton Theorem in Generic Quantum
Theory of Gravity|autore=Mritunjay Verma|editore=Harish-Chandra Research Institute}}</ref>
Nel 2014 [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno esteso il teorema relativo al gravitone aggiungendo un termine che ne permette l'[[Teoria di gauge|invarianza di gauge]] per rotazioni, garantendo la conservazione globale del [[momento angolare]], invece dell'invarianza di gauge conseguente alla sola conservazione globale del [[Quantità di moto|momento lineare]], come nella versione scoperta da Weinberg. Tale estensione è associata all'effetto [[Effetto memoria gravitazionale|memoria gravitazionale di spin]].<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014}}</ref>
== Formulazione ==
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<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^0)</math> ,<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cita libro|nome=Andrew|cognome=Strominger|titolo=Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory|url=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691179506/lectures-on-the-infrared-structure-of-gravity-and-gauge-theory|accesso=2023-01-18|data=2018-03-06|editore=[[Princeton University Press]]|lingua=en|pp=35-36|ISBN=978-0-691-17950-6}}</ref>
dove <math>p</math> è il momento della particella che interagisce con il gravitone, <math>p_G</math> è il momento del gravitone, <math>\epsilon_{\mu\nu}</math> è la sua polarizzazione e il fattore''
La formula deriva da uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] e l'ultimo termine con la [[O-grande|O grande]] indica che termini di ordine superiore non sono considerati.
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Come sopra, nel caso di più fotoni occorre sommare i corrispondenti termini.
=== Estensione al termine successivo ===
== Dimostrazione ==▼
Volendo estendere lo sviluppo della formula al termine successivo [[Andrew Strominger]] e Freddy Cachazo hanno dimostrato che per il gravitone vale la seguente relazione:
Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e non nota.▼
<math>{\cal S}' = \sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu p^\nu \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S}-i\sqrt{8\pi G} \frac{\eta p^\mu ({p_G}_\rho J^{\rho\nu}) \epsilon_{\mu\nu}}{p \cdot p_G - i \eta \varepsilon}{\cal S} + O(p_G^1)</math>,
Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento <math>p_G</math>. L'ampiezza completa è data da uno sviluppo in [[serie di Laurent]] rispetto a tale momento, sviluppo il cui calcolo richiederebbe la conoscenza della funzione, quindi della teoria completa, ossia la gravità quantistica, ma alle basse energie ci si può limitare al primo termine (termini superiori sono associati a energie superiori), relativo a un [[Polo (analisi complessa)|polo della funzione]]. In base alle [[Formule di riduzione LSZ|regole LSZ]] per calcolare le ampiezze di scattering si possono utilizzare le relative [[Propagatore#Propagatori relativistici|funzioni di Green]] in [[Ordinamento sul cammino|ordinamento temporale]] amputando (quindi ignorando) le gambe esterne. ▼
dove <math>J^{\rho\nu}</math>rappresenta il momento angolare della particella che interagisce con il gravitone.<ref>{{Cita libro|nome=Freddy|cognome=Cachazo|nome2=Andrew|cognome2=Strominger|wkautore2=Andrew Strominger|titolo=Evidence for a New Soft Graviton Theorem|url=https://arxiv.org/pdf/1404.4091|data=aprile 2014|pp=1-3|capitolo=1 .Introduction}}</ref>
Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman)▼
[[:en:Francis_E._Low|F.E. Low]] per il fotone
[2] F. E. Low, “Scattering of light of very low frequency by systems of spin 1/2,” Phys. Rev. 96 (1954) 1428–32.
[4] F. E. Low, “Bremsstrahlung of very low-energy quanta in elementary particle collisions,”Phys. Rev. 110 (1958) 974–77.
▲== Dimostrazione ==
▲Il teorema si dimostra in base a uno [[Serie di potenze|sviluppo in serie]] del [[propagatore]] del [[Elettrodinamica quantistica#Diagrammi di Feynman|fotone]] o del gravitone aggiunto ad ogni linea esterna all'interazione primaria e
▲Si consideri il caso di un gravitone uscente da una gamba (linea) esterna (fuori dall'area d'interazione), come in figura, di momento <math>p_G</math>.
▲Ciò in pratica comporta che i calcoli procedano considerando solo i termini relativi al vertice e al propagatore (in base alla tecnica dei diagrammi di Feynman).
To derive this formula, let us take any scattering process with n incoming and
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'''propagator.'''
Andrew Strominger - Lectures on the Infrared Structure of Gravity and Gauge Theory, p. 35
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Weinberg’s soft graviton theorem<ref name=":0" /> is a universal formula relating any S-matrix element in any quantum theory including gravity to a second S-matrix element which differs only by the addition of a graviton whose four-momentum is taken to zero. Remarkably, the formula is blind to the spin or any other quantum numbers of the asymptotic particles involved in the S-matrix element.
https://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/29374083/1401.7026.pdf;jsessionid=6392FB47A36DFFDF342EC0BC22893C9E?sequence=1
== Note ==
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