Modello autoregressivo a media mobile: differenze tra le versioni

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=== Versione discreta e continua ===

Sebbene il modello appena descritto sia discreto, ossia agisce "a scatti" su istanti di tempo numerabili in [[Numeri naturali|N]], è possibile con molta facilità ricavarne la versione continua. In tal caso la matrice <math>A</math> non conterrà le combinazioni lineari che forniscono un parametro in funzione degli altri, ma quelle che forniscono la '''[[derivata]]''' di un parametro in funzione dei valori degli altri.

È possibile approssimare un modello continuo con un modello discreto assumendo di scegliere un intervallo di tempo tra un istante e l'altro sufficientemente piccolo da trascurare l'approssimazione. In genere, in base al [[teorema di Shannon]], è opportuno scegliere una [[frequenza di campionamento]] che sia almeno doppia rispetto alle frequenze in gioco.

== Descrizione mediante funzione di trasferimento ==

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== Proprietà ==

Il vantaggio dei modelli ARMA è che possono essere analizzati con molta facilità rispetto agli altri modelli, pur mantenendo un livello di approssimazione relativamente basso.

Un sistema continuo, in particolare, sarebbe un sistema di [[Equazione differenziale|equazioni differenziali]] difficili da trattare senza considerare la matrice A.

Analizzando gli [[autovalori]] della matrice A è possibile determinare se il sistema è '''stabile''' o meno, ossia se il valore in uscita può tendere a valori infiniti per alcune entrate non infinite. In particolare:

*Se '''tutti''' gli autovalori hanno [[parte reale]] negativa (o modulo minore di 1 nel caso di sistemi a tempo discreto) il sistema è asintoticamente stabile

*Se '''qualche''' autovalore ha parte reale positiva (o modulo superiore a 1 nel caso a tempo discreto) il sistema può avere un'uscita che tende a valori infiniti (positivi o negativi)

*Se esistono autovalori con parte reale nulla (o con modulo unitario nel caso del tempo discreto) il sistema può mantenere un'uscita non nulla all'infinito, anche se l'ingresso rimane nullo dopo alcuni valori iniziali.

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== ARMA come MA(∞) ==

È dimostrabile che un qualunque processo ARMA stazionario può essere espresso in modo equivalente come un [[modello moving average]] di tipo MA(∞<math>\infty</math>). Analiticamente, è sufficiente calcolare [[Ricorsione|ricorsivamente]] i valori di <math>y(t-k)</math> o <math>y(t)^{(n-1)}</math> con k>0 sostituendoli con i valori dell'entrata.

Intuitivamente, basta pensare che l'uscita dipende dai valori precedenti dell'ingresso e dell'uscita stessa, ma questi ultimi dipendono ancora una volta dai precedenti valori in ingresso e in uscita e procedendo a ritroso l'influenza delle uscite precedenti diventa asintoticamente meno influente sull'uscita attuale.

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*[[Serie storiche]]

*[[Modello autoregressivo integrato a media mobile]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|statistica|matematica}}