Polinomio: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] un '''polinomio''' è un'[[Espressione matematica|espressione]] composta da costanti e variabili combinate usando soltanto [[addizione]], [[sottrazione]] e [[moltiplicazione]], gli esponenti delle variabili sono valori interi non negativi. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la [[somma algebrica]] di alcuni [[monomio|monomi]] non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse. Ad esempio:

{{Calcolo letterale}}

:<math>x + 3y - z^2</math>

In [[matematica]] un '''polinomio''' è una [[espressione (matematica)|espressione]] con costanti e variabili combinate usando soltanto [[somma]], [[sottrazione]] e [[prodotto]]. In altre parole, è la [[somma algebrica]] di alcuni [[monomio|monomi]]. Ad esempio

è la somma di tre monomi. Ciascun monomio viene chiamato ''termine'' del polinomio. Le costanti sono anche chiamate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso [[insieme numerico]] o di un [[anello (algebra)|anello]].

:<math>\quad x + 3y - z^2</math>

Quando valutati in un opportuno [[dominio (matematica)|dominio]], i polinomi possono essere interpretati come [[Funzione (matematica)|funzioni]]. Ad esempio, il polinomio

è la somma di tre monomi. Ciascun monomio è chiamato '''termine''' del polinomio.

:<math>p(x) = x^2 - 3x +2 </math>

Le costanti sono anche chimate "coefficienti" e sono tutte elementi di uno stesso [[insieme numerico]] o di un [[anello (algebra)|anello]].

definisce una funzione [[numeri reali|reale]] di variabile reale.

Quando valutati in un opportuno [[dominio]], i polinomi possono essere interpretati come [[Funzione (matematica)|funzioni]]. Ad esempio, il polinomio

:<math>\quad p(x) = x^2 - 3x +2 </math>

definisce una funzione dai [[numeri reali]] in sé.

Quando questo ha senso, le [[radice (matematica)|radici]] del polinomio sono definite come l'insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all'espressione polinomiale il valore nullo. Ad esempio, <math> p(x) </math> ha come radici i valori <math>1</math> e <math>2</math>, poiché sostituendoli nell'espressione del polinomio si ha

:<math> 1^2 - 3\times 1 + 2 = 0, \ 2^2 -3\times 2 + 2 = 0. </math>

:<math> 1^2 - 3\times 1 + 2 = 0 </math>

I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'[[algebra]], ma anche dell'[[analisi matematica|analisi]] e della [[geometria]].

:<math> 2^2 -3\times 2 + 2 = 0 </math>

I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell'[[algebra]], ma anche dell'[[analisi matematica|analisi]] e della [[geometria analitica]].

== Nomenclatura ==

Un polinomio puòsi esseredice:

* ''ridotto in forma normale'', quando è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili e sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli. Ad esempio:

::<math>\quad x +3y +28z -2y - 28z</math>

:ridotto in forma normale diventa

::<math>\quad x + y,</math>

* ''nullo'', se consta del solo zero,.

* [[monomio]], [[binomio]], [[trinomio]], ''quadrinomio''... se è la somma rispettivamente di 1uno, 2due, 3tre, 4quattro... monomi.

* ''omogeneo'' se è la somma di monomi dello stesso grado. Ad esempio:<br /><math>x^2 +3y^2 - xz</math><br />è omogeneo di grado <math>2</math>.

* ''completo'' rispetto ad una variabile, se osservando tutti i termini del polinomio di quella certa variabile e partendo dal termine di grado più elevato rispetto a quella variabile il polinomio contiene tutti i termini di grado inferiore fino a zero. Esempio di un polinomio ''completo rispetto a <math>z</math>'': <math>xz^3 +3yz^2 +z -2.</math>

Due polinomi sono generalmente considerati ''uguali'' se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell'ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:

:<math> x +3y +28z -2y - 28z, \ x+y, \ y+x. </math>

Il '''grado''' di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il '''grado parziale''' rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi

:<math>\quad 2 + xy +y </math>

ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a <math>x</math> che a <math>y</math>.

I '''coefficienti''' di un polinomio sono definiti come l'insieme dei coefficienti dei singoli termini. Quindi i coefficienti di <math>\quad 2 +xy + y </math> sono rispettivamente 2, 1 e 1: il coefficiente 1 in un monomio è solitamente sottointeso.

Si dicono ''coefficienti'' di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di <math>2 +xy + y </math> sono rispettivamente <math>2</math>, <math>1</math> e <math>1</math>: il coefficiente <math>1</math> in un monomio è solitamente sottinteso.

Il '''termine noto''' di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

:<math>\quad x^2 + y^3 + x + 5 </math>

il termine noto è l'ultimo monomio, "5".

Il ''termine noto'' di un polinomio ridotto in forma normale è l'unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

Un polinomio è '''[[funzione omogenea|omogeneo]]''' se tutti i monomi hanno lo stesso grado. Ad esempio,

:<math>\quad x^2 +3y y^23 -+ x + xz.5 </math>

il termine noto è l'ultimo monomio: <math>5</math>.

== Operazioni con i polinomi ==

Due polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà [[proprietà commutativa|commutativa]], [[proprietà associativa|associativa]] e [[proprietà distributiva|distributiva]] delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se

:<math>\quad p(x) = x^2 - x, </math>

:<math>\quad q(x) = x + 2, </math>

allora la somma ed il prodotto di ''<math>p''</math> e ''<math>q''</math> sono rispettivamente

:<math>\quad p(x)+q(x)=(x^2 - x) + (x + 2) = x^2 + 2, ;</math>

:<math>\quad p(x)q(x)=(x^2 - x)(x+2) = x^3 + 2x^2 - x^2 -2x = x^3 + x^2 - 2x. </math>

Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.

=== Somma di due polinomi ===

scusa ma secondo te non esistonoi esercizi da copiare sui libri

Il grado (''degree'') della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:

(2 /3 x^2 y + 3/4 xy^3 - 2/5 x ^4) _ (- 1/4 x y^3 - 1/3 x ^2 y + 3/5 x ^4

:<math>\deg(P + Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q));</math>

==Riduzione delle variabili==

:<math>\deg(P - Q) \leq \max(\deg(P),\deg(Q)).</math>

Esempi:

* Il grado di <math>(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1</math> è 3. Si noti che 3&nbsp;≤&nbsp;max(3,&nbsp;2)

* Il grado di <math>(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x</math> è 2. Si noti che 2&nbsp;≤&nbsp;max(3,&nbsp;3)

=== Prodotto di un polinomio per uno scalare ===

Il grado del prodotto di un polinomio per un numero scalare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:

:<math>\deg(cP)=\deg(P).</math>

Esempio:

* Il grado di <math>2(x^2+3x-2)=2x^2+6x-4</math> è 2, che è appunto uguale al grado di <math>x^2+3x-2</math>.

Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un [[Anello (algebra)|anello]] che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(1+2x) = 1</math>, ma <math>\deg(2(1+2x)) = \deg(2+4x) =\deg(2) = 0</math>. L'insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, forma uno [[spazio vettoriale]] (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).

=== Moltiplicazione di due polinomi ===

Il grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un [[dominio d'integrità]], è uguale alla somma dei gradi dei due polinomi:

:<math>\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q).</math>

Esempio:

* Il grado di <math>(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x</math> è <math>3+2=5</math>.

Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) + \deg(1+2x) = 1 + 1 = 2</math>, ma <math>\deg(2x(1+2x)) = \deg(2x) = 1</math>.

=== Composizione di due polinomi ===

Il grado della composizione di due polinomi <math>P</math> e <math>Q</math> a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:

:<math>\deg(P \circ Q) = \deg(P)\deg(Q).</math>

Esempio:

* Se <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, allora <math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, che ha grado d 6.

Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in <math>\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}</math>, <math>\deg(2x) \deg(1+2x) = 1\cdot 1 = 1</math>, ma <math>\deg(2x\circ(1+2x)) = \deg(2+4x)=\deg(2) = 0</math>.

=== Grado del polinomio zero ===

Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).<ref>Shafarevich (2003) afferma riguardo al polinomio zero: "In questo caso, noi consideriamo che il grado del polinomio non è definito." (p. 27)<br />

Childs (1995) usa −1. (p. 233)<br />

Childs (2009) usa −∞ (p. 287), tuttavia esclude il polinomio zero nella sua Proposition 1 (p. 288) e in seguito spiega che questa proposizione 1 porta ad introdurre il polinomio zero "con la ragionevole assunzione che <math>-\infty</math> + ''m'' = <math>-\infty</math> per qualsiasi ''m'' intero ovvero ''m'' = <math>-\infty</math>".<br />

Axler (1997) usa −∞. (p. 64)<br />

Grillet (2007) afferma: "Il grado del polinomio zero a volte non è definibile, altre volte è definito in vario modo come −1 ∈ ℤ oppure come <math>-\infty</math>, in quanto deg 0 < deg A per ogni A ≠ 0." (dove A è un polinomio.). Tuttavia, l'autore esclude il polinomio zero Proposition 5.3. (p. 121)

</ref>

Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio nullo. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.

Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio nullo.<ref>{{MathWorld|author=Barile, Margherita|id=ZeroPolynomial|title=Zero Polynomial}}</ref>

Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensioni. È pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a "meno infinito", <math>-\infty</math>, e introdurre quindi queste regole aritmetiche<ref>Axler (1997) dà queste regole e afferma: "The 0 polynomial is declared to have degree <math>-\infty</math> so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)</ref>

:<math> \max(a,-\infty) = a ,</math>

e

:<math> a + -\infty = -\infty .</math>

I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e composizione di due polinomi:

* Il grado della somma <math>(x^3+x)+(0)=x^3+x</math> è 3. Ciò soddisfa il risultato atteso, cioè che <math>3 \le \max(3, -\infty)</math>.

* Il grado della differenza <math>(x)-(x) = 0</math> è <math>-\infty</math>. E, infatti, vale che: <math>-\infty \le \max(1,1)</math>.

* Il grado del prodotto <math>(0)(x^2+1)=0</math> è <math>-\infty</math>. E, infatti, vale che: <math>-\infty = -\infty + 2</math>.

== Riduzione delle variabili ==

In un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

:<math>\quad p = x^2 +y + 2 </math>

può essere considerato anche come polinomio in ''<math>x''</math> soltanto, dando a ''<math>y''</math> il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in ''<math>y''</math> soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio ''<math>p''</math> ha grado <math>2</math> rispetto a ''<math>x''</math>, e solo <math>1</math> rispetto a ''<math>y''</math>. Ad esempio, il polinomio

:<math>\quad x^2y^3 + z^4</math>

è di grado <math>5</math>, ma se visto soltanto nelle singole variabili ''<math>x'',</math> ''o <math>y''</math> eo ''<math>z''</math> ha grado rispettivamente <math>2</math>, <math>3</math> e <math>4</math>.

== Polinomi di una sola variabile ==

Un polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:

:<math> a_0 + a_1x + a_2x^2 +\dots + a_nx^n ,</math>

con <math> a_n </math> diverso da zero. Con questa scrittura, <math> a_0 </math> è il termine noto e <math>n</math> è il grado. <math> a_n </math> si dice '''coefficiente direttore'direttivo''.

Un tale polinomio è detto:

*' ''monico''', se <math> a_n = 1 </math>,;

*' ''completo''', se tutti gli <math> a_i </math> sono diversi da zero, per <math>0 ≤\le i ≤\le n</math>.

=== Radici di un polinomio ===

{{vedi anche|radiceRadice (matematica)}}

Una '''radice''' di un polinomio <math> p(x) </math> in una sola variabile è un numero <math>b</math> tale che

:<math>\quad p(b) = 0, </math>

cioè tale che, sostituito a <math>x</math>, rende nulla l'espressione. Quindi se

:<math> p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n, </math>

il numero <math>b</math> è radice se

:<math> p(b) = a_0 + a_1b + a_2b^2 +\ldots +a_nb^n = 0. </math>

Nel caso di polinomi a coefficienti [[numero reale|reali]] l'insieme delle radici reali di un polinomio ''<math>p''</math> si può visualizzare sul [[piano cartesiano]] come l'intersezione del grafico della funzione polinomiale ''<math>y''=''p''(''x'')</math> con l'asse delle ascisse.

UnIn un dominio, un polinomio di grado <math>n</math> può avere al più <math>n</math> radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio

:<math>\quad x^2 +1 ,</math>

poiché <math>\quad b^2 + 1 > 0 </math> per ogni <math>b</math> reale. D'altra parte, per il [[teorema fondamentale dell'algebra]] ogni polinomio complesso ha esattamente <math>n</math> radici [[numero complesso|complesse]], contate con [[radice (matematica)|molteplicità]]. Inoltre, per il [[teorema delle radici complesse coniugate]], se <math>z_0</math> è una radice di un polinomio a coefficienti reali, allora anche il suo [[complesso coniugato]] <math>\overline{z_0}</math> è una radice.

EsistonoNella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado,. comeEsistono formule analoghe per alcuneesprimere classila radici di polinomiun polinomio di terzo e quarto grado, comein funzioni unicamentetermini dei coefficienti, diutilizzando talisolamente polinomile quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta ''risoluzione per radicali''). È stato invece dimostrato nella [[teoria di Galois]] che non èesiste possibileuna trovareformula unagenerale taledi formulaquesto tipo per polinomi dal quinto grado in su.

== PolinomiFunzioni come funzionipolinomiali ==

Sia <math>A</math> un anello. A un polinomio

Un polinomio avente coefficienti in un certo insieme ''A'' (un [[Anello (algebra)|anello]] o una struttura più completa) può essere visto come una funzione dall'insieme ''A'' in sé, detta '''funzione polinomiale'''. Ad esempio, un polinomio con una variabile, avente come coefficienti dei [[numeri reali]], è spesso descritto come funzione

:<math> f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\ldots + a_nx^n ,</math>

a coefficienti in <math>A</math> si può associare una ''funzione polinomiale'', che è la [[funzione (matematica)|funzione]] da <math>A</math> in sé definita da

dall'insieme dei numeri reali in sé. Per il seguente '''principio d'identità dei polinomi''', questa descrizione è fedele, cioè polinomi diversi risultano essere funzioni diverse (la corrispondenza è [[funzione iniettiva|iniettiva]]):

:<math>b \mapsto f(b) = a_0 + a_1 b + a_2 b^2 +\ldots + a_n b^n,</math>

per <math>b \in A</math>. Se <math>A</math> è [[insieme finito|finito]], allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se <math>A = \Z_p = \Z / p \Z</math> è il campo con un [[numero primo]] <math>p</math> di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio <math>x^p - x</math> è comunque associata, per il [[piccolo teorema di Fermat]], la funzione che manda ogni elemento di <math>A</math> in zero. Lo stesso può valere se <math>A</math> è [[insieme infinito|infinito]], ma non è un [[dominio d'integrità|dominio]], per esempio se <math>A</math> è un'[[algebra esterna]] infinita, in cui vale <math>x^2 = 0</math> per ogni <math>x \in A</math>.

Se invece <math>A</math> è un dominio infinito, allora vale il seguente ''principio d'identità dei polinomi'', che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è [[funzione iniettiva|iniettiva]]):

:''due polinomi <math>p</math> e <math>q</math> con coefficienti reali tali che <math> p(x) = q(x) </math> per ogni <math>x</math> sono uguali.<ref>Questo enunciato vale in generale in un [[dominio d'integrità|dominio]] [[insieme infinito|infinito]], come è appunto l'insieme dei numeri reali.</ref>''

:''due polinomi <math>p</math> e <math>q</math> a coefficienti in un dominio <math>A</math> infinito tali che <math> p(x) = q(x) </math> per ogni <math>x \in A</math> sono uguali.''

A seconda del grado,

:un polinomio di grado 0 è una [[funzione costante]],

Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.

:un polinomio di grado 1 è una [[funzione lineare]],

:un polinomio di grado 2 è una [[funzione quadratica]] o [[conica]],

Negli esempi che seguono, fissiamo <math>A</math> eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,

:un polinomio di grado 3 è una [[funzione cubica]].

:un polinomio di grado <math>0</math> è una [[funzione costante]],

:un polinomio di grado <math>1</math> è una [[funzione lineare]],

:un polinomio di grado <math>2</math> è una [[funzione quadratica]] o [[conica]],

:un polinomio di grado <math>3</math> è una [[funzione cubica]].

=== Esempi ===

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{|

|-----

| [[ImmagineFile:Polynomialdeg2.png|thumb|left|233px|Polinomio di grado 2:<br />''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''²&nbsp;-&nbsp;''x''&nbsp;-&nbsp;2<br />=&nbsp;(''x''+1)(''x''-2)]]

| [[ImmagineFile:Polynomialdeg3.png|thumb|left|233px|Polinomio di grado 3:<br />''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''³/5&nbsp;+&nbsp;4''x''²/5&nbsp;-&nbsp;7''x''/5&nbsp;-&nbsp;2<br />=&nbsp;1/5&nbsp;(''x''+5)(''x''+1)(''x''-2)]]

|-----

| [[ImmagineFile:Polynomialdeg4.png|thumb|left|233px|Polinomio di grado 4:<br />''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;1/14&nbsp;(''x''+4)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3)&nbsp;+&nbsp;0.5]]

| [[ImmagineFile:Polynomialdeg5.png|thumb|left|233px|Polinomio di grado 5:<br />''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;1/20&nbsp;(''x''+4)(''x''+2)(''x''+1)(''x''-1)(''x''-3)&nbsp;+&nbsp;2]]

|}

=== Derivata ===

UnUna polinomiofunzione polinomiale a coefficienti reali[[numero reale|reali]]

:<math> p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots +a_nx^n ,</math>

definisce una [[funzioneè derivabile]] da '''R''' in '''R''',e la cuisua [[derivata]] è ancora un polinomio,

:<math> p'(x) = a_1 + 2a_2x + \ldots +na_nx^{n-1}. </math>

QuindiRagionando quindi [[induzione matematica|induttivamente]], si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono [[funzione liscia|infinitamente derivabili]] (o ''lisce'') e che la [[derivata#Derivata n-esima|derivata (''n''+1)-esima]] di un polinomio di grado ''<math>n''</math> è la funzione zeronulla. LeIn funzionirealtà polinomialiesse sono anche [[funzione analitica|funzioni analitiche]] e dunque in particolare funzioni [[funzione liscia|infinitamente derivabili]], o ''lisce''.

== Anello di polinomi ==

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Dato un [[Anello (algebra)|anello]] <math>A</math>, il simbolo

:<math> A[x_1,\ldots, x_n] </math>

denota l'insieme di tutti i polinomi nelle variabili <math> x_1,\ldots, x_n </math> con coefficienti in <math>A</math>. Ad esempio, <math>A</math> può essere un [[campo (matematica)|campo]] come quello dei [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]].

L'insieme <math> A[x_1,\ldots, x_n] </math> risulta essere anch'esso un anello, chiamato ''l'anello dei polinomi''' in <math>n</math> variabili con coefficienti in <math>A</math>. Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell'[[algebra]] e della [[geometria algebrica]].

Se <math>A</math> è un campo, l'anello dei polinomi è un'[[algebra su campo|algebra]] su <math>A</math>, ede quando <math>n=1</math> è anche un [[anello euclideo]], nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i [[numeri interi]]. (se <math>n>1</math> questo non è vero poiché l'anello di polinomi non è un [[dominio ad ideali principali]]).

=== Esempi ===

* '''<math>\Z'''[''x'']</math> non è un [[dominio ad ideali principali]], e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'[[ideale (matematica)|ideale]] <math> (2,x) </math> generato dai polinomi <math>2</math> e <math>x</math> non è [[ideale principale|principale]].

* '''<math>\R'''[''x'', ''y'']</math> non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l'ideale <math> (x,y) </math> generato dai polinomi <math>x</math> e <math>y</math> non è principale.

* ''<math>K''[''x'']</math>, se ''<math>K''</math> è un [[campo (matematica)|campo]], è un [[dominio a fattorizzazione unica]]euclideo.

* Il principio di identità dei polinomi vale solo su domini infiniti. Ad esempio, se '''<math>K'''</math> è il [[campo finito]] con due elementi, cioè <math> K \cong \Z/2\Z,</math> allora il polinomio <math>f(x) = x + x^2 </math> è tale che <math> f(x) = 0 </math> per ogni <math>x \in K</math> in (cioè <math>0</math> e <math>1</math>), benché non sia il polinomio nullo.

::<math> \mathbb K = \mathbb Z/_{2\mathbb Z} </math>

:allora il polinomio

::<math>\quad f(x) = x + x^2 </math>

:è tale che <math> f(x) = 0 </math> per ogni <math>x</math> in '''K''' (cioè 0 e 1), benché non sia il polinomio nullo.

=== Derivata formale ===

{{vedi anche|Algebra differenziale}}

Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come ''definizione'' di derivata (chiamata '''derivata formale''') nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un [[Anello (algebra)|anello]] <math> A </math>, anche in assenza del [[calcolo infinitesimale]]. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.

== Somme di potenze di radici ==

==Voci correlate==

Siano <math>\lambda_1,\ldots,\lambda_n</math> le n [[radice (matematica)|radici]] di un polinomio di grado <math>n</math>, e sia <math>s_k=\lambda_1^k+\ldots+\lambda_n^k</math>.

*[[Prodotto notevole]]

Allora

*[[:Categoria:Polinomi speciali]]

* se <math>1\le k\le n</math> si ha che <math>s_k+a_{k-1}s_{k-1}+\ldots+a_{n-k+1}s_1+a_{n-k}\cdot n=0;</math>

*[[Sequenza polinomiale]]

* se <math>k>n</math> si ha che <math>s_k+a_{n-1}s_{k-1}+\ldots+a_1s_{k-n+1}+a_0s_{k-n}=0.</math>

=== Casi particolari ===

====Caso particolare <math>n=2</math>====

Per le [[formule di Viète|relazioni tra radici e coefficienti]], un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma

:<math>x^2-Sx+P,</math>

dove

* <math>S=\lambda_1+\lambda_2,</math>

* <math>P=\lambda_1\lambda_2.</math>

Allora

* <math>s_1=\lambda_1+\lambda_2=S,</math>

* <math>s_2=\lambda_1^2+\lambda_2^2=S^2-2P.</math>

====Caso particolare <math>n=3</math>====

Per le [[formule di Viète|relazioni tra radici e coefficienti]] un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma

:<math>x^3-Sx^2+Qx-P,</math>

dove

* <math>S=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,</math>

* <math>Q=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1,</math>

* <math>P=\lambda_1\lambda_2\lambda_3.</math>

Allora

* <math>s_1=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=S,</math>

* <math>s_2=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^2=S^2-2Q,</math>

* <math>s_3=\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3=S^3-3SQ+3P.</math>

== Note ==

<references />

== Bibliografia ==

{{algebra}}

* {{cita libro|nome1=Peter|cognome1=Borwein|nome2=Tamás|cognome2=Erdélyi|wkautore1=Peter Borwein|titolo=Polynomials and polynomial Inequalities|url=https://archive.org/details/polynomialspolyn0000borw|editore=[[Springer (azienda)|Springer]]|città=[[Berlino]]|anno=1995|ISBN=0-387-94509-1|lingua=en}}

* {{Cita libro|cognome=Barbeau |nome=E.J.|titolo=Polynomials |editore=Springer |anno=2003 |isbn=978-0-387-40627-5 |url=http://books.google.com/?id=CynRMm5qTmQC&printsec=frontcover|lingua=en}}

== Voci correlate ==

* [[Algoritmo di Bairstow]]

* [[Criterio di Cartesio]]

* [[Criterio di Jury]]

* [[Criterio di Routh-Hurwitz]]

* [[Espressione matematica]]

* [[Matrice compagna]]

* [[Prodotto notevole]]

* [[Sequenza polinomiale]]

* [[Scomposizione dei polinomi]]

* [[Teorema di Ruffini]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul|wikt=polinomio}}

== Collegamenti esterni ==

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[[Categoria:Algebra elementare]]

[[ar:متعدد الحدود]]

[[bg:Многочлен]]

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[[cs:Polynom]]

[[cy:Polynomial]]

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[[en:Polynomial]]

[[eo:Polinomo]]

[[es:Polinomio]]

[[fi:Polynomi]]

[[fr:Polynôme]]

[[fy:Mearterm]]

[[gl:Polinomio]]

[[he:פולינום]]

[[hu:Polinom]]

[[is:Margliða]]

[[ja:多項式]]

[[ko:다항식]]

[[lt:Polinomas]]

[[lv:Polinoms]]

[[nl:Polynoom]]

[[no:Polynom]]

[[pl:Wielomian]]

[[pt:Polinómio]]

[[ro:Polinom]]

[[ru:Многочлен]]

[[sk:Mnohočlen]]

[[sl:Polinom]]

[[sr:Полином]]

[[sv:Polynom]]

[[th:พหุนาม]]

[[tr:Polinom]]

[[uk:Многочлен]]

[[ur:کثیر رقمی]]

[[vi:Đa thức]]

[[yi:פאלינאם]]

[[zh:多項式]]