Prodotto notevole: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], un '''prodotto notevole'''<ref name=":0">{{Cita web|lingua=it-it|autore=Fulvio Sbranchella|url=https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/270-prodotti-notevoli.html|titolo=Prodotti notevoli: formule, schema, esempi e dimostrazioni|sito=YouMath|data=2011-10-04|accesso=2025-07-12}}</ref> è un'[[identità (matematica)|identità]] che compare spesso nel [[calcolo letterale]], in particolare per effettuare il prodotto di [[polinomio|polinomi]] di forme particolari. I prodotti notevoli consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all'applicazione diretta delle regole del calcolo letterale (come la [[moltiplicazione]] di due [[polinomio|polinomi]]). Inoltre, riconoscere un prodotto notevole è utile per la [[scomposizione in fattori]] dei polinomi o di altre [[Espressione matematica|espressioni algebriche.]]<ref name=":0" />

{{Calcolo letterale}}

<!-- NOTA MATH: \,\! dappertutto serve per rendere uniforme lo stile delle formule. SI PREGA DI NON TOGLIERLO. -->

== Quadrato di un binomio e quadrato di un trinomio ==

In [[matematica]], un '''prodotto notevole''' è un'[[identità (matematica)|identità]] che compare spesso nel [[calcolo letterale]], in particolare per effettuare il prodotto di polinomi di forme particolari. I prodotti notevoli, solitamente imparati a memoria, consentono di svolgere più rapidamente i calcoli rispetto all'applicazione diretta delle regole del calcolo letterale (come la [[moltiplicazione]] di due [[polinomio|polinomi]]). Inoltre, riconoscere un prodotto notevole è utile per la [[scomposizione in fattori]] dei polinomi o di altre [[espressione (matematica)|espressioni]] algebriche.

Il [[Quadrato (algebra)|quadrato]] di un [[binomio]] generico o più generalmente dalla [[somma algebrica]] di due termini <math>(A + B)</math> può essere espresso come<ref name="ref_A">{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.15</ref><ref>{{Cita web|lingua=it-it|autore=Fulvio Sbranchella|url=https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/950-quadrato-del-binomio.html|titolo=Quadrato di binomio con segno più o meno: regola ed esempi|sito=YouMath|data=2013-06-12|accesso=2025-07-12}}</ref>:

:<math>(A + B)^2 = (A + B) (A + B) = A^2 + AB + B^2 + AB = A^2 + 2AB + B^2.</math>

== [[Quadrato (algebra)|Quadrato]] di un polinomio di due ([[binomio]]), tre ([[trinomio]]) o più termini ==

Se il binomio presenta una [[sottrazione]] allora il suo quadrato risulterà:

[[Immagine:Quadrato di un binomio2.png|250px|right|(a+b)²=a²+2ab+b²]]

* :<math> (xA +- yB)^2 = (xA +- yB) (xA +- yB) = xA^2 +- AB xy- AB + yB^2 + xy = xA^2 +- 2xy2AB + yB^2 \,\! .</math>

Le due formule si possono unificare nel seguente modo:

* <math> (x - y)^2 = (x - y) (x - y) = x^2 - xy - xy + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 \,\! </math>

:<math>(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2.</math>

''Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine.''

[[File:Quadrato di un binomio2.png|thumb|Dimostrazione grafica della formula per calcolare il quadrato di un binomio]]

La figura rappresenta un quadrato il cui lato è la somma dei due valori <math>a</math> e <math>b</math>. La sua area vale dunque <math>(a + b)^2</math>. Ma questa si ottiene anche attraverso l'addizione dell'area del quadrato giallo (<math>a^2</math>), delle aree dei due rettangoli azzurri (<math>ab</math> per ciascuno) e dell'area del quadrato viola (<math>b^2</math>).

In generale si può dire quindi che:

Le formule di sopra si possono facilmente generalizzare al caso di polinomi composti da più di due monomi:

''Lo sviluppo del quadrato della somma algebrica di due termini è uguale alla [[Addizione|somma]] tra il quadrato del primo termine, il doppio del prodotto tra i due termini ed il quadrato del secondo termine''.

La figura rappresenta un [[quadrato]] il cui lato è la somma dei due valori <math>a</math> e <math>b</math>. La sua [[area]] vale dunque <math>(a + b)^2</math>. Ma questa si ottiene anche attraverso l'addizione dell'area del quadrato giallo (<math>a^2</math>), delle aree dei due [[Rettangolo|rettangoli]] azzurri (<math>ab</math> per ciascuno) e dell'area del quadrato viola (<math>b^2</math>).

* <math> (x + y + z)^2 = (x + y + z)(x + y + z) = x^2 + xy + xz + xy + y^2 + yz + xz + yz + z^2 \,\! </math><math> = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz \,\! </math>

Il quadrato <span>della somma algebrica di tre termini</span> può essere espresso come<ref name="ref_B">{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.16</ref>:

* <math> (x + y - z - d)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + d^2 + 2xy - 2xz - 2xd - 2yz - 2yd + 2zd \,\! </math>

:<math>\begin{aligned}

''Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini più il doppio prodotto di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono.''

(A + B + C)^2 &= (A + B + C)(A + B + C)=\\

&= A^2 + AB + AB + AC + B^2 + AC + BC + BC + C^2 =\\

&= A^2 + B^2 + C^2 + 2AB + 2AC + 2BC.

\end{aligned}</math>

Le formule di sopra si possono facilmente generalizzare al caso di polinomi composti da più di due [[Monomio|monomi]].

eno hai sbagliatiose seguissi il tuo consiglio

In generale si può dire che:

eseguirei il quadrato del binomio in questo modo

:''Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini più il doppio prodotto di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono.''

es

(3== aCubo -di un 2 b^2 )binomio ==

Il cubo di un binomio può essere espresso come<ref name="ref_A" /><ref>{{Cita web|lingua=it-it|autore=Fulvio Sbranchella|url=https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/polinomi/951-cubo-di-binomio.html|titolo=Cubo di binomio: sviluppo, scomposizione ed esempi|sito=YouMath|data=2013-06-12|accesso=2025-07-12}}</ref>:

9a^2 + 4 b ^2 + 2 ( 3 a ) +2 ( - 2 b ^2)

:<math>(x + y)^3 = (x + y)^2 (x + y) = x^3 + x^2y + 2xy^2 + 2x^2y + xy^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3.</math>

invece bisogna farecosi

e se il binomio presenta una sottrazione:

3 a - 2 b ) ^2

9 a ^2 + 2 * ( 3 a * -2 b ) + 4 b ì2

9 a ^2 - 12 ab + 4 b ^2

:<math>(x - y)^3 = (x - y)^2 (x - y) = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.</math>

== [[Cubo (algebra)|Cubo]] di un binomio ==

Le due formule si possono unificare nel seguente modo:

* <math> (x + y)^3 = (x + y)^2 (x + y) = x^3 + x^2y + 2x^2y + 2xy^2 + xy^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \,\! </math>

* :<math> (x -\pm y)^3 = (x - y)^2 (x - y) = x^3 -\pm 3x^2y + 3xy^2 -\pm y^3 \,\! .</math>

Quindi in generale si può dire:

''Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.''

:''Il cubo di binomio è un polinomio formato dalla somma del cubo del primo termine del binomio, con il cubo del secondo termine, con il triplo del prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, con il triplo del prodotto del quadrato del secondo termine per il primo, ciascuno preso con il proprio segno.''

La scrittura di queste formule rispetto ai termini cubici in a e in b, è nota come [[formule di Waring|formula di Waring]] ed è necessaria nella soluzione di [[sistema di equazioni simmetrico|sistemi simmetrici]], nei quali tutti i termini in x e y sono sostituiti dalle variabili somma s e prodotto p.

La scrittura di queste formule rispetto ai termini cubici in a e in b, è nota come [[formule di Waring|formula di Waring]] ed è necessaria nella soluzione di [[sistema simmetrico|sistemi simmetrici]], nei quali tutti i termini in x e y sono sostituiti dalle variabili somma s e prodotto p.

== Prodotto della somma di due o più termini per la loro differenza ==

== Cubo di un trinomio ==

* <math> (x+ y)(x - y) = x^2 - xy + xy - y^2 = x^2 - y^2 \,\! </math>

[[File:Materiale Montessori - Il cubo del trinomio.JPG|thumb|Con il materiale didattico [[Maria Montessori|Montessori]] gli studenti possono esercitarsi sul cubo del trinomio, mediante una rappresentazione tridimensionale cubica scomponibile in diversi solidi geometrici, uno per ogni termine del prodotto notevole]]

Il cubo di un trinomio può essere calcolato come:

:<math>\begin{aligned}

(x+y+z)^3 &= (x+y+z)^2 (x+y+z) = (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)(x+y+z) = \\

& = x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3x^2z + 3y^2x + 3y^2z + 3z^2x + 3z^2y + 6xyz.

\end{aligned}</math>

In generale si può dire quindi che:

:''Il cubo di un trinomio è uguale alla somma dei cubi dei tre termini, più il triplo prodotto del quadrato di ogni termine per ciascun altro termine, più sei volte il prodotto dei tre termini.''

Raccogliendo i termini al quadrato, la formula diventa:

:<math>(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2(y+z) + 3y^2 (x+z) + 3z^2(x + y) + 6xyz.</math>

Si può quindi affermare che:

:''Il cubo di un trinomio è uguale alla somma dei cubi dei tre termini, più il triplo prodotto del quadrato di ogni termine per la somma degli altri due, più sei volte il prodotto dei tre termini.''

C'è anche una forma meno nota per esprimere il cubo di un trinomio:

:<math>(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3 (x + y)(x + z)(y + z).</math>

Per verificarla basta sviluppare i prodotti tra [[parentesi]].

== Prodotto della somma di due termini per la loro differenza ==

:<math>(x+ y)(x - y) = x^2 - xy + xy - y^2 = x^2 - y^2.</math>

''Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo.''

Leggendo l'uguaglianza da destra verso sinistra, si ottiene anche la regola di [[Fattorizzazione|scomposizione in fattori]] di un polinomio pari alla differenza di due quadrati<ref name="ref_B" />.

La prima formula letta al contrario, vista cioè come scomposizione in fattori della differenza di due quadrati, si generalizza per <math>n</math> qualsiasi in:

:<math>x^n - y^n = (x - y) (x^{n - 1} + x^{n - 2}y + \ldots + xy^{n - 2} + y^{n - 1}) = (x - y) \sum_{k=0}^{n-1} x^{(n-1)-k}y^{k}.</math>

Se <math>n</math> è dispari, vale anche:

:<math>x^n + y^n = (x + y) (x^{n - 1} - x^{n - 2}y + \ldots - xy^{n - 2} + y^{n - 1}) = (x + y) \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k x^{(n-1)-k}y^{k}.</math>

=== Altri casi ===

È frequente anche trovare questo prodotto notevole con delle potenze, ma il procedimento di risoluzione si può svolgere allo stesso modo:

:<math>(x + y)^3(x - y)^3 = (x^2 - y^2)^3.</math>

La [[Potenza (matematica)|potenza]] rimane invariata e viene racchiusa tra parentesi nel prodotto notevole svolto. A questo punto si applica il cubo del binomio e si risolve l'espressione in questo modo:

:<math>(x^2 - y^2)^3 = x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6.</math>

=== Casi meno evidenti ===

Il prodotto notevole può essere applicato anche in casi meno evidenti, per esempio:

* :<math> (x + y + z)(x +- y - z) = (x + y + z)^2 (x - (y + z)^2) = x^2 + 2xy + y^2 - {(y+z)}^2 \,\! .</math>

Oppure ancora:

* :<math> (x + y + z)(x -+ y - z) = (x + y)^2 - {(y+z)}^2 \,\!= x^2 + 2xy + y^2 - z^2,</math>

che nel caso <math>x=a^2</math>, <math>y=2b^2</math> e <math>z=2ab</math>, diventa:

La prima formula letta al contrario, vista cioè come scomposizione in fattori della differenza di due quadrati, si generalizza per <math>n</math> qualsiasi in:

* :<math> x^n - y^n = (x - y) (xa^{n - 1} + x^{n - 2}y + ...2ab + xy2b^{n2)(a^2 - 2}2ab + y2b^{n - 1}2) = (x - y) \sum_{k=0}a^{n-1} x4+4b^{n-k-1}y^{k} 4.</math>

SeSostituendo <math>nb</math> ènell'ultima dispari,identità valecon <math>b/\sqrt2</math> si ottiene anche:

* :<math> x(a^n2 + y^n = (x\sqrt2ab + yb^2) (xa^{n2 - 1} - x^{n - 2}y\sqrt2ab + ... - xyb^{n - 2} + y^{n - 1}) = (x a^4+ y) \sum_{k=0}b^{n-1} (-1)^k x^{n-k-1}y^{k} 4</math>

che comunque non è una fattorizzazione con polinomi a coefficienti interi.

== [[Potenza (matematica)|Potenza]] ''n''-esima di un binomio ==

Questi casi possono essere chiamati "riconducibili ad una differenza tra quadrati".

* <math> (x + y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} y^k x^{(n-k)} \,\! </math>

== Somma e differenza tra cubi ==

Dove <math> {n \choose k} </math> è il [[coefficiente binomiale]].

Un binomio formato dalla somma di due termini di terzo [[Grado di un polinomio|grado]] può essere scritto come<ref>{{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica (Volume 3)|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}} p.29</ref>:

:<math>x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2).</math>

La potenza n-esima del binomio è composta da n+1 termini, due dei quali di potenza n e coefficiente unitario. Gli esponenti di x decrescono da n a zero, mentre quelli di y crescono da zero a n. Curiosamente, i [[coefficienti binomiali]] si possono determinare anche con il [[triangolo di Tartaglia]].

Un binomio formato dalla differenza di due termini di terzo grado può essere scritto come:

== Prodotti notevoli più spesso utilizzati ==

:<math>x^3 - y^3 = (x - y) (x^2 + xy + y^2).</math>

Di seguito vengono riportate in maniera sintetiche le formule dei prodotti notevoli più spesso utilizzati.

Le due formule si possono unificare scrivendole come:

* <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>

* <math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

* <math>(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2</math>

* <math>(a-b)^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2</math>

:<math> x^3 \pm y^3 = (x \pm y)(x^2 \mp xy + y^2).</math>

Il [[trinomio]] di secondo grado viene talvolta detto ''falso quadrato'' perché, rispetto al quadrato di un binomio, il secondo termine manca del coefficiente <math>2</math> e ha il segno opposto. Inoltre nell'insieme dei [[Numero reale|numeri reali]] tale trinomio non è mai [[Fattorizzazione|fattorizzabile]] nel prodotto di due binomi.

== Somma e differenza tra potenze dello stesso grado ==

La precedente formula, che riguarda un binomio di terzo grado, può essere generalizzata con le seguenti riduzioni nel [[Numero algebrico#Il campo dei numeri algebrici|campo dei numeri algebrici]], dimostrabili passando attraverso le radici complesse coniugate di <math> f(x) = x^n \pm y^n</math>.<ref>{{Cita web|url=https://docs.google.com/file/d/0B3keY4mwHh9kcmMxcFNVUjZfemgxWTZVeDJMMkpkWXdPLVZZ/edit?usp=docslist_api&usp=embed_facebook|titolo=La Scomposizione Ciclotomica di a^n±b^n.pdf|sito=Google Docs|accesso=2025-07-12|pp=20-25}}</ref><ref>{{Cita web|url=https://docs.google.com/file/d/0B3keY4mwHh9kOUl6QjBOVjlac2dWaEZwM1JXeDcxV0w1M0hJ/edit?usp=docslist_api&usp=embed_facebook|titolo=Cyclotomic Factorization of a^n±b^n.pdf|sito=Google Docs|accesso=2025-07-12}}</ref>

Un binomio formato dalla somma di due potenze di egual grado pari può essere scritto come:

:<math>x^{2n} + y^{2n} = \prod_{k=1}^n \Bigl(x^2 \pm 2xy\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} + y^2\Bigl).</math>

Un binomio formato dalla differenza di due potenze di egual grado pari può essere scritto come:

:<math>x^{2n} - y^{2n} = (x - y)(x + y)\prod_{k=1}^{n-1} \Bigl(x^2 \pm 2xy\cos\frac{k\pi}n + y^2\Bigl).</math>

Un binomio formato dalla somma o dalla differenza di due potenze di egual grado dispari può essere scritto come:

:<math>x^{2n+1} \pm y^{2n+1} = (x \pm y)\prod_{k=1}^n \Bigl(x^2 \pm 2xy\cos\frac{2k\pi}{2n+1} + y^2\Bigl) = (x \pm y)\prod_{k=1}^n \Bigl(x^2 \pm 2xy(-1)^k\cos\frac{k\pi}{2n+1} + y^2\Bigl).</math>

Per esempio, nel caso del quinto grado, si ottiene:

:<math>x^5 \pm y^5 = (x \pm y)\Biggl(x^2 \mp\frac{1-\sqrt 5}2 xy + y^2\Biggl)\Biggl(x^2 \mp\frac{1+\sqrt 5}2 xy + y^2\Biggl),</math>

mentre nel caso della somma del quarto grado, si ottiene:

:<math>x^4 + y^4 = (x^2 - \sqrt 2 xy + y^2)(x^2 + \sqrt 2 xy + y^2).</math>

== Potenza ''n''-esima di un binomio o della somma algebrica di due termini ==

{{vedi anche|Teorema binomiale}}

Un binomio elevato alla <math>n</math>-esima potenza può essere scritto come:

:<math> (A + B)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} A^{(n-k)} B^k,</math>

dove <math>{n \choose k}</math> è il [[coefficiente binomiale]].

La potenza <math>n</math>-esima del binomio o della somma algebrica di due termini è composta da <math>n+1</math> termini, due dei quali di potenza <math>n</math> e coefficiente unitario. Gli esponenti di <math>A</math> decrescono da <math>n</math> a <math>0</math>, mentre quelli di <math>B</math> crescono da <math>0</math> a <math>n</math>. I [[coefficienti binomiali]] si possono determinare, oltre che con i [[fattoriale|fattoriali]], anche con il [[triangolo di Tartaglia]].

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{Cita libro|autore=Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi|titolo=I principi della matematica|volume=3|editore=Atlas|anno=2012|ISBN=978-88-268-1711-8}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web|http://rubiconrivergame.com/prodotti-notevoli-scomposizione-polinomi|Spiegazione del significato geometrico dei prodotti notevoli}}

{{Calcolo letterale}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Algebra elementare]]

[[Categoria:Algebra elementare]]

[[ca:Binomi]]

[[en:Binomial]]

[[es:Igualdades notables]]

[[et:Binoom]]

[[fi:Binomi]]

[[fr:Identités remarquables]]

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[[sl:Binom]]