Logaritmo: differenze tra le versioni

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:<math>c=\log_a b.</math>

Per esempio, il logaritmo in base <math>10</math> di <math>1000</math> è <math>3</math>, poiché bisogna elevare <math>10</math> alla terza potenza per ottenere <math>1000</math>, ovvero <math>10^3= 1000</math>. Facendo riferimento alla succitata formula, avremo <math>a=10</math>, <math>b=1000</math> e <math>c=3</math>.

I logaritmi furono introdotti da [[Nepero]] all'inizio del 1600, e trovarono subito applicazione nelle scienze e nell'ingegneria, soprattutto come strumento per semplificare calcoli con numeri molto grandi, grazie all'introduzione di ''tavole di logaritmi''.

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:<math> a^{\log_a(x)+\log_a(y)}=xy\Longrightarrow \log_a(a^{\log_a(x)+\log_a(y)})=\log_a(xy)</math>

:<math>\log_a(a^{\log_a(x)+\log_a(y)})</math> rappresenta quel numero che si deve mettere come esponente alla base <math>a</math> per ottenere <math> a^{\log_a(x)+\log_a(y)}</math>.

Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:

:<math> \log_a (x)+ \log_a (y)</math>

:<math>\log_a(a^{\log_a(x)+\log_a(y)})=\log_a(xy)\Longrightarrow \log_a(x)+\log_a(y)=\log_a(xy)</math>

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:<math> a^{\log_a(x)-\log_a(y)}=\frac{x}{y}\Longrightarrow \log_a(a^{\log_a(x)-\log_a(y)})=\log_a(\frac{x}{y})</math>

:<math>\log_a(a^{\log_a(x)-\log_a(y)})</math> rappresenta quel numero che si deve mettere come esponente alla base ''a'' per ottenere <math> a^{\log_a(x)-\log_a(y)}</math>.

Il suo valore è ovviamente l'esponente stesso:

:<math> \log_a (x)- \log_a (y)</math>

:<math>\log_a(a^{\log_a(x)-\log_a(y)})=\log_a\left(\frac{x}{y}\right)\Longrightarrow \log_a(x)-\log_a(y)=\log_a\left(\frac{x}{y}\right)</math>

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== Storia ==

Il metodo dei logaritmi fu proposto dallo scozzese [[Nepero]] nel [[1614]], in un libro intitolato ''[[Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio]]''. [[Joost Bürgi]] inventò indipendentemente i logaritmi, ma pubblicò i suoi risultati sei anni dopo Nepero.

Per sottrazioni successive, Nepero calcolò <math>(1-10^{-7})^L</math> per <math>L</math> da <math>1</math> a <math>100</math>; il risultato per <math>L=100</math> è approssimativamente <math>0,99999</math>, ovvero <math>1-10^{-5}</math>. Nepero poi calcolò il prodotto di questi numeri per <math>10^7(1-10^{-5})^L</math>, con <math>L</math> da <math>1</math> a <math>50</math>. Questi calcoli, che occuparono 20 anni, gli permisero di trovare, per ogni numero intero <math>N</math> da 5 a 10 milioni, il numero <math>L</math> che risolve l'equazione

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Per compiere calcoli complessi con una buona precisione queste formule erano molto più veloci del calcolo diretto oppure dell'utilizzo di metodi precedenti, come quello di [[Algoritmo di prostaferesi|prostaferesi]].

Anche il calcolo di potenze e di radici veniva semplificato, riducendosi a [[moltiplicazione]] e divisione di logaritmi:

:<math>c^d = (b^{\log_b (c) })^d = b^{d \log_b (c)}</math>

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== Relazione tra funzione esponenziale e logaritmica ==

Per lo studio di funzioni esponenziali in cui è necessario estrapolare dati o parametri in modo semplice è possibile sfruttare la funzione logaritmo per ricavare una relazione implicita della funzione originale avente il vantaggio di essere lineare. Ad esempio, per una funzione descrivibile come<blockquote>
:<math>y=ae^{bx}</math></blockquote>
con ''a'' e ''b'' costanti è possibile pervenire alla relazione:<blockquote>
:<math>\ln \left ( y \right ) = \ln \left ( ae^{bx} \right ) = \ln \left ( a \right ) + \ln \left ( e^{bx} \right ) = \ln \left ( a \right ) + bx </math></blockquote>
che sul piano semi-logaritmico rappresenta una retta che interseca l'asse delle ordinate in ''ln(a), ''con derivata prima ''b'' e angolo di inclinazione pari ad ''arctan(b)'': in questo modo l'estrapolazione dei dati per la nuova funzione è più semplice ede accessibile.

== Logaritmo complesso ==

{{vedi anche|Logaritmo complesso}}

[[File:Riemann surface log.jpgsvg|thumbminiatura|Grafico del [[logaritmo complesso]]: l'altezza rappresenta il modulo ed il colore l'angolo.]]

La funzione logaritmo può essere estesa ai [[funzione di variabile complessa|numeri complessi]] diversi da zero. Nel caso in cui si tratti di un [[logaritmo naturale]] con argomento [[numero complesso|complesso]] vale la formula seguente:

: <math>\ln{z} = \ln{|z|} + i\left(\arg z+2\pi k\right), z \in \Complex,</math>

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{FOLDOC|logarithmus dualis|logarithmus dualis}}

{{funzioni speciali}}