Numero perfetto: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], un '''numero perfetto''' è un [[numero naturale]] che è uguale alla somma dei suoi [[divisore|divisori]] positivi, escludendo il numero stesso. In termini formali, un numero naturale <math>N</math> si dice perfetto quando <math>\sigma\left(N\right)=2N</math>, dove la funzione <math>\sigma\left(N\right)</math> è la [[funzione sigma]], cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di <math>N</math>.

Ad esempio, il numero <math>28</math>, divisibile per <math>1, 2, 4, 7, 14</math> è un numero perfetto e lo stesso vale per <math>6</math> che è divisibile per <math>1</math>, <math>2</math> e <math>3</math>.:

:<math>28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14</math>

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== Conoscenze attuali ==

Ad oggi<ref name=":0" />, si conoscono 5152 numeri perfetti, il più grande dei quali ha {{formatnum:49724095}}82048639 cifre.

Esempio: <math>6 = 2^1\cdot (2^2 - 1)

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* 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128 (77 cifre)

Il successivo numero perfetto, il tredicesimo, è composto da 314 cifre. Fino ad ora<ref name=":0">Fino a gennaioottobre 20192024.</ref> si conoscono solo 5152 [[Numero primo di Mersenne|primi di Mersenne]], e quindi 5152 numeri perfetti<ref>[https://www.mersenne.org/ GIMPS Home<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>. Il più grande tra questi è {{TA|2^{82589932136279841} × (2^{82589933136279841} − 1),}} formato (in base 10) da {{formatnum:49724095}}82048639 cifre.

I primi 4749 numeri perfetti sono pari e quindi esprimibili come {{TA|2^{''p-1'' − 1}(2^''p'' − 1)}} con:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281<ref>{{OEIS|A000043}}</ref>.

Si conoscono altri quattrotre numeri perfetti maggiori, con

p = 77232917, 82589933, 136279841

p = 57885161, 74207281, 77232917, 82589933

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne siano altri in mezzo,<ref>{{Cita web|url=https://www.mersenne.org/report_milestones|titolo=GIMPS Milestones Report|accesso=2 gennaio 2019}}</ref> né si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito e se esistano numeri perfetti dispari.

Tutti i numeri perfetti pari terminano con un 6 oppure con un 8.

:Infatti, da 2^{''n-1'' − 1} × (2^''n'' − 1) si ha che:

:* 2''^{''n-'' − 1}'' è pari e termina per 2, 4, 8, 6;

:* (2^''n'' − 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

:La cifra finale '5' va scartata perché sappiamo che (2^''n'' − 1) dev'essere primo, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno le cifre 6 e 8 come finali di ogni numero perfetto pari.

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Se la somma dei divisori di <math>N</math> è maggiore di <math>2N</math>, il numero <math>N</math> viene detto ''[[numero abbondante|abbondante]]'', mentre se risulta minore di 2N esso viene chiamato ''[[numero difettivo|difettivo]]''. Ogni numero <math>N</math> che verifica <math>\sigma\left(N\right) = 2N+1</math> viene detto ''[[Numero lievemente abbondante|lievemente abbondante]], ''mentre un numero che verifica'' ''<math>\sigma\left(N\right) = 2N-1</math> viene detto ''[[Numero lievemente difettivo|lievemente difettivo]]''. Finora nessuno è riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti. D'altra parte, mentre è facile verificare che tutte le potenze di due sono numeri lievemente difettivi, non si sa ancora se esistono numeri lievemente difettivi diversi dalle potenze di due.

Non è esclusa la possibilità che esista un numero perfetto dispari. In tal caso, è facilmente dimostrabile che esso non possa essere un [[quadrato perfetto]]. Infatti, preso un numero dispari, tutti i suoi divisori saranno dispari. Siccome la somma di una quantità pari di numeri dispari è pari, ne consegue che un numero perfetto dispari debba necessariamente avere un numero dispari di divisori propri (cioè escluso il numero stesso) e quindi un numero pari di divisori positivi. Questo è possibile esclusivamente se tale numero non è un quadrato perfetto in quanto deve avere almeno un [[fattore primo]] con esponente dispari.

== Note ==

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==Altri progetti==

{{interprogetto|preposizione=sul|wikt=numero perfetto}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} [http://djm.cc/amicable.html Perfect, amicable and sociable numbers] di David Moews

* {{en}} [httphttps://www-history.mcsmathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html/ Perfect numbers - History and Theory] in [[MacTutor]]

* (EN) Successione [[OEIS:A000396|A000396]] della ''[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]''