Parte intera: differenze tra le versioni

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== Proprietà ==

Qualche proprietà della funzione parte intera.

* Si ha

::<math> \lfloor x \rfloor=\max\, \{k\in\mathbb{Z} : k\le x\},</math>

::<math> \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1,</math>

:con l'uguaglianza nella parte sinistra che vale [[se e solo se]] <math>x</math> è un intero.

* La funzione parte intera è [[idempotenza|idempotente]]:

: :<math>\lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor.</math>.

* Per ogni intero <math>k</math> e ogni numero reale <math>x</math>,

::<math> \lfloor k + x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.</math>

per* Per ogni numero<math>x</math> realee <math>xy</math>, reali,

::<math>\lfloor x\pm y \rfloor = \lfloor x \rfloor \pm \lfloor y \rfloor + \lfloor x \pm y - \lfloor x \rfloor \mp \lfloor y \rfloor \rfloor.</math>

* Per ogni intero <math>k</math> e ogni numero reale <math>x</math>,

: :<math>\lfloor kx \rfloor = k /\lfloor 2x \rfloor + \lceillfloor kkx / 2- k\rceillfloor =x k\rfloor \rfloor.</math>.

::

* Per ogni <math>x</math> e <math>y</math> reali,

::<math>\lfloor xy \rfloor = \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor + \lfloor xy - \lfloor x \rfloor \lfloor y \rfloor \rfloor.</math>

::

* Per ogni numero reale non intero <math>x</math> si ha:

::<math>\lfloor -x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1, .</math>

* L'ordinario [[arrotondamento]] di un numero <math>x</math> all'intero più vicino può essere espresso come <math>\lfloor x + 0,5 \rfloor</math>.

* La funzione parte intera non è [[funzione continua|continua]], ma è [[funzione semi-continua|semi-continua]]. Essendo una [[funzione costante]] a tratti , la sua [[derivata]] è zero quando esiste, cioè per tutti i valori che non sono interi.

* Se <math>x</math> è un numero reale e <math>n</math> un intero, si ha <math>n\le x</math> se e solo se <math>n\le \lfloor x\rfloor.</math> In linguaggio ricercato, la funzione parte intera fa parte di una [[connessione di Galois]]; è l'aggiunta superiore della funzione che immerge gli interi nei reali.

* Usando la funzione floor, si possono produrre diverse [[formule per calcolare i numeri primi]] che sono esplicite ma non utilizzabili nella pratica.

* Il [[teorema di Beatty]] afferma che ogni [[numero irrazionale]] partiziona i [[Numero naturale|numeri naturali]] in due sequenze tramite la funzione floor.

== Parte intera superiore ==

[[File:Ceiling function.svg|thumb|right|La funzione ceilingceil()]]

Una funzione strettamente correlata è la '''parte intera superiore''', nota anche come funzione '''ceilingceil''' (dalla parola [[lingua inglese|inglese]] ''ceiling'' che significa "soffitto", contrapposta a ''floor'', "pavimento"), definita nel modo seguente: per ogni numero reale <math>x</math>, ceil(<math>x</math>) è il più piccolo intero non minore di <math>x</math>. Per esempio, ceil(2,3) = 3, ceil(2) = 2 e ceil(−2,3) = -2. La funzione ceiling è anche indicata con <math>\lceil x \rceil</math>. È facile provare che

per ogni numero reale <math>x</math>,

ceiling(<math>x</math>) è il più piccolo intero non minore di <math>x</math>. Per esempio, ceiling(2,3) = 3,

ceiling(2) = 2 e ceiling(−2,3) = -2. La funzione ceiling è anche indicata con <math>\lceil x \rceil</math>.

È facile provare che

:<math>\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor</math>

e che

:<math>x \leqle \lceil x \rceil < x + 1.</math>

Se poi ''x'' non è un intero si ha

:<math>\lceil x\rceil-\lfloor x\rfloor=1.</math>

Per ogni intero ''k'', abbiamo anche che:

: <math>\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k</math>.

:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor imk / n2 \rfloor =+ (m\lceil -k 1)/ (n2 -\rceil 1)= / 2k.</math>

Se ''m'' e ''n'' sono interi positivi [[interi coprimi|primi fra di loro]], allora

:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2</math>

Se ''m'' e ''n'' sono interi positivi [[interi coprimi|primi fra di loro]], allora

== In programmazione ==

:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2.</math>

== In programmazione ==

[[File:Int function.svg|thumb|right|L'operatore <code>(int)</code>]]

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Praticamente tutti i [[linguaggio di programmazione|linguaggi di programmazione]] forniscono al programmatore la possibilità di [[conversione di tipo|convertire]] un valore di un certo [[tipo di dato]] in un valore di un altro tipo. Nello specifico, questo rende possibile convertire valori decimali (che vengono tipicamente rappresentati in [[virgola mobile]]) in numeri interi (di solito rappresentato come [[complemento a due]]).

Nel [[linguaggio di programmazione]] [[C (linguaggio)|C]], questo è reso possibile dall'[[operatore (informatica)|operatore]] di casting <code>(int)</code>. Questa operazione è un misto delle funzioni floor e ceiling: per ''x'' positivi o nulli, restituisce floor(''x''), e per ''x'' negativi restituisce ceilingceil(''x'').

La stessa sintassi funziona con numerosi altri linguaggi, soprattutto quelli derivati dal C, come [[Java (linguaggio di programmazione)|Java]] e [[Perl]], così come la funzione [[POSIX]] floor().

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== Distribuzione uniforme modulo 1 ==

Se <math>x</math> è un numero irrazionale, allora le parti frazionarie <math>nx \bmod 1</math>, dove <math>n</math> varia fra gli interi positivi, sono distribuite uniformemente nell'[[intervallo (matematica)|intervallo aperto]] <math>(0,1)</math>. Questa affermazione può essere resa più precisamente in molti modi, uno dei quali afferma:

:<math>\int_0^1 f(t)\; dt = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f(nx\bmod 1),</math>

per ogni [[funzione continua]] a [[numero reale|valori reali]] <math>f\colon [0,1]\to\mathbb{R}</math> (vedisi vedano [[limite (matematica)|limite]], [[integrale]] e [[teorema dell'equidistribuzione]]).

Seguendo il principio generale dell'[[approssimazione diofantea]] scoperto da [[Hermann Weyl]], questa proprietà è equivalente a qualcosa che è molto più facile da controllare: ossia che le somme

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per <math>k\in\mathbb{N}</math> sono [[O-grande|O(N)]]. Poiché sono [[progressione geometrica|progressioni geometriche]], questo può essere provato in maniera abbastanza diretta. La condizione che <math>x</math> sia irrazionale implica che

:<math>\sin (\pi k x) \ne 0.</math>

== Troncamento ==