Simmetria (statistica): differenze tra le versioni

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[[File:SkewedDistribution.png|thumb|Esempio di dati sperimentali che presentano asimmetria]]

In [[teoria delle probabilità]] una [[distribuzione di probabilità]] è '''simmetrica''' quando la sua [[funzione di probabilità]] ''<math>P''</math> (nel caso [[distribuzione discreta|discreto]]) o la sua [[funzione di densità di probabilità]] (nel caso [[distribuzione continua|continuo]]) siano [[simmetria (matematica)|simmetriche]] rispetto ad un particolare valore <math>x_0</math>:

:<math>P(x_0+x)=P(x_0-x)</math> oppure <math>f(x_0+x)=f(x_0-x).</math>.

Esempi di distribuzioni simmetriche sono le distribuzioni uniformi ([[distribuzione discreta uniforme|discreta]] e [[distribuzione continua uniforme]]) su insiemi simmetrici, la [[distribuzione normale]] e altre distribuzioni derivate da distribuzioni simmetriche (la [[distribuzione t di Student]]) oppure definite in maniera simmetrica (la [[distribuzione di Skellam]] con parametri uguali).

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== Indice di asimmetria ==

L'indice più utilizzato, noto semplicemente come ''indice di asimmetria'' o ''skewness'', è definito come

:<math>\gamma_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}</math>

tramite i momenti centrali <math>m_k=E[\bar{X}^k]</math>, ossia i valori attesi delle potenze della variabile aleatoria [[valore atteso|centrata]] <math>\bar{X}=X-E[X].</math>

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Talvolta viene utilizzato al posto di <math>\gamma_1</math> l'indice

:<math>\beta_1=\gamma_1^2=\frac{m_3^2}{m_2^3},</math>

che tuttavia perde l'informazione sul [[segno (matematica)|segno]] dell'asimmetria.

In [[statistica]] l'indice di asimmetria calcolato su un campione osservato <math>\{x_1,\ldots,x_n\}</math> di media <math>\bar{x}</math> segue la formula

:<math>\gamma_1=\frac{\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-\bar{x})^3}{\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}(x_i-\bar{x})^2\right)^{3/2}}.</math>

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La somma <math>Y=X_1+\ldots+X_n</math> di <math>n</math> variabili aleatorie [[variabili indipendenti]] con la ''stessa'' distribuzione ha momenti centrali <math>m_k(Y)=nm_k(X);</math> in particolare

:<math>\gamma_1(Y)=\frac{1}{\sqrt{n}}\gamma_1(X).</math>

Una convinzione '''sbagliata''' ma diffusa (e "sostenuta" da alcuni testi che la riportano come ''"regola indicativa''") è che il segno del coefficiente <math>\gamma_1</math> possa determinare le posizioni reciproche del valore atteso, della [[mediana (statistica)|mediana]] e della [[moda (statistica)|moda]] (se questa è unica) di una distribuzione, in particolare che esse debbano coincidere se <math>\gamma_1=0</math>.<ref>{{cita web|url=https://doi.org/10.1080/10691898.2005.11910556|titolo=Mean, Median, and Skew: Correcting a Textbook Rule|lingua={{en}}|autore=Paul T. von Hippel|accesso=06 novembre 2022|opera=Journal of Statistics Education}}</ref>

== Indice di Pearson ==

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Poiché la media e la mediana sono uniche per ogni distribuzione e coincidono per distribuzioni simmetriche, il segno del secondo coefficiente di Pearson dà informazioni sul tipo di asimmetria. Nel caso in cui il segno sia positivo, ossia la media è maggiore della mediana, il picco della distribuzione è spostato verso destra; verso sinistra se il segno è negativo.

== Indice di Bowley-Yule ==

Un altro indice di asimmetria, basato sui [[Quantile|quantili]], introdotto da [[Arthur Lyon Bowley|Bowley]] e riproposto da [[George Udny Yule|Yule]] usa la formula

:<math>\gamma = \frac{(x_{(0,75)} - x_{(0,5)})-(x_{(0,5)}-x_{(0,25)})}{x_{(0,75)}-x_{(0,25)}}=\frac{q_1+q_3-2M}{q_3-q_1},</math>

dove <math>x_{( \alpha)}</math> indica il quantile di ordine <math>\alpha</math>, <math>q_1</math> e <math>q_3</math> identificano rispettivamente il primo e il terzo quartile di <math>x</math> e <math>M=q_2</math> è la mediana della distribuzione.<ref>{{Cita libro|autore=Arthur Lyon Bowley|titolo=Elements of Statistics|edizione=4|annooriginale=1901|anno=1920|editore=P.S. King & Son|città=Londra|lingua=inglese}}</ref>

Talvolta questa quantità viene generalizzata nella forma

:<math>\gamma_\alpha = \frac{x_{(\alpha)}+x_{(1-\alpha)}-2M}{x_{(1-\alpha)}-x_{( \alpha)}},\qquad</math> con <math>0 \le \alpha < 0,5.</math>

== Esempio ==

Un esempio di distribuzione non simmetrica con coefficiente di asimmetria 0 è la distribuzione discreta

:<math>P(-4)=\tfrac{1}{3},\quad P(1)=\tfrac{1}{2},\quad P(5)=\tfrac{1}{6},</math>

che può essere visualizzata come il lancio di un dado le cui sei facce presentino i numeri "-4, -4, 1, 1, 1, 5".

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