Modello di Vicsek: differenze tra le versioni

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In [[fisica statistica]], il '''modello di Vicsek''' è un [[modello matematico]] utilizzato per descrivere in modo semplificato (un [[toy model]]) la [[materia attiva]]. La principale motivazione alla base dello studio della materia attiva da parte dei fisici è la ricca fenomenologia associata a questo campo, di cui il moto collettivo e la [[Formazione a sciame|sciamatura]] sono tra i fenomeni più studiati. All'interno dell'enorme numero di modelli che sono stati sviluppati per catturare tale comportamento partire da una descrizione microscopica, il più famoso è il modello introdotto da [[Tamás Vicsek]], assieme ad altri scienziati, nel 1995.<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=Novel Type of Phase Transition in a System of Self-Driven Particles|data=7 agosto 1995|volume=75|doi=10.1103/PhysRevLett.75.1226|nome=Tamás|cognome=Vicsek|pmid=10060237|arxiv=cond-mat/0611743}}</ref> In realtà un modello molto simile era stato già introdotto in precedenza nel campo della [[computer grafica]] da Craig Reynolds nel 1986 con il software [[Boids]].<ref>{{Cita pubblicazione|nome=Craig W.|cognome=Reynolds|data=1º agosto 1987|titolo=Flocks, herds and schools: A distributed behavioral model|rivista=ACM SIGGRAPH Computer Graphics|volume=21|numero=4|pp=25–3425-34|accesso=9 novembre 2021|doi=10.1145/37402.37406|url=https://doi.org/10.1145/37402.37406}}</ref>

I fisici hanno un grande interesse per modello di questo tipo in quanto è minimale e descrive dei comportamenti universali. È costituito da [[particelle semoventi]] puntiformi che si muovono a velocità costante e allineano la direzione del loro moto con quella delle particelle vicine, in presenza di rumore. Tale modello è in grado di simulare un moto movimento collettivo per una elevata densità di particelle o per un basso rumore di fondo.

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== Descrizione matematica ==

Un elemento <math>i</math> è descritto dal suo vettore posizione <math>\mathbf{r}_i(t)</math> e dall'angolo <math>\Theta_i(t)</math> che definisce la direzione del suo moto al tempo <math>t</math>. L'evoluzione temporale, discretizzata, di una particella è quindi data da due equazioni: ad ogni intervallo di tempo <math>\Delta t</math>, ogni individuo si allinea con i suisuoi vicini <math>j</math>, posti a distanza massima <math>r</math>, con un'incertezza dovuta a un rumore stocastico <math>\eta_i(t)</math>, come:

<math>\Theta_i(t+\Delta t) = \langle \Theta_j \rangle_{|r_i-r_j|<r} + \eta_i(t)</math>

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<math>\mathbf{r}_i(t+\Delta t) = \mathbf{r}_i(t) + v \Delta t \begin{pmatrix} \cos\Theta_i(t) \\ \sin\Theta_i(t) \end{pmatrix}</math>

L'intero modello dipende da tre parametri: la densità delle particelle, l'intensità del rumore sull'allineamento e il rapporto tra la distanza percorsa in un intervallo <math>v \Delta t</math> e il raggio di interazione <math> r </math>. Da queste due semplici regole iterative sono state ricavate varie teorie continue,<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=Boltzmann and hydrodynamic description for self-propelled particles|rivista=Physical Review E|data=2 agosto 2006|ppp=022101|volume=74|numero=2|doi=10.1103/PhysRevE.74.022101|pmid=17025488|nome=Eric|cognome=Bertin|arxiv=cond-mat/0601038}}</ref> fra cui la più famosa è il [[modello di Toner-Tu]]<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=Long-Range Order in a Two-Dimensional Dynamical $\mathrm{XY}$ Model: How Birds Fly Together|rivista=Physical Review Letters|data=4 dicembre 1995|pp=4326–4329|volume=75|numero=23|doi=10.1103/PhysRevLett.75.4326|pmid=10059876|nome=John|cognome=Toner}}</ref> che descrive il sistema con un'equazione di tipo [[Fluidodinamica|idrodinamico]]. È stata sviluppata anche una [[teoria cinetica]] alla Enskog, valida per valori di densità arbitrari.<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=Kinetic theory of flocking: Derivation of hydrodynamic equations|rivista=Physical Review E|data=16 marzo 2011|ppp=030901|volume=83|numero=3|doi=10.1103/PhysRevE.83.030901|nome=Thomas|cognome=Ihle}}</ref> Questa teoria è in grado di descrivere quantitativamente la formazione di onde di densità ripide, chiamate anche onde di invasione, nei pressi della transizione al moto collettivo.<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=Invasion-wave-induced first-order phase transition in systems of active particles|rivista=Physical Review E|data=18 ottobre 2013|ppp=040303|volume=88|numero=4|doi=10.1103/PhysRevE.88.040303|nome=Thomas|cognome=Ihle|arxiv=1304.0149}}</ref>

== Fenomenologia ==

Questo modello mostra una [[transizione di fase]]<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=Onset of Collective and Cohesive Motion|rivista=Physical Review Letters|data=15 gennaio 2004|ppp=025702|volume=92|numero=2|doi=10.1103/PhysRevLett.92.025702|pmid=14753946|nome=Guillaume|cognome=Grégoire|arxiv=cond-mat/0401208}}</ref> da un moto disordinato a un moto ordinato su larga scala. A grande rumore, o a bassa densità, le particelle sono in generale non allineate fra loro, e si comportano come un gas disordinato. A basso rumore e ad alta densità, le particelle invece sono allineate fra loro muovendosi nella stessa direzione, come un liquido ordinato. La transizione tra queste due fasi non è continua, infatti il [[diagramma di fase]] del sistema mostra una [[Transizione di fase|transizione di fase del primo ordine]] con una regione di coesistenza. In tale regione, bande di "liquido" di dimensione finita<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=From Phase to Microphase Separation in Flocking Models: The Essential Role of Nonequilibrium Fluctuations|rivista=Physical Review Letters|data=12 febbraio 2015|ppp=068101|volume=114|numero=6|doi=10.1103/PhysRevLett.114.068101|nome=Alexandre P.|cognome=Solon|pmid=25723246|arxiv=1406.6088}}</ref> emergono all'interno di un ambiente "gassoso" e si muovono lungo la loro direzione trasversale. Recentemente è stata scoperta una nuova fase: una fase ordinata polare, simile al [[mare a croce]], di onde di densità. Questa organizzazione spontanea delle particelle è quindi un [[toy model]] di [[comportamento emergente]] nel campo della materia attiva.

== Estensioni ==

Dalla sua comparsa nel 1995 questo modello è stato molto popolare all'interno della comunità dei fisici statistici; con molti scienziati che ci hanno lavorato e hanno provato ad ampliarlo. Ad esempio, si possono ricavare diverse [[Classe di universalità|classi di universalità]] a partire da semplici argomenti di [[Simmetria (fisica)|simmetria]] riguardanti il moto delle particelle e il loro allineamento.<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=Modeling collective motion: variations on the Vicsek model|rivista=The European Physical Journal B|data=11 luglio 2008|issn=1434-6028|pp=451–456451-456|volume=64|numero=3–4|doi=10.1140/epjb/e2008-00275-9|nome=H.|cognome=Chaté}}</ref>

Per descrivere in modo più realistico i sistemi reali, si possono aggiungere molti altri effetti, ad esempio attrazione e repulsione tra agenti, particelle di dimensione finita o di forma non sferica, [[chemiotassi]] (ad esempio nei sistemi biologici), memoria (ossia il moto di una particella dipende non solo dai valori al tempo <math>t</math>, ma anche ai tempi precedenti), particelle non tutte identiche fra di loro, o l'influsso del liquido in cui sono immerse le particelle (nel caso in cui esse siano micronuotatori come i [[batteri]]).

Una teoria più semplice, il [[modello di Ising]] attivo,<ref>{{Cita pubblicazione|titolo=Revisiting the Flocking Transition Using Active Spins|rivista=Physical Review Letters|data=13 agosto 2013|ppp=078101|volume=111|numero=7|doi=10.1103/PhysRevLett.111.078101|nome=A. P.|cognome=Solon|pmid=23992085|arxiv=1303.4427}}</ref> è stata sviluppata per facilitare l'analisi del modello di Vicsek.

== Note ==