Numero irrazionale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], un '''numero irrazionale''' è un [[numero reale]] che non è un [[numero razionale]], cioè non può essere scritto come una [[frazione (matematica)|frazione]] ''a / b'' con ''a'' e ''b'' [[numeri interi|interi]] e ''b'' diverso da [[zero|0]]. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansionerappresentazione in qualunquequalsiasi [[Base (aritmetica)|base]] ([[Sistema numerico decimale|decimale]], [[Sistema numerico binario|binaria]], ecc.) non terminaha mai etermine noned formaallo stesso tempo non unapresenta sequenzasequenze periodicaperiodiche.

L'introduzione di questi numeri nel panorama matematico è iniziata con la scoperta da parte dei greci delle grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune.

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=== Irrazionalità della radice quadrata di 2 ===

Una dimostrazione dell'irrazionalità della [[radice quadrata di due]] (trasmessa da [[Archita]]) è la seguente, che procede [[Dimostrazione per assurdo|per assurdo]]., Laovvero proposizione è provata assumendosupponendo l'opposto della proposizione iniziale e mostrando che è falso,: checiò implica che la proposizione iniziale debba essere vera.

Supponiamo che <math>\sqrt{2}</math> sia un numero razionale. Ciò comporta che esistono due interi ''a'' e ''b'' [[interi coprimi|privi di fattori comuni]] tali che <math>\frac{a}{b} = \sqrt{2}</math>. Elevando al quadrato ad ambo i membri, si ha <math>\frac{a^2}{b^2} =2</math>, cioè <math>a^2=2b^2</math>.

Questo implica che ''<math>a''²^2</math>, essendo il doppio di <math>b^2</math>, è pari.

Poiché il quadrato di un [[Numeri pari e dispari|numero pari]] è pari (<math>(2k)^2=2(2k^2)</math>), mentre il quadrato di un numero dispari è dispari (<math>(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1</math>), ne deriva che ''a'' è pari, ossia esiste ''k'' intero tale che ''a''=2''k''.

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Sostituendo abbiamo

:<math>a^2=(2k)^2=4k^2=2b^2 \Longrightarrow b^2=2k^2</math>

cioè risulta che anche ''b'' è pari,. eRisulta quindi che ''a'' e ''b'', essendo entrambi pari, hanno in comune unil fattoredivisore 2, il che è impossibile perché lierano avevamostati assunti privi di fattori comuni.

PoichéEssendo abbiamostata ottenutoottenuta una contraddizione con l'assunzione che <math>\sqrt 2</math> sia un numero razionale, essa deve essere falsa. Dunque abbiamosi è dimostrato l'opposto, cioè che <math>\sqrt{2}</math> è irrazionale, che era la proposizione di partenza.

Questa dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque [[numero naturale]] è un numero naturale o è irrazionale.