Altezza (geometria): differenze tra le versioni

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[[Immagine:altezza.svg|thumb|upright=1.2|Altezze interna ed esterna di un triangolo.]]L''''altezza''' è un segmento caratteristico di alcune forme geometriche.

{{S|geometria}}

L''''altezza''' in [[geometria]] è definita solo per alcune figure geometriche:

Ad esempio, nel [[triangolo]] si dice altezza il segmento più breve (quindi perpendicolare) che unisce un [[vertice (geometria)|vertice]] alla retta contenente il [[lato opposto]]. In alcuni altri poligoni e poliedri (ad esempio il [[trapezio (geometria)|trapezio]] ed il [[parallelepipedo]]), con lo stesso termine si indica la distanza tra le [[base (geometria)|basi]].

[[triangolo]], [[trapezio]], [[quadrato]], [[parallelogramma]] e [[quadrato]].

L' altezza di è un segmento che parte da un vertice della figura e cade perpendicolarmente (''vedi [[perpendicolare]]'') ad un lato.

L'uso preminente dell'altezza è quello di facilitare il calcolo delle [[area|aree]] o dei [[volume|volumi]]: in virtù dell'ortogonalità tra altezza e base, solitamente la misura di una figura o di un solido è semplicemente una certa frazione (fissa e dipendente dal tipo di forma geometrica) del prodotto delle due lunghezze. Ad esempio, nel caso dei parallelogrammi (rispettivamente, dei parallelepipedi), questa frazione è uguale a 1, e l'area (rispettivamente, il volume) si trova semplicemente moltiplicando le dimensioni di base ed altezza.

Si parla di altezza sia con riferimento al [[segmento]] (chiamato appunto altezza) della figura geometrica considerata, sia con riferimento alla lunghezza di tale segmento (indicata solitamente con ''h'').

== Triangolo ==

[[Immagine:Altezze_triangolo.png|right]]thumb|upright=1.4|Un triangolo con evidenziate le tre altezze<br />

''h_a'' relativa al vertice A sul lato a<br />

L'altezza di un triangolo è il segmento perpendicolare alla base che ha per estremi il vertice opposto alla base e un punto della base stessa.

''h_b'' relativa al vertice B sul lato b<br />

Ogni triangolo possiede quindi tre altezze ognuna delle quali è associata ad un [[lato]].

''h_c'' relativa al vertice C sul lato c.]]

In ogni triangolo sono presenti tre altezze, ognuna relativa ad uno specifico [[vertice (geometria)|vertice]], e vengono misurate lungo il segmento che interseca [[perpendicolarità|perpendicolarmente]] la retta su cui giace il [[lato opposto]] (formando con questa un [[angolo retto]]). Ciascuna altezza risulta così il più breve tragitto tra il vertice e la retta del lato opposto e costituisce quindi la [[ceviana]] più corta ottenibile.

Le altezze di un triangolo non sono sempre ''interne''. In particolare sono:

In base al tipo di triangolo:

*tutte e tre entro il perimetro se il triangolo è [[triangolo acutangolo|acutangolo]];

* In un [[triangolo equilatero]] le altezze hanno la stessa lunghezza. Inoltre coincidono con le [[bisettrice|bisettrici]], le [[mediana (geometria)|mediane]] e gli [[asse di un triangolo|assi]].

*due giacenti sul perimetro stesso se il triangolo è [[triangolo rettangolo|rettangolo]] (cioè due corrispondono ai ''[[cateto|cateti]]'' e la terza, quella dell'ipotenusa, è interna);

* In un [[triangolo isoscele]] due altezze hanno la stessa lunghezza.

*due ''esterne'', cioè fuori dall'area perimetrale, se il triangolo è [[triangolo ottusangolo|ottusangolo]], con la terza corrispondente del lato maggiore sempre interna, le altre due intersecanti i prolungamenti degli altri due lati.

* In un [[triangolo scaleno]] le altezze hanno lunghezze diverse.

In ogni caso, le altezze (o le rette che le contengono) sono sempre concorrenti in un unico punto detto ''[[ortocentro]]''.

=== Ortocentro ===

Le 3 altezze di un triangolo si intersecano in un unico punto chiamato [[ortocentro]].

=== TrapezioFormulario ===

L'altezza <math>h_b</math> relativa al lato <math>b</math> può essere espressa in vari modi:

[[Immagine:Altezza_trapezio.png|right]]

:<math>h_b = \frac{2\Delta}{b} = \frac{\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}}{2b} = 2\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}</math>

L'altezza di un [[trapezio (geometria)|trapezio]] è definita come un [[segmento]] che congiunge base maggiore e base minore e perpendicolare alle due basi.

Un trapezio, a differenza del [[triangolo]], ha quindi infinite altezze che hanno tutte la stessa misura.

Nelle formule <math>\Delta</math> è l'[[area]] del triangolo, <math>p</math> è il [[semiperimetro]] e <math>\hat C</math> è l'angolo in <math>C</math>. Nei passaggi, il <math>\Delta</math> è stato calcolato utilizzando la [[formula di Erone]].

== Solidi ==

In tutti i [[geometria solida|solidi]] con una [[base (geometria)|base]], l'altezza è definita come il segmento più corto che congiunge il piano che contiene la base stessa al punto del solido più lontano da tale piano.

== Voci correlate ==

* [[Distanza (matematica)]]

===* [[Ortocentro ===]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{CTK|triangle/altitudes|altezza}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:geometria euclidea]]

[[en:Altitude (triangle)]]