Singolarità isolata: differenze tra le versioni
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{{nota disambigua||Singolarità}}
In [[matematica]], e più precisamente in [[analisi complessa]], una '''singolarità isolata''' è un punto isolato in cui una [[funzione olomorfa]] non è definita (mentre risulta definita in ogni altro punto vicino). La funzione olomorfa può avere nel punto essenzialmente 3 tipi di comporamenti diversi, e a seconda del comportamento la singolarità è detta '''eliminabile''', '''[[polo (analisi complessa)|polo]]''' o '''essenziale'''.▼
{{F|matematica|luglio 2017}}
▲In [[matematica]], e più precisamente in [[analisi complessa]], una '''singolarità isolata''' è un punto
== Definizione ==
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Si distinguono generalmente tre tipi di comportamento della <math> f </math> vicino al punto di singolarità <math>z_0</math>. Ciascuno di questi è determinato dallo sviluppo locale in serie di Laurent, oppure dal comportamento del modulo <math> |f(z)| </math> vicino al punto.
Si noti che la tipologia di singolarità dell'intera funzione non è univocamente determinata dalla serie di Laurent locale, se essa ha raggio di convergenza positivo.
=== Singolarità eliminabile ===
La singolarità <math>z_0</math> è '''eliminabile''' se esiste il [[limite di una funzione|limite]]
:<math>\lim_{z \to z_0} f(z) = L\in\mathbb C.</math>
Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:
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* La funzione si estende ad una [[funzione olomorfa]] su tutto <math> A </math>.
Esempio: la funzione <math>f(z) = \frac {\sin(z)
=== Polo ===
{{vedi anche|Polo (analisi complessa)}}
La singolarità <math>z_0</math> è un '''[[ :<math>\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^{n} \cdot f(z) = L\in\mathbb C,</math>
con <math>L \neq 0</math>. Il numero <math>n</math> è l''''ordine''' o '''molteplicità''' del polo. Un polo di ordine 1 è detto '''semplice'''.
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Le condizioni seguenti sono equivalenti a questa:
* Esiste solo un numero finito (diverso da zero) di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, esiste <math> n<0 </math> tale che <math>a_n\neq 0</math> e <math> a_k = 0 </math> per ogni <math>k<n</math>.
* Il modulo <math>|f(z)| </math> tende a <math>+\infty </math> se <math> z </math> tende a <math>z_0 </math>
* La funzione <math>g(z)=1/f(z) </math> è definita in un intorno di <math>z_0 </math> ed ha una singolarità eliminabile in <math> z_0 </math>.
Esempio: la funzione <math>f(z) = \frac {1
=== Singolarità essenziale ===
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* Esiste un numero infinito di termini negativi non nulli della serie di Laurent. Cioè, per ogni <math>n_0<0</math> esiste un <math>n<n_0</math> con <math>a_n\neq 0</math>.
* Il modulo <math>|f(z)| </math> non ha limite per <math> z </math> tendente a <math> z_0 </math>
▲'''Esempio:''' la funzione <math>f(z) = exp(1/z)</math> presenta una singolarità essenziale in z = 0.
== Esempi ==
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definita su <math>\mathbb C \setminus\{0\} </math> ha una singolarità essenziale in <math> 0 </math>. Infatti lo sviluppo di Laurent è
:<math> f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac {\,z^{-n}}{n!} </math>
Anche il fatto che la funzione <math> |f(z)| = |e^\frac 1z |</math> non ammetta limite (finito o infinito) per <math>z</math> che tende a 0
è sufficiente per dimostrare l'essenzialità della singolarità.
== Proprietà ==
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Sia <math> k </math> un [[numero intero]]. Moltiplicando la funzione <math> f(z) </math> per <math>(z-z_0)^k </math>, i coefficienti della serie di Laurent centrata in <math> z_0 </math> vengono traslati di <math> k </math> posti (a sinistra o a destra a seconda del segno di <math>k </math>). In questo modo è possibile modificare l'ordine di un polo, trasformare ogni polo in singolarità eliminabile, oppure viceversa creare poli a partire da singolarità eliminabili.
Se la singolarità è essenziale, rimane tale anche dopo la moltiplicazione per <math>(z-z_0)^k </math>.
=== Singolarità essenziale ===
Una funzione vicino ad una singolarità essenziale è estremamente discontinua. Per il [[Teorema di Casorati-Weierstrass]], l'[[immagine (matematica)|immagine]] <math> f(U) </math> di ogni intorno aperto <math>U</math> di <math> z_0 </math> è un aperto [[insieme denso|denso]] del piano complesso. Il [[teorema di Picard]] afferma di più: <math> f(U) </math> è tutto il piano complesso, oppure il piano tranne un punto.
Da questo segue ad esempio che per ogni numero complesso <math>\lambda </math> esiste una [[successione (matematica)|successione]] di punti <math> z_i\to z_0</math> [[limite di una successione|convergenti]] a <math>z_0 </math> tali che <math> f(z_i)\to\lambda </math>. In altre parole, la funzione intorno a <math> z_0 </math> "converge a qualsiasi cosa".
== Singolarità all'infinito ==
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:<math>z= \frac{1}{\eta}</math>
allora il punto all'infinito diventa l'origine e acquisisce il tipo di singolarità della funzione <math>
Il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|Teorema di Liouville]] dice che una funzione intera avente singolarità eliminabile all'infinito è costante.
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== Voci correlate ==
* [[Polo (analisi complessa)]]
* [[Punto fuchsiano]]
* [[Residuo (analisi complessa)]]
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Analisi complessa]]▼
▲[[Categoria:Analisi complessa]]
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