Gradiente: differenze tra le versioni

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== Definizione ==

[[File:Gradient.jpg|upright=1.5|thumb|<div align="center">Esempio di gradiente di una funzione <math>f : \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}</math>.

</div>Le linee di flusso sono quelle curve che hanno come vettore tangente proprio <math>\nabla f</math>.]]

Solitamente si definisce l'operatore gradiente per funzioni scalari di tre variabili <math>f \equiv f (x_1,x_2,x_3)</math>, ma la definizione può essere estesa a funzioni in uno [[spazio euclideo]] di dimensione arbitraria. Il gradiente di <math>f</math> è un [[campo vettoriale]] che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la [[derivata direzionale]] di <math>f</math> nella direzione di un generico [[Vettore (matematica)|vettore]] <math>\mathbf v</math> tramite il [[prodotto scalare]] tra <math>\mathbf v</math> e il gradiente della funzione nel punto.

Riga 15:

Nel caso di un [[sistema di riferimento cartesiano]] [[base ortonormale|ortonormale]] il gradiente di <math>f(x,y,z)</math> è il vettore che ha per componenti le [[derivata parziale|derivate parziali]] prime calcolate nel punto:

:<math> \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x }\hat{\mathbf{x}} + \frac{\partial f}{\partial y }\hat{\mathbf{y}} + \frac{\partial f}{\partial z }\hat{\mathbf{z}}</math>

dove <math>\hat{\mathbf{x}}</math>, <math>\hat{\mathbf{y}}</math> e <math>\hat{\mathbf{z}}</math> sono i [[Versore|versori]] lungo gli assi.

Dal momento che l'operatore gradiente associa a un punto dello spazio un vettore, il gradiente di una [[funzione differenziabile]] scalare <math> f\colon X \rightarrow \R</math> su <math>X \subset \R^n</math> è un [[campo vettoriale]] che associa a ogni <math> x \in X</math> il vettore <math>\nabla f (x)</math>.

Un campo gradiente è [[campo vettoriale conservativo|conservativo]], cioè non si ha dissipazione di energia (il lavoro compiuto lungo una linea chiusa è sempre nullo). Infatti, se si calcola l'[[integrale di linea]] lungo una qualunque [[Curva (matematica)|curva]] <math>\gamma\colon [0,1] \to \R^n</math> che sia chiusa, cioè tale che <math>\gamma(0)=\gamma(1)</math> si ottiene:

:<math>\int_\gamma \nabla f \cdot \operatorname d\!\mathbf s= \int_0^1 \nabla f (\gamma(t)) \cdot \gamma ^\prime (t)\operatorname d\! t=f(\gamma(1))-f(\gamma(0))=0.</math>

Inoltre, le linee di flusso di un campo gradiente associato a una funzione scalare <math>f</math> sono ovunque perpendicolari (o ortogonali) agli [[Insieme di livello|insiemi di livello]] di <math>f</math>, cioè alle [[ipersuperficie|ipersuperfici]] date dall'equazione cartesiana <math>f(\mathbf x)=c</math> al variare di <math>c \in \R</math>. Infatti, i [[spazio tangente|vettori tangenti]] alle linee di flusso sono dati da <math>\nabla f</math>: si consideri allora un generico vettore <math>v</math> tangente a una superficie di livello in un punto <math>x \in \R^n</math>, e sia <math>\varphi(t)</math> una curva tale che <math>\varphi(0)=x</math>, che giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore tangente alla curva in <math>x</math> è <math>\varphi^\prime(0)=v</math>. Dato che <math>\varphi</math> è su una superficie di livello allora <math>f(\varphi(t))=c</math>, cioè derivando si ha <math>\nabla f(\varphi(0)) \cdot \varphi^\prime (0)=\nabla f(x) \cdot v=0</math>.

Riga 32:

Per una [[funzione liscia]] <math>f</math> definita su una [[varietà riemanniana]] <math>(M,g)</math> il gradiente è il [[campo vettoriale]] <math>\nabla f</math> tale che per un qualsiasi campo vettoriale <math>X</math> si ha:

:<math> g_x((\nabla f)_x, X_x ) = (\partial_X f) (x),</math>

dove <math>g_x(\cdot,\cdot)</math> indica il [[prodotto interno]] (definito dalla metrica <math>g</math>) tra vettori tangenti la varietà nel punto <math>x</math>, mentre <math>\partial_X f</math> è la funzione che a ogni punto <math>x \in M</math> associa la [[derivata direzionale]] di <math>f</math> nella direzione <math>X</math> valutata in <math>x</math>.

In modo equivalente, data una [[Atlante (topologia)|carta]] <math>\varphi</math> definita su un aperto in <math>M</math> a valori in <math>\R^n</math>, la funzione <math>\partial_X f (x)</math> è data da:

Riga 40:

:<math>\sum_{j=1}^n X^{j} (\varphi(x)) \frac{\partial}{\partial x^{j}}(f \circ \varphi^{-1}) \Big|_{\varphi(x)},</math>

dove <math>X^j</math> è la <math>j</math>-esima componente di <math>X</math> nella carta considerata. Quindi la forma locale del gradiente è:

:<math> \nabla f= g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^{k}}\frac{\partial}{\partial x^{i}}.</math>

Generalizzando il caso <math>M = \R^n</math>, il gradiente di una funzione si relaziona con la sua [[derivata esterna]] nel seguente modo:

:<math>(\partial_X f) (x) = \mathrm df_x(X_x).</math>

Si tratta di un caso particolare (quello in cui la metrica <math>g</math> è quella "piatta" data dal prodotto interno) della seguente definizione. Il gradiente <math>\nabla f</math> è il campo vettoriale associato alla 1-forma differenziale <math>\mathrm d f</math> usando l'[[isomorfismo musicale]]:

Riga 58:

Il gradiente di una funzione <math>f: \R^n \to \R</math> in ogni punto <math>x_0 \in \R^n</math> caratterizza la miglior approssimazione lineare di <math>f</math> nel punto:

:<math> f(x) \approx f(x_0) + (\nabla f)_{x_0}\cdot(x-x_0) </math>

per <math>x</math> vicino a <math>x_0</math>, con <math>(\nabla f)_{x_0}</math> il gradiente di <math>f</math> calcolato in <math>x_0</math>. Tale espressione è equivalente all'espansione in [[serie di Taylor]] di una funzione di più variabili in <math>x_0</math>.

Riga 64:

La migliore approssimazione lineare a una funzione <math>f\colon \R^n \to \R</math> in <math>x_0</math> è una [[trasformazione lineare|mappa lineare]] da <math>\R^n</math> in <math>\R</math> detta ''differenziale'' o [[derivata totale]] di <math>f</math> in <math>x_0</math>, e denotata con <math>\mathrm d f_x(v)</math>. Il gradiente è legato al differenziale dalla relazione:

:<math> (\nabla f)_x\cdot v = \mathrm d f_x(v), \qquad \forall v \in \R^n.</math>

La funzione <math>\mathrm d f</math> che mappa <math>x</math> in <math>\mathrm d f_x</math> è anche detta differenziale o [[derivata esterna]], e si tratta di una 1-[[forma differenziale]].

Riga 73:

In <math>\R^2</math> si possono introdurre altri [[Sistema di riferimento|sistemi di riferimento]], come quello polare:

:<math>\begin{cases}
x = x_0 + \rho \cos \phi \\
y = y_0 + \rho \, \sin \phi
\end{cases}</math>

dove <math>\rho</math> rappresenta la coordinata radiale e <math>\phi</math> la coordinata angolare. Per calcolare il gradiente di una funzione <math>f = f(\rho ; \phi)</math> è sufficiente eseguire la trasformazione:

:<math> \nabla f(\rho ; \phi) = \left( \frac {\partial f}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial x} + \frac {\partial f}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} \right) \mathbf{e}_x + \left( \frac {\partial f}{\partial \rho}\frac{\partial \rho}{\partial y} + \frac {\partial f}{\partial \phi}\frac{\partial \phi}{\partial y} \right) \mathbf{e}_y.</math>.

Ricordando che:

:<math>\begin{cases}
\rho^2 = x^2 +y^2 \\
\phi = \arctan \left( \frac{y}{x} \right)
\end{cases}</math>

si ottengono le seguenti derivate:

:<math> \frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \cos \phi;</math>

:<math> \frac{\partial \rho}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sin \phi;</math>

:<math> \frac{\partial \phi}{\partial yx} = - \frac{xy}{x^2 + y^2} = - \frac{\cos sin\phi}{\rho};</math>

:<math>\frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{\cos\phi}{\rho}.</math>

scrivendoScrivendo i vettori della base cartesiana come:

:<math> \frac{\partial \rho}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sin \phi</math>

:<math> \fracmathbf{\partial \phie}_{\partial x} = -\cos\phi \frac, \mathbf{ye}_{x^2 + y^2\rho} = - \frac{sin\sinphi \phi, \mathbf{e}_{\rhophi}</math>

:<math>\mathbf{e}_{y} = \sin \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \phi \, \mathbf{e}_{\phi}</math>

:<math> \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} = \frac{\cos \phi}{\rho}</math>

scrivendo i vettori della base cartesiana come:

:<math>\mathbf{e}_{x} = \cos \phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \sin \phi \, \mathbf{e}_{\phi}</math>

:<math>\mathbf{e}_{y} = \sin \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \phi \, \mathbf{e}_{\phi}</math>

e sostituendo le espressioni trovate nell'equazione del gradiente si ha:

:<math>\begin{align}

:<math> \begin{align}\nabla f(\rho \, ; \phi) = &\left( \cos \phi \frac {\partial f}{\partial \rho} - \frac{\sin \phi}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi} \right) \left( \cos \phi \, \mathbf{e}_{\rho} - \sin \phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right) \, +\\&+ \, \left( \sin \phi \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\cos \phi}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi}\right) \left( \sin \phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos \phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right)\end{align} </math>

&+ \left( \sin\phi \frac {\partial f}{\partial \rho} + \frac{\cos\phi}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \phi}\right) \left( \sin\phi \, \mathbf{e}_{\rho} + \cos\phi \, \mathbf{e}_{\phi} \right).

\end{align}</math>

Perciò, semplificando, il gradiente in coordinate polari diventa il vettore:

:<math> \nabla f(\rho,\phi) = \frac{\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi}.</math>

===Coordinate sferiche===

Riga 110 ⟶ 116:

In <math>\R^3</math> si possono utilizzare le coordinate sferiche:

:<math>\begin{cases}
x = \rho \sin \theta \cos \phi \\
y = \rho \sin \theta \sin \phi \\
z = \rho \cos \theta .
\end{cases}</math>

Seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente in coordinate sferiche diventa il vettore:

:<math> \nabla f(\rho,\theta,\phi) = \frac {\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \theta} \, \mathbf{e}_{\theta} + \frac {1}{\rho \, \sin \theta} \frac {\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi} .</math>

===Gradiente in coordinate cilindriche===

Riga 120 ⟶ 130:

In [[coordinate cilindriche]]:

:<math>\begin{cases}
x = \rho \cos \phi \\
y = \rho \sin \phi \\
z = z
\end{cases}</math>

seguendo il procedimento introdotto per le coordinate polari piane, il gradiente diventa il vettore:

:<math> \nabla f(\rho,\phi,z) = \frac {\partial f}{\partial \rho} \, \mathbf{e}_{\rho} + \frac {1}{\rho} \frac {\partial f}{\partial \phi} \, \mathbf{e}_{\phi} + \frac {\partial f}{\partial z} \, \mathbf{e}_{z}.</math>

===Coordinate curvilinee===

In [[coordinate curvilinee]] ortogonali, quando la metrica è data da <math>ds\mathrm{d}s^2 = g_j dx\mathrm{d}x^2_j</math>, il gradiente <math>\nabla f</math> di <math>f</math> in un punto è il vettore:

:<math>\nabla f = \frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial x_1} \mathbf{e}_1 + \frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial x_2} \mathbf{e}_2 + \frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial x_3} \mathbf{e}_3,</math>

dove <math>h_j = \sqrt {g_j^2}</math> e con <math>\mathbf{e}_i</math> si indica il [[versore]] della direzione <math>i</math>-esima (con tutti gli elementi nulli tranne l'<math>i</math>-esimo che vale 1).

Se il sistema è ''bidimensionale'' e le coordinate sono ''curvilinee qualunque'' <math>(u,v)</math>, il gradiente della funzione <math>f(u,v)</math> diventaassume la seguente forma:

:<math>\vec{\nabla} f=\frac{1}{EG-F^2}\left[\sqrt{E}\left(G\frac{\partial f}{\partial u}-F\frac{\partial f}{\partial v}\right)\hat{e}_u+\sqrt{G}\left(E\frac{\partial f}{\partial v}-F\frac{\partial f}{\partial u}\right)\hat{e}_v\right],</math>

dove <math>E</math>, <math>F</math> e <math>G</math> sono le entrate del [[tensore metrico]]:

:<math>(g_{ik})=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}.</math>

:<math>\vec{\nabla} f=\frac{1}{EG-F^2}\left[\sqrt{E}\left(G\frac{\partial f}{\partial u}-F\frac{\partial f}{\partial v}\right)\hat{e}_u+\sqrt{G}\left(E\frac{\partial f}{\partial v}-F\frac{\partial f}{\partial u}\right)\hat{e}_v\right]</math>

dove <math>E</math>Infatti, <math>F</math>poiché eil <math>G</math>gradiente sonopuò leessere entrategeneralmente delscomposto tensoresui metricoversori <math>(g_{ik})=\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}</math>. Infatti, siccome il gradiente può esseredi espressobase come <math>\vec{\nabla}f=A\hat{e}_u+B\hat{e}_v</math> (con <math>A</math> e <math>B</math> quantità da determinare), il differenziale della funzione <math>f</math> in tale sistema di coordinate diventa

:<math>\begin{align}

:<math>\begin{align}df&=\vec{\nabla} f\cdot d\vec{P}\\&=(A\hat{e}_u+B\hat{e}_v)\cdot(\sqrt{E}\,du\,\hat{e}_u+\sqrt{G}\,dv\,\hat{e}_v)\\&=(A+B\cos{\alpha})\sqrt{E}\,du+(B+A\cos{\alpha})\sqrt{G}\,dv\\&=\frac{\partial f}{\partial u}du+\frac{\partial f}{\partial v}dv\end{align}</math>.

\mathrm{d}f&=\vec{\nabla}f\cdot \mathrm{d}\vec{P}\\

&=(A\hat{e}_u+B\hat{e}_v)\cdot(\sqrt{E}\,\mathrm{d}u\,\hat{e}_u+\sqrt{G}\,\mathrm{d}v\,\hat{e}_v)\\

&=(A+B\cos{\alpha})\sqrt{E}\,\mathrm{d}u+(B+A\cos{\alpha})\sqrt{G}\,\mathrm{d}v\\

&=\frac{\partial f}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial f}{\partial v}\mathrm{d}v.

\end{align}</math>

Risolvendo quindi il sistema

:<math>\begin{cases}
\dfrac{\partial f}{\partial u}=(A+B\cos{\alpha})\sqrt{E} \\
\dfrac{\partial f}{\partial v}=(B+A\cos{\alpha})\sqrt{G}
\end{cases}</math>

e ricordando che <math>\cos{\alpha}=\frac{F}{\sqrt{EG}}</math> (con <math>\alpha</math> angolo tra le due direzioni), risulta dimostrato l'asserto iniziale.