Meccanica quantistica: differenze tra le versioni

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[[File:Max Planck (1858-1947).jpg|thumb|Il [[fisico]] tedesco [[Max Planck]] (1858-1947), fuche il primo a introdurreintrodusse il concetto di "[[quanto]]", alla base della [[Legge di Planck|legge che porta il suo nome]], nel suo lavoro del 1900 "''Ueber die Elementarquanta der Materie und der Elektrizitaet''" (Sui quanti elementari della materia e dell'elettricità)<ref name=planck_quantum />]]

La '''meccanica quantistica''' è la [[Fisica teorica|teoria fisica]] che descrive il comportamento della [[materia (fisica)|materia]], della [[radiazione]] e le reciproche [[Interazione|interazioni]], con particolare riguardo ai fenomeni caratteristici della scala di lunghezza o di [[energia]] [[atomo|atomica]] e subatomica,<ref name="feylect">{{cita libro|autore=Richard Phillips Feynman|titolo=The Feynman Lectures on Physics|volume=3|anno=1964|editore=Addison-Wesley|coautori=Robert B. Leighton and Matthew Sands|p=1|lingua=en}}</ref> dove le precedenti teorie [[Fisica classica|classiche]] risultano inadeguate.

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Come caratteristica fondamentale, la meccanica quantistica descrive la radiazione<ref name=einsteineuristico>{{cita pubblicazione|autore=A. Einstein|titolo="Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" (Su un punto di vista euristico riguardo alla produzione e alla trasformazione della luce)|rivista=[[Annalen der Physik]]|volume=17|anno=1905|pp=132-148|url=http://www.zbp.univie.ac.at/dokumente/einstein1.pdf|lingua=de|accesso=30 gennaio 2012|dataarchivio=22 agosto 2014|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20140822215426/http://www.zbp.univie.ac.at/dokumente/einstein1.pdf|urlmorto=sì}}</ref> e la materia<ref>{{cita libro|autore=Louis de Broglie|titolo="Recherches sur la théorie des quanta"|anno=1924|lingua=fr}}</ref> sia come fenomeni [[Onda|ondulatori]] che come entità particellari, al contrario della [[meccanica classica]], che descrive la luce solamente come un'[[onda]] e, ad esempio, l'[[elettrone]] solo come una [[particella (fisica)|particella]]. Questa inaspettata e controintuitiva proprietà della realtà fisica, chiamata [[dualismo onda-particella]],<ref>{{cita libro|titolo="Quantum Mechanics: An Introduction"|url=https://archive.org/details/quantummechanics00grei_281|autore=Walter Greiner|editore=Springer|anno=2001|isbn=3-540-67458-6|p=[https://archive.org/details/quantummechanics00grei_281/page/n52 29]|lingua=en}}</ref> è la principale ragione del fallimento delle teorie sviluppate fino al [[XIX secolo]] nella descrizione degli atomi e delle molecole. La relazione tra natura ondulatoria e corpuscolare è enunciata nel [[principio di complementarità]] e formalizzata nel [[principio di indeterminazione di Heisenberg]].<ref>{{cita pubblicazione|autore=W. Heisenberg |anno=1930 |titolo="Physikalische Prinzipien der Quantentheorie" |editore=Hirzel|lingua=de}}</ref>

Esistono numerosi formalismi matematici equivalenti della teoria, come la [[meccanica ondulatoria]] e la [[meccanica delle matrici]]; al contrario, ne esistono numerose e discordanti [[Interpretazione della meccanica quantistica|interpretazioni]] riguardo all'essenza ultima del cosmo e della natura, che hanno dato vita a un dibattito tuttora aperto nell'ambito della [[filosofia della scienza]].

La meccanica quantistica rappresenta, assieme alla [[teoria della relatività]], uno spartiacque rispetto alla [[fisica classica]], portando alla nascita della [[fisica moderna]]. Attraverso la [[teoria quantistica dei campi]], generalizzazione della formulazione originale che include il principio di [[relatività ristretta]], essa è a fondamento di molte altre branche della fisica, come la [[fisica atomica]], la [[fisica della materia condensata]], la [[fisica nucleare]], la [[fisica delle particelle]], la [[chimica quantistica]].

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=== Crisi della fisica classica e ricerca di una nuova teoria ===

[[File:Photoelectric effect in a solid - diagram.svg|alt=|miniatura|[[Effetto fotoelettrico]]: una piastra di metallo irradiata di onde elettromagnetiche di lunghezza d'onda opportuna, emette elettroni.]]

Gli [[atomo|atomi]] furono riconosciuti da [[John Dalton]] nel 1803 come i costituenti fondamentali delle [[Molecola|molecole]] e di tutta la materia.<ref>{{cita web|url=http://www.universetoday.com/38169/john-daltons-atomic-model/|titolo=John Dalton's Atomic Model|accesso=20 settembre 2012|lingua=en}}</ref> Nel 1869 la [[tavola periodica degli elementi]] permise di raggruppare gli atomi secondo le loro proprietà chimiche e questo consentì di scoprire leggi di carattere periodico, come la [[regola dell'ottetto]], la cui origine era ignota.<ref>{{cita web|url=http://www.wou.edu/las/physci/ch412/perhist.htm|titolo=A BRIEF HISTORY OF THE DEVELOPMENT OF PERIODIC TABLE|accesso=20 settembre 2012|lingua=en}}</ref> Gli studi di [[Amedeo Avogadro|Avogadro]], [[Jean Baptiste Dumas|Dumas]] e Gauden dimostrarono che gli atomi si compongono fra loro a formare le molecole, strutturandosi e combinandosi secondo [[Legge|leggi]] di carattere geometrico. Tutte queste nuove scoperte non chiarivano i motivi per cui gli elementi e le molecole si formassero secondo queste leggi regolari e periodiche.

[[File:Spectral_lines_of_the_hydrogen_atom.svg|thumb|[[Spettro dell'atomo di idrogeno]], di tipo discreto o a linee, segno evidente di quantizzazione dell'energia]]

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:<math>\oint_\gamma p(q) dq = n h</math>

dove <math>n > 0</math> è un numero intero e <math>h</math> è la [[costante di Planck]]. Le variabili <math>p</math>, la [[quantità di moto]], e <math>q</math>, la posizione, sono le coordinate dello [[Spazio di stato#Spazio degli stati o delle fasi|spazio delle fasi]]. Si postula infine che la traiettoria <math>\gamma</math> che soddisfa la condizione di quantizzazione sia stabile.</ref> La radiazione elettromagnetica è assorbita o emessa solo quando un elettrone passa rispettivamente da un'orbita più piccola a una più grande o viceversa. In questo modo Bohr fu in grado di calcolare i livelli energetici dell'atomo di idrogeno, dimostrando che in questo sistema un elettrone non può assumere qualsiasi valore di energia, ma solo alcuni precisi e discreti valori <math>E_n</math>, in buon accordo con gli esperimenti, determinati dal numero intero <math>n</math> secondo la relazione:

:<math>E_n = - \frac{13{,}36 ~ \textrm{eV}}{n^2}</math>,

in buono accordo con gli esperimenti e con una energia minima diversa da zero:

<math>E_{min} = - 13{,}36</math> [[Elettronvolt|eV]] quando <math>n=1</math>.

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dove <math>h</math> è la [[costante di Planck]] e <math>p</math> la quantità di moto. In questo modo la legge di quantizzazione imposta da Bohr poteva essere interpretata semplicemente come la condizione di onde stazionarie, equivalenti alle onde che si sviluppano sulla corda vibrante di un violino.

=== Sviluppo della meccanica quantistica ===

Sulla base di questi risultati, nel 1925-1926 [[Werner Karl Heisenberg|Werner Heisenberg]] e [[Erwin Schrödinger]] svilupparono rispettivamente la [[meccanica delle matrici]] e la [[meccanica ondulatoria]], le prime due formulazioni della meccanica quantistica, che, pur differenti, portano agli stessi risultati. L'[[equazione di Schrödinger]] in particolare è simile a [[Equazione delle onde|quella delle onde]] e le sue soluzioni stazionarie rappresentano i possibili stati delle particelle e quindi anche degli elettroni nell'atomo di idrogeno. La natura di queste onde fu immediato oggetto di grande dibattito, che si protrae in una certa misura fino ai giorni nostri. Nella seconda metà degli anni venti la teoria fu formalizzata, con l'adozione di postulati fondamentali, da [[Paul Dirac]], [[John von Neumann]] e [[Hermann Weyl]].

Una rappresentazione ancora differente, ma che porta agli stessi risultati delle precedenti, denominata [[integrale sui cammini]], fu sviluppata nel 1948 da [[Richard Feynman]]: una particella quantistica percorre tutte le possibili traiettorie durante il suo moto e i vari contributi forniti da tutti i cammini interferiscono fra loro a generare il comportamento più probabile osservato.

== Concetti base ==

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=== Dualismo onda-particella ===

{{vedi anche|Dualismo onda-particella}}

[[File:Broglie Big.jpg|thumb|left|Il fisico francese [[Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie|Louis de Broglie]], vinsevincitore ildel [[premio Nobel per la fisica]] nel 1929 per aver scoperto nel 1924 che l'elettrone ha anche un comportamento ondulatorio dando vita al concetto di ''onda di materia'' e al [[dualismo onda-particella]]]]

La fisica classica fino al XIX secolo era divisa in due corpi di leggi: quelle di Newton, che descrivono i moti e la dinamica dei corpi meccanici, e quelle di Maxwell, che descrivono l'andamento e i vincoli a cui sono soggetti i campi elettromagnetici come la luce e le onde radio. A lungo si era dibattuto sulla natura della luce e alcune evidenze sperimentali, come l'[[esperimento di Young]], portavano a concludere che la luce dovesse essere considerata come un'onda.

Agli inizi del XX secolo alcune incongruenze teorico-sperimentali misero in crisi la concezione puramente ondulatoria della radiazione elettromagnetica, portando alla teoria, avanzata da Einstein sulla base dei primi lavori di Max Planck, nella quale fu reintrodotta in una certa misura la natura corpuscolare della luce, considerata come composta da [[fotone|fotoni]] che trasportano quantità discrete dell'energia totale dell'onda elettromagnetica. I fotoni rappresentano quindi le particelle corrispondenti alle eccitazioni elementari del [[campo elettromagnetico]]; in altri termini i campi elettrici e magnetici possono essere pensati come costituiti da particelle, ciascuna delle quali trasporta una frazione dell'energia totale del campo elettromagnetico.<ref>{{cita web|url=https://www.treccani.it/enciclopedia/fotone/|titolo=fotone|accesso=7/11/2023|lingua=it}}</ref>

Successivamente Louis de Broglie avanzò l'[[Ipotesi di de Broglie|ipotesi]] che la natura della materia e della radiazione non dovesse essere pensata solo in termini esclusivi ''o'' di un'onda ''o'' di una particella, ma che le due entità sono al tempo stesso ''sia'' un corpuscolo ''sia'' un'onda. A ogni corpo materiale viene associata una nuova [[lunghezza d'onda]], che, se di valore piccolissimo e difficilmente apprezzabile per i valori di massa del mondo macroscopico, assume importanza fondamentale per l'interpretazione dei fenomeni alla scala atomica e subatomica. La teoria di De Broglie fu confermata dalla scoperta della diffrazione dell'elettrone osservata nell'[[esperimento di Davisson e Germer]] del 1927.<ref>{{cita web|url=http://library.thinkquest.org/28383/nowe_teksty/htmla/2_11a.html|titolo=The Nature of Matter|accesso=1º gennaio 2013|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20130508062723/http://library.thinkquest.org/28383/nowe_teksty/htmla/2_11a.html|dataarchivio=8 maggio 2013|lingua=en}}</ref>

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=== Concetto di misura ===

Uno degli elementi di differenziazione dalla fisica classica fu la revisione del concetto di [[Misurazione|misura]]. La novità riguarda l'impossibilità di conoscere lo stato di una particella senza perturbarlo in maniera irreversibile. Al contrario della meccanica classica dove è sempre possibile concepire uno spettatore passivo in grado di conoscere ogni dettaglio di un dato sistema, secondo la meccanica quantistica è privo di senso assegnare un valore a una qualsiasi proprietà di un dato sistema senza che questa sia stata attivamente misurata da un osservatore.<ref>{{cita web|url=https://www.tuhh.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html|titolo=THE PRESENT SITUATION IN QUANTUM MECHANICS: A TRANSLATION OF SCHRÖDINGER'S "CAT PARADOX PAPER"|nome=Erwin|cognome=Schrödinger|traduttore=John D. Trimmer|anno=1935|accesso=1º novembre 2012|urlmorto=sì|urlarchivio=https://archive.todayis/20121204184041/http://www.tuhh.de/rzt/rzt/it/QM/cat.html|dataarchivio=4 dicembre 2012|lingua=en}}</ref> Le leggi quantistiche stabiliscono che il processo di misura non è descrivibile come la semplice evoluzione temporale del sistema, ma riguarda l'osservatore e gli apparati sperimentali considerati assieme.

Questo ha come conseguenza che in generale una volta misurata una grandezza di un sistema non si può in alcun modo determinare quale fosse il suo valore prima della misurazione. Per esempio secondo la meccanica classica la conoscenza della posizione e della velocità di una particella in un dato istante permette di determinare con certezza la sua traiettoria passata e futura. In meccanica quantistica viceversa, la conoscenza della velocità di una particella ad un dato istante non è in generale sufficiente a stabilire quale fosse il suo valore nel passato. Inoltre acquisire la stessa conoscenza della velocità della particella distrugge ogni altra informazione sulla posizione, rendendo anche impossibile il calcolo della traiettoria futura.<ref name="hidden">{{cita web|url=http://www.scottaaronson.com/democritus/lec11.html|titolo=Decoherence and Hidden Variables|accesso=3 novembre 2012|lingua=en}}</ref>

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{{vedi anche|Principio di indeterminazione di Heisenberg}}

Heisenberg nel 1927 elaborò una formalizzazione teorica del principio suddetto, permettendo di quantificare l'indeterminazione insita nel nuovo concetto di misura.<ref>Il primo lavoro pubblicato di Heisenberg sui suoi lavori sul principio di indeterminazione sulla rivista ''Zeitschrift für Physik'' fu: {{cita pubblicazione|nome=W.|cognome=Heisenberg|titolo=Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik|rivista=Z. Phys.|volume=43|anno=1927|pp=172–198172-198|doi=10.1007/BF01397280|numero=3–4|bibcode = 1927ZPhy...43..172H|lingua=de}}</ref> Egli enunciò che in meccanica quantistica alcune coppie di quantità fisiche, come velocità e posizione, non possono essere misurate nello stesso momento entrambe con precisione arbitraria. Tanto migliore è la precisione della misura di una delle due grandezze, tanto peggiore è la precisione nella misura dell'altra.<ref name="osservazione">«Dobbiamo assumere che c'è un limite alla precisione dei nostri poteri di osservazione e alla piccolezza del disturbo [che accompagna l'osservazione, NdT] - un limite che è inerente alla natura delle cose e non può essere superato da tecniche migliorate o dall'aumento dell'abilità da parte dell'osservatore» - P. A. M. Dirac - op. cit.</ref> In altri termini, misurare la posizione di una particella provoca una perturbazione impossibile da prevedere della sua velocità e viceversa. In formule:

:<math>(\Delta p)(\Delta x) \geq \frac{h}{4 \pi}</math>

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dove <math>\Delta x</math> è l'incertezza sulla misura della posizione e <math>\Delta p</math> è quella sulla [[quantità di moto]] <math>p = m v</math>. Il limite inferiore del prodotto delle incertezze è quindi proporzionale alla [[costante di Planck]] <math>h</math>.

Heisenberg osservò che per conoscere la posizione di un elettrone, questo dovrà essere illuminato da un fotone. Più corta sarà la lunghezza d'onda del fotone, maggiore sarà la precisione con cui la posizione dell'elettrone è misurata.<ref>{{cita pubblicazione|autore=Hilgevoord, Jan and Uffink, Jos|titolo=The Uncertainty Principle|rivista=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|editore=Edward N. Zalta|url=http://plato.stanford.edu/archives/sum2012/entries/qt-uncertainty/|anno=2012|lingua=en}}</ref> Le comuni onde marine non sono disturbate, nella loro propagazione, dalla presenza di piccoli oggetti; al contrario, oggetti grandi almeno quanto la lunghezza d'onda disturbano e spezzano i fronti dell'onda e tali disturbi permettono di individuare la presenza dell'ostacolo che li ha generati. In ambito quantistico, tuttavia, a basse lunghezze d'onda il fotone trasporterà un'energia sempre maggiore, che assorbita dall'elettrone ne perturberà sempre di più la velocità, rendendo impossibile stabilirne il valore contemporaneamente alla posizione. Al contrario, un fotone ad alta lunghezza d'onda perturberà poco la velocità dell'elettrone, ma non sarà in grado di determinare con precisione la sua posizione.

=== Limite classico della meccanica quantistica ===

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=== Principio di esclusione di Pauli ===

{{vedi anche|Principio di esclusione di Pauli|Statistica di Bose-Einstein|Statistica di Fermi-Dirac}}

Formulato per gli elettroni da [[Wolfgang Pauli]] nel 1925,<ref>{{cita pubblicazione| doi = 10.1007/BF02980631 | volume=31 | titolo=Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren | anno=1925 | rivista=Zeitschrift für Physik | pp=765–783765-783 | autore = W. Pauli | lingua=de}}</ref> il [[Principio di esclusione di Pauli|principio di esclusione]] afferma che due [[fermione|fermioni]] identici non possono occupare simultaneamente lo stesso [[stato quantico]]. La funzione d'onda dei fermioni è quindi antisimmetrica rispetto allo scambio di due particelle, mentre i [[Bosone (fisica)|bosoni]] formano stati quantici simmetrici. I fermioni includono [[protone|protoni]], [[neutrone|neutroni]] ed [[elettrone|elettroni]], le tre particelle che compongono la [[materia (fisica)|materia]] ordinaria, e il principio è alla base della comprensione di molte delle caratteristiche distintive della materia, come i livelli energetici degli atomi e dei nuclei.

La sua formulazione diede l'avvio a una revisione della classica [[Distribuzione di Maxwell-Boltzmann|Statistica di Maxwell-Boltzmann]] secondo i nuovi dettami della teoria dei quanti, sfociando nella [[Statistica di Fermi-Dirac]] per i fermioni e quella di [[Statistica di Bose-Einstein|Bose-Einstein]] per i bosoni.

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== Formulazioni ==

La meccanica quantistica ammette numerose formulazioni che utilizzano basi matematiche talvolta molto diverse. Sebbene siano differenti, tutte le descrizioni non cambiano le loro previsioni in merito al risultato degli esperimenti.<ref>{{cita pubblicazione|titolo=Nine formulations of quantum mechanics|autore=Daniel F. Styer|coautori=Miranda S. Balkin, Kathryn M. Becker, Matthew R. Burns, Christopher E. Dudley, Scott T. Forth, Jeremy S. Gaumer, Mark A. Kramer, David C. Oertel, Leonard H. Park, Marie T. Rinkoski, Clait T. Smith and Timothy D. Wotherspoon | url = http://ajp.aapt.org/resource/1/ajpias/v70/i3/p288_s1|rivista=American Journal of Physics|volume=70|p=288|anno=2002|lingua=en | accesso = 23 ottobre 2022 | urlarchivio = https://archive.todayis/20120708132623/http://ajp.aapt.org/resource/1/ajpias/v70/i3/p288_s1?isAuthorized=no | dataarchivio = 8 luglio 2012 }}</ref> Si può preferire una formulazione rispetto ad un'altra se in questa il problema da descrivere risulta più semplice. Ogni differente formulazione ha permesso inoltre una maggiore conoscenza in merito alle fondazioni stesse della meccanica quantistica. Le formulazioni che sono più frequentemente utilizzate sono quella lagrangiana e quella hamiltoniana.

=== Meccanica delle matrici ===

{{vedi anche|Meccanica delle matrici}}

La ''meccanica delle matrici'' è la formulazione della meccanica quantistica elaborata da [[Werner Karl Heisenberg|Werner Heisenberg]], [[Max Born]] e [[Pascual Jordan]] nel 1925.<ref>{{cita pubblicazione|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01328377|titolo=Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen.|lingua=de|autore=W. Heisenberg|rivista=Zeitschrift für Physik|volume=33|pp=879–893879-893|anno=1925}}</ref> Fu la prima versione completa e [[Coerenza (logica matematica)|coerente]] della meccanica quantistica, che, pur senza considerare i principi della [[relatività ristretta]], estese il [[modello atomico di Bohr]] giustificando dal punto di vista teorico l'esistenza dei [[Salto quantico|salti quantici]]. Tale risultato fu raggiunto descrivendo le [[Osservabile|osservabili fisiche]] e la loro evoluzione temporale attraverso l'uso di [[Matrice|matrici]]. È la base della [[notazione bra-ket]] di [[Paul Dirac]] per la [[funzione d'onda]].

=== Meccanica ondulatoria ===

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[[File:Standing wave.gif|upright=1.2|thumb|left|In un'[[onda stazionaria]], i nodi sono punti che non sono coinvolti dall'oscillazione, in rosso nella figura. Il numero di nodi è quindi sempre intero.]]

Come Schrödinger stesso osservò,<ref>{{cita pubblicazione|titolo=Quantisierung als Eigenwertproblem II|autore=Erwin Schrödinger|data=23 febbraio 1926|rivista=Annalen der Physik|volume=79|pp=489-527|url=http://dieumsnh.qfb.umich.mx/archivoshistoricosmq/ModernaHist/Schrodinger1926c.pdf|lingua=de|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20050128002304/http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schrodinger1926b.pdf|dataarchivio=28 gennaio 2005}}</ref> condizioni di tipo ondulatorio sono presenti ed erano già state scoperte anche per la meccanica classica di tipo newtoniano. Nell'[[ottica geometrica]], il limite delle leggi dell'ottica in cui la lunghezza d'onda della luce tende a zero, i raggi di luce si propagano seguendo percorsi che minimizzano il cammino ottico, come stabilito dal [[principio di Fermat]]. Allo stesso modo, secondo il [[Principio variazionale di Hamilton|principio di Hamilton]], le traiettorie classiche sono soluzioni stazionarie o di minimo dell'[[azione (fisica)|azione]], che per una [[particella libera]] è semplicemente legata all'energia cinetica lungo la curva.

Tuttavia l'ottica geometrica non considera gli effetti che si hanno quando la lunghezza d'onda della luce non è trascurabile, come l'[[interferenza (fisica)|interferenza]] e la [[diffrazione]].

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{{vedi anche|Funzione d'onda|Collasso della funzione d'onda}}

Guidato dalla analogia ottico-meccanica suddetta, Schrödinger suppose che le leggi della meccanica classica di Newton siano solamente una approssimazione delle leggi seguite dalle particelle. Una approssimazione valida per grandi energie e grandi scale, come per le leggi dell'ottica geometrica, ma non in grado di catturare tutta la realtà fisica, in particolare a piccole lunghezze, dove, come per la luce, fenomeni come l'interferenza e la diffrazione diventano dominanti. Egli postulò quindi una equazione di stazionarietà per un'onda <math>\Psi(x)</math> del tipo:[[File:Circular Standing Wave.gif|upright=0.9|thumb|In questa onda stazionaria circolare, la circonferenza ondeggia esattamente in otto lunghezze d'onda. Un'onda stazionaria come questa può avere 0, 1, 2 o qualsiasi numero intero di lunghezze d'onda attorno al cerchio, ma non un numero razionale come 4.7. Con un meccanismo simile, il [[momento angolare]] di un elettrone in un [[atomo di idrogeno]], classicamente proporzionale alla velocità angolare, può assumere solo valori discreti quantizzati.]]<ref>{{cita pubblicazione|titolo=Quantisierung als Eigenwertproblem IV|autore=Erwin Schrödinger|data=21 giugno 1926|rivista=Annalen der Physik|volume=81|pp=109-139|lingua=de}}</ref>

:<math>\nabla^2 \Psi(x) - \frac{8 \pi^2}{h^2} V(x) \Psi(x) - \frac{8 \pi^2}{h^2} E \Psi(x) = 0 </math>

dove <math>V(x)</math> è il potenziale classico ed <math>E</math> è un parametro reale corrispondente all'energia.<ref>{{cita pubblicazione|titolo=Quantisierung als Eigenwertproblem IV|autore=Erwin Schrödinger|data=21 giugno 1926|rivista=Annalen der Physik|volume=81|pp=109-139|lingua=de}}</ref> Per alcuni sistemi fisici, questa equazione non ammette soluzioni per <math>E</math> arbitrario, ma solo per alcuni suoi valori discreti. In questo modo Schrödinger riuscì a spiegare la natura delle condizioni di quantizzazione di Bohr. Se si considera anche la dinamica delle soluzioni d'onda, cioè si considera la dipendenza temporale della [[funzione d'onda]]:

:<math>\Psi(x) \rightarrow \Psi(x,t)</math>

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=== Formulazione hamiltoniana ===

[[File:Dirac_3.jpg|thumb|[[Paul Dirac]], noto per la sua [[Equazione di Dirac]] nell'ambito della [[Teoria quantistica dei campi|meccanica quantistica relativistica]]]]

{{vedi anche|Postulati della meccanica quantistica|Meccanica hamiltoniana}}

[[File:Dirac_3.jpg|thumb|[[Paul Dirac]], noto per la sua [[Equazione di Dirac]] nell'ambito della [[Teoria quantistica dei campi|meccanica quantistica relativistica]]]]

[[File:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif|thumb|[[John von Neumann]], noto per i contributi alla ''formulazione hamiltoniana'' della meccanica quantistica]]

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<ol>

<li> Lo stato fisico di un sistema <math>\mathcal{S}</math> è rappresentato da un raggio vettore unitario di uno [[spazio di Hilbert]] <math>\mathcal{H}</math>. Nella [[Notazione bra-ket|notazione di Dirac]] un vettore è indicato con un ket, ad esempio come <math>|\Psi\rangle</math>, mentre il prodotto scalare fra due vettori <math>|\Psi\rangle</math> e <math>|\Phi\rangle</math> è indicato con <math>\langle \Phi|\Psi\rangle</math>. In questo modo, uno stato <math>|\Psi\rangle</math> è definito a meno di una fase complessa inosservabile in modo che:

:<math>\langle\Psi|\Psi\rangle = 1</math></li>

<li> Per ogni osservabile fisica <math>\mathcal{V}</math> riferita al sistema <math>\mathcal{S}</math> esiste un [[Operatore autoaggiunto|operatore hermitiano]] lineare <math>O</math> che agisce sui vettori che rappresentano <math>\mathcal{S}</math>.</li>

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Le resistenze di Einstein nei confronti dell'interpretazione di Copenaghen e dei suoi paradossi, furono superate grazie al grande potere predittivo che le formulazioni della meccanica quantistica hanno dimostrato negli esperimenti condotti nel XX secolo. Queste conferme sperimentali spinsero ad accettare i principi e i postulati della meccanica quantistica, sebbene la questione di quale sia la realtà al di fuori degli esperimenti resti ancora aperta. In ultima analisi, la risposta alla domanda su quale possa essere la realtà dovrebbe essere fornita e rimandata ad una teoria del tutto, ovvero ad una teoria che sia capace di descrivere coerentemente tutti i fenomeni osservati in natura, che includa anche la forza di gravità e non solo le interazioni nucleari e subnucleari. L'impossibilità di conoscere simultaneamente ed esattamente il valore di due osservabili fisiche corrispondenti ad operatori che non commutano, ha rappresentato storicamente una difficoltà nell'interpretare le leggi della meccanica quantistica. [[File:Hermann_Weyl_ETH-Bib_Portr_00890.jpg|thumb|[[Hermann Weyl]]]]

Un altro punto particolarmente oggetto di aspre critiche riguarda il ruolo della funzione d'onda e l'interpretazione secondo cui un sistema fisico può trovarsi contemporaneamente in una sovrapposizione di stati differenti. Che quanto sopra enunciato sia, effettivamente, un problema concettuale e formale, venne messo in luce già nel 1935 quando Erwin Schrödinger ideò l'omonimo [[paradosso del gatto di Schrödinger|paradosso del gatto]].<ref>{{Cita pubblicazione|autore=|titolo=Schrödinger, Erwin (November 1935). "Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik (The present situation in quantum mechanics)"|rivista=Naturwissenschaften|volume=23|numero=48|pp=807-812|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01491891|lingua=de}}</ref> Molto si è discusso, inoltre, su una peculiarità molto affascinante della teoria: il [[collasso della funzione d'onda]] sembrerebbe violare il [[principio di località]]. Questa caratteristica è stata messa in luce a partire da un altro famoso "paradosso", quello ideato da Einstein, Podolsky e Rosen nel 1935, chiamato [[Paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen|paradosso EPR]] e che avrebbe dovuto dimostrare come la descrizione fisica della realtà fornita dalla meccanica quantistica sia incompleta.<ref name="EPR">{{cita pubblicazione| titolo = Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete? | data = 15 maggio 1935 | autore= A. Einstein |coautori =B Podolsky e N Rosen | rivista = [[Physical Review]] | volume = 47 |numero= 10 |pp= 777–780777-780 | url=http://www.drchinese.com/David/EPR.pdf |bibcode = 1935PhRv...47..777E |doi = 10.1103/PhysRev.47.777 |lingua=en}}</ref>

Albert Einstein, pur avendo contribuito alla nascita della meccanica quantistica, criticò la teoria dal punto di vista concettuale. Per Einstein era inconcepibile che una teoria fisica potesse essere valida e [[completezza di una teoria fisica|completa]], pur descrivendo una realtà in cui esistono delle mere probabilità di osservare alcuni eventi e in cui queste probabilità non sono statistiche ma ontologiche.

Le critiche di Einstein si riferiscono alla meccanica quantistica nella "interpretazione" di Bohr e della scuola di Copenaghen (all'epoca non c'erano altre interpretazioni altrettanto apprezzate), ed è in questo contesto che va "letto" il "paradosso EPR".

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=== "Realtà" della funzione d'onda ===

[[File:John_bell_2.png|thumb|[[John Stewart Bell]], noto per il suo [[Teorema di Bell]]]]

{{vedi anche|Teorie delle variabili nascoste}}

[[File:John_bell_2.png|thumb|[[John Stewart Bell]], noto per il suo [[Teorema di Bell]]]]

Un grande dibattito filosofico si è concentrato attorno a quale "realtà" abbia la funzione d'onda, e quindi l'intero formalismo della meccanica quantistica, rispetto alla natura che si vuole descrivere e all'osservatore che effettua la misurazione.<ref name="function_real"/> Un possibile punto di vista prevede che la funzione d'onda sia una realtà oggettiva, che esiste indipendentemente dall'osservatore, e che rappresenti o sia equivalente all'intero sistema fisico descritto. All'opposto, la funzione d'onda potrebbe rappresentare, secondo un altro punto di vista, solo la massima conoscenza che un preciso osservatore è in grado di avere di un dato sistema fisico. Bohr durante questo tipo di dibattiti sembrò propendere per questa seconda possibilità.

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Nonostante i suoi numerosi successi, la meccanica quantistica sviluppata agli inizi del [[XX secolo]] non può essere considerata una teoria definitiva capace di descrivere tutti i fenomeni fisici. Un primo limite fondamentale della teoria, già ben presente agli stessi scienziati che la formularono, è la sua incompatibilità con i postulati della [[relatività ristretta]] e [[Relatività generale|generale]]. Inoltre la formulazione originaria è inadatta a rappresentare sistemi dove il numero di particelle presenti vari nel tempo.

L'equazione di Schrödinger è simmetrica rispetto al gruppo di trasformazioni di Galileo e ha come corrispettivo classico le leggi della [[meccanica classica|meccanica di Newton]].<ref>{{cita pubblicazione|autore=C. R. Hagen|titolo= Scale and Conformal Transformations in Galilean-Covariant Field Theory|rivista=Phys. Rev. D |volume= 5|pp=377–388377-388|anno=1972|lingua=en}}</ref> L'evoluzione temporale degli stati fisici non è quindi compatibile con la relatività ristretta. Tuttavia i principi della meccanica quantistica possono essere generalizzati in modo da essere in accordo con il quadro della relatività ristretta, ottenendo la [[teoria quantistica dei campi]]. Gli effetti associati all'invarianza per [[Trasformazione di Lorentz|trasformazioni di Lorentz]] richiesta dalla relatività ristretta hanno come conseguenza la non conservazione del numero di particelle. Infatti, in base alla relazione fra massa ed energia, un quanto energetico può essere assorbito o emesso da una particella.<ref>{{cita web|url=http://web.pdx.edu/~egertonr/ph311-12/pair-p&a.htm|titolo=Pair Production and Annihilation|accesso=24 maggio 2012|lingua=en}}</ref> La descrizione completa dell'interazione elettromagnetica fra i fotoni e le particelle cariche è fornita dall'[[elettrodinamica quantistica]], teoria quantistica di campo capace di spiegare l'interazione tra radiazione e materia e, in linea di principio, anche le interazioni chimiche interatomiche.<ref>{{cita pubblicazione|titolo=Molecular quantum electrodynamics in chemical physics|autore=D. L. Andrews |coautori=D. P. Craig, T. Thirunamachandran|rivista=International Reviews in Physical Chemistry|url=http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01442358909353233|anno=1989|volume=8|pp=339-383|lingua=en}}</ref>

[[File:Neutron quark structure.svg|thumb|upright=0.9|left|La [[cromodinamica quantistica]] è una teoria che descrive la struttura nucleare in termini di interazioni fra [[quark (particella)|quark]] e [[gluone|gluoni]]. Il neutrone ad esempio è costituito da due [[quark (particella)|quark]] di valenza down e uno up che interagiscono scambiando gluoni.]]