Numero perfetto: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], un '''numero perfetto''' è un [[numero naturale]] che è uguale alla somma dei suoi [[divisore|divisori]] positivi, escludendo il numero stesso. In termini formali, un numero naturale <math>N</math> si dice perfetto quando <math>\sigma\left(N\right)=2N</math>, dove la funzione <math>\sigma\left(N\right)</math> è la [[funzione sigma]], cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di <math>N</math>.

Ad esempio, il numero <math>28</math>, divisibile per <math>1, 2, 4, 7, 14</math> è un numero perfetto e lo stesso vale per <math>6</math> che è divisibile per <math>1</math>, <math>2</math> e <math>3</math>.:

:<math>28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14</math>

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* 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128 (77 cifre)

Il successivo numero perfetto, il tredicesimo, è composto da 314 cifre. Fino ad ora<ref name=":0">Fino a gennaioottobre 20192024.</ref> si conoscono solo 52 [[Numero primo di Mersenne|primi di Mersenne]], e quindi 52 numeri perfetti<ref>[https://www.mersenne.org/ GIMPS Home<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>. Il più grande tra questi è {{TA|2^136279841 × (2^136279841 − 1),}} formato (in base 10) da 82048639 cifre.

I primi 4749 numeri perfetti sono pari e quindi esprimibili come {{TA|2^{''p-1'' − 1}(2^''p'' − 1)}} con:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281<ref>{{OEIS|A000043}}</ref>.

Si conoscono altri cinquetre numeri perfetti maggiori, con

p = 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, 136279841

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne siano altri in mezzo,<ref>{{Cita web|url=https://www.mersenne.org/report_milestones|titolo=GIMPS Milestones Report|accesso=2 gennaio 2019}}</ref> né si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito e se esistano numeri perfetti dispari.

Tutti i numeri perfetti pari terminano con un 6 oppure con un 8.

:Infatti, da 2^{''n-1'' − 1} × (2^''n'' − 1) si ha che:

:* 2''^{''n-'' − 1}'' è pari e termina per 2, 4, 8, 6;

:* (2^''n'' − 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

:La cifra finale '5' va scartata perché sappiamo che (2^''n'' − 1) dev'essere primo, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno le cifre 6 e 8 come finali di ogni numero perfetto pari.

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* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} [http://djm.cc/amicable.html Perfect, amicable and sociable numbers] di David Moews

* {{en}} [httphttps://www-history.mcsmathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html/ Perfect numbers - History and Theory] in [[MacTutor]]

* (EN) Successione [[OEIS:A000396|A000396]] della ''[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]''