Problema decisionale: differenze tra le versioni
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== Formalizzazione di un problema decisionale ==
{{Vedi anche|Teoria della decisione#Formalizzazione di un problema di decisione in condizioni di incertezza}}
Un problema di decisione è definito dalla sua ''forma canonica,'' ossia la quadrupla <math>(\Omega, \Delta, W_\delta(\omega), K)</math> dove <math>\Omega</math> indica lo spazio degli stati di natura, <math>\Delta</math> lo spazio delle decisioni, <math>W_\delta(\omega)
Una volta posto in forma canonica, allora tale problema è risolvibile come un problema di ottimizzazione: va cercato <math>\min_{\delta\in\Delta}K(W_\delta)</math>.
Normalmente, si dota <math>\Delta</math> di un [[Relazione d'ordine#Preordinamento|preordinamento]] ponendo che <math>\delta_1\succeq\delta_2</math> se <math>W_{\delta_1}(\omega)\le W_{\delta_2}(\omega)
▲dove <math>\Omega</math> indica lo spazio degli stati di natura, <math>\Delta</math> lo spazio delle decisioni, <math>W_\delta(\omega) </math> la [[funzione di perdita]] e <math>K</math> un [[criterio di ottimalità]]. In particolare, se si adotta un'[[Teoria della decisione#Probabilizzazione degli stati di natura|impostazione bayesiana della teoria della decisione]], <math>\Omega</math> è sostituito dal corrispondente spazio di probabilità.
Di solito si affianca a questa un'altra relazione, ossia <math>\succ</math>, dove <math>\delta_1\succ\delta_2</math> se <math>W_{\delta_1}\le W_{\delta_2}, W_{\delta_1}\neq W_{\delta_2}</math>; si dice allora che <math>\delta_1</math> ''è strettamente preferibile'' a <math>\delta_2</math> o che lo ''domina strettamente.'' Tale definizione implica che la due funzioni di perdita <math>W_{\delta_1}</math> e <math>W_{\delta_2}</math> devono differire per almeno un punto <math>\omega</math>; una definizione alternativa è che <math>\delta_1</math> domina strettamente <math>\delta_2</math> se vale che <math>\delta_1\succeq\delta_2</math> ma non che <math>\delta_2\succeq\delta_1</math>. È importante notare che questa relazione, non essendoci riflessività, ''non'' è un preordinamento.
▲Una volta posto in forma canonica, allora tale problema è risolvibile come un problema di ottimizzazione: va cercato <math>min_{\delta\in\Delta}K(W_\delta)</math>. [[
Alcuni problemi decisionali possono essere definiti con una forma canonica leggermente diversa, <math>(\Omega_\delta, \Delta, W_\delta, K)</math>, qualora lo spazio degli stati di natura dipenda dalla decisione scelta.
▲Normalmente, si dota <math>\Delta</math> di un [[Relazione d'ordine#Preordinamento|preordinamento]] ponendo che <math>\delta_1\succeq\delta_2</math> se <math>W_{\delta_1}(\omega)\le W_{\delta_2}(\omega)\forall\omega\in\Omega</math>. Si dice in tal caso che <math>\delta_1</math> è ''debolmente preferibile'' rispetto a <math>\delta_2</math>, o che la ''domina debolmente.'' Notare che l'uso di un preordinamento anziché di un vero e proprio ordinamento è giustificato dal fatto che possono esistere decisioni distinte con funzioni di perdita coincidenti.
== Analisi preottimale ==
L''''analisi preottimale''' consiste nell'effettuare elaborazioni teoriche su un problema di decisione senza ricorrere a un criterio di ottimalità, sfruttando le proprietà delle relazioni di preferibilità.
=== Classe completa di decisioni ===
Un primo obiettivo dell'analisi preottimale è restringere lo spazio delle decisioni in modo che possa esserne scelta una più facilmente.
In particolare, si dice che una classe di decisioni <math>C</math> è ''completa'' se per ogni decisione <math>\delta</math> al di fuori della classe esiste nella classe un'altra decisione <math>\delta'</math> strettamente preferibile a <math>\delta</math>. Se vale solo la preferibilità debole, allora si dice che la classe è ''essenzialmente completa.''
Dunque, esaminando un problema decisionale, ci si può restringere a una classe completa di decisioni, dato che al di fuori di essa non c'è una decisione preferibile a un'altra al suo interno; in altre parole, le decisioni al di fuori di una classe completa non possono essere preferibili a tutte quelle all'interno della classe e dunque, in un'ottica di massimizzazione della preferibilità, non ha senso sceglierle.
Si indica normalmente con <math>\mathcal{C}</math> l'insieme di tutte le possibili classi complete per un problema; tale classe, essendo <math>\Delta</math> banalmente completa, non può mai essere vuota.
Una classe completa che non contenga in sé sottoclassi a loro volta complete è detta ''minimale.'' Essa fornisce la massima semplificazione possibile del problema di decisione.
=== Decisione ammissibile ===
Una decisione è ''ammissibile'' se non esistono altre decisioni che le sono preferibili, e la classe delle decisioni ammissibili è denotata con <math>\Delta^+</math>. È ovvio che una decisione ammissibile non dovrebbe essere scartata in un'analisi preottimale, ma va notato che la classe delle decisioni ammissibili non è sempre completa.
Tuttavia, è possibile dimostrare che la classe delle decisioni ammissibili corrisponde all'intersezione di tutte le classi complete. Inoltre, se questa è completa, è anche minimale; e se esiste una classe completa minimale nel problema decisionale, questa coincide con la classe delle decisioni ammissibili.
==Voci correlate==
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== Bibliografia ==
* Piccinato, Ludovico. ''Teoria delle decisioni statistiche.'' Springer, 2009.
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