Base (algebra lineare): differenze tra le versioni

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Qualsiasi sia lo spazio vettoriale <math>V</math>, è sempre possibile trovarne una base. La dimostrazione richiede l'uso del [[lemma di Zorn]] nel caso generale, mentre nel caso particolare degli spazi finitamente generati esistono dimostrazioni più semplici.

=== Dimostrazione ===

Si consideri la collezione <math>I(V)</math> dei sottoinsiemi di <math>V</math> linearmente indipendenti. È immediato dedurre che l'[[Inclusione (matematica)|inclusione]] è un [[ordine parziale]] su <math>I(V)</math>, e che per ogni [[catena (matematica)|catena]] <math>\{ B_i \}</math> l'insieme <math>\bigcup_i B_i</math> ne è un maggiorante (è linearmente indipendente in quanto unione di elementi di una catena ordinata per inclusione). Applicando il [[lemma di Zorn]], esiste un insieme massimale linearmente indipendente <math>B</math> in <math>I(V)</math>. Dunque <math>B</math> è una base, infatti se <math>v \in V</math> ma non appartiene a <math>B</math> allora per la massimalità di <math>B</math> l'insieme <math>B \cup \{ \mathbf v \}</math> deve essere linearmente dipendente, cioè esistono degli scalari <math>a_1 , a_2 \dots a_n</math> non tutti nulli tali che

Si proverà che ogni [[spazio vettoriale]] ha una [[Base vettoriale|base]], cioè ogni spazio vettoriale ha un insieme massimale [[Linearmente indipendenti|linearmente indipendente]]. Sia <math>V</math> uno spazio vettoriale su un [[Campo (matematica)|campo]] <math>\mathbb{K}</math>, <math>\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n \} \subseteq V</math> è linearmente indipendente se <math>a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+\dots+a_n\mathbf{v}_n=0 \iff a_i=0, \forall i=0,1,\dots,n</math>, con <math>a_i \in \mathbb{K}, \forall i=0,1,\dots,n</math>. Se si considera <math>U \subseteq V</math>, non necessariamente [[Insieme finito|finito]], <math>U</math> è linearmente indipendente se ogni [[sottoinsieme]] finito di <math>U</math> è linearmente indipendente.

Si proverà che per ogni <math>U \subseteq V</math>, <math>U</math> è linearmente indipendente, esiste un insieme <math>U \subseteq W \subseteq V</math> tale che <math>W</math> è linearmente indipendente [[massimale]]. Innanzitutto, in ogni spazio vettoriale, l'[[insieme vuoto]] è linearmente indipendente, ciò scende banalmente dal fatto che una [[somma vuota]] è nulla. Si consideri il seguente insieme<math>F=\{ W \subseteq V| U \subseteq W \, \textrm{e} \, W \, \grave{\textrm{e}} \, \textrm{linearmente} \, \textrm{indipendente} \}</math>. Si consideri <math>(F,\subset)

:<math>a \mathbf{v} + \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{w}_i = 0 \qquad \mathbf{w}_i \in B</math>

</math> , il quale è un [[ordine parziale]]. Si proverà, ora, che <math>(F,\subset)

</math> soddisfa le ipotesi del [[lemma di Zorn]]. Si osservi che <math>F

</math> è un insieme non vuoto, in quanto <math>U \in F

</math> e <math>U</math> è linearmente indipendente (per ipotesi). Si proverà, adesso, che <math>\subset

</math> è [[Insieme induttivo (teoria degli ordini)|induttivo]] su <math>F

</math>. Sia <math>G \subseteq F</math> una catena in <math>F

</math>. Si proverà che <math>\cup G</math> è un [[Maggiorante e minorante|maggiorante]] di <math>G</math> in <math>F

</math>. Si supponga, per assurdo, che <math>\cup G</math> non sia linearmente indipendente, ovvero esistono <math>n \in \mathbb{N}</math> e <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, e <math>\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \in F</math> non tutti nulli tali che <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{v}_i=0</math>. Dato che <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, allora <math>\mathbf{v}_i \in U_i, \forall i=1,2,\dots,n</math>. Sia <math>U^*=\max \{U_1,U_2,\dots,U_n\}</math>, il quale esiste in quanto si sta operando in una catena. Allora <math>U^* \in G</math>, e inoltre <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\} \subseteq U^*</math>. Dunque, per quanto detto sopra, <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{v}_i=0</math>, segue che <math>U^*</math> non è linearmente indipendente, contro l'ipotesi che <math>U \in F</math>. Di conseguenza, <math>U^*</math> deve essere linearmente indipendente, [[A fortiori ratione|a fortiori]], <math>\cup G</math> è linearmente indipendente.

Dunque <math>(F,\subset)

con <math>a \ne 0</math>, dal momento che se fosse nulla allora anche gli altri <math>a_i</math> dovrebbero esserlo, essendo gli elementi di <math>B</math> linearmente indipendenti. Quindi <math>\mathbf v</math> può essere scritto come combinazione lineare finita di elementi di <math>B</math>, che oltre a essere linearmente indipendenti generano <math>V</math>. Dunque <math>B</math> è una base.

</math> soddisfa le condizioni del [[lemma di Zorn]]. Quindi, in <math>F

</math>, esistono [[Elemento massimale|elementi massimalei]] che estendono l'insieme <math>U</math>. Ognuno di essi è una base di <math>V</math> che estende <math>U</math> stesso. In particolare, essendo l'insieme vuoto linearmente indipendente, si conclude che esiste una base in ogni spazio vettoriale.

==Coordinate rispetto ad una base==

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L'esistenza di una base di Schauder in uno spazio di Banach non è, in genere, assicurata nemmeno aggiungendo l'ipotesi (peraltro necessaria) che si tratti di uno [[spazio separabile]]: un [[controesempio]] è stato fornito nel 1973 da [[Per Enflo]]. Un teorema di [[Stanisław Mazur]] mostra che in ogni spazio di Banach (a dimensione infinita) esiste sempre un sottospazio di dimensione infinita che possiede una base di Schauder.

L'esistenza di una base di Schauder consente di estendere alcuni teoremi {{citazioneSenza necessariafonte}}.

=== Cardinalità ===