Formulazione debole: differenze tra le versioni

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Nell'ambito delle [[Equazione differenziale|equazioneequazioni differenziali]], in particolare delle [[Equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni alle derivate parziali]], è di grande importanza lo studio della '''formulazione debole''' dei problemi differenziali classici, che per dualità vengono anche chiamati problemi in ''forma forte'' o ''classica''. Risolvere un problema in forma debole significa trovare una soluzione, detta '''soluzione debole''', le cui [[derivata|derivate]] possono non esistere, ma che è comunque soluzione dell'equazione in qualche modo ben preciso. Molto spesso si tratta delle uniche soluzioni che è possibile trovare.

Il concetto di soluzione debole è legato a quello di [[derivata debole]]: si tratta di definire la nozione di derivata anche per funzioni [[funzione integrabile|integrabili]] ma non necessariamente [[funzione differenziabile|differenziabili]].

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==Descrizione generale==

L'idea di fondo delle formulazioni deboli è quella che portò anche all'introduzione in matematica delle [[Distribuzione (matematica)|distribuzioni]], o "funzioni generalizzate": si tratta di [[Funzionale lineare|funzionali lineari]] definiti sullo [[spazio di funzioni]] costituito dalle funzioni dette [[Funzione di test|funzioni di test]]. Lo spazio delle distribuzioni è lo [[spazio duale]] di quello delle funzioni di test. Si tratta di funzioni in un senso più generale: alcune distribuzioni, se viste come ''funzioni'', possono anche non avere alcun corrispettivo nell'analisi tradizionale (si [[veda]] ad esempio la [[delta di Dirac]]). Intuitivamente, se questo spazio "di test" è abbastanza grande e se ha certe proprietà, è ragionevole pensare di ricostruire la funzione (generalizzata) sapendo come essa agisce su ogni funzione test dello spazio.

Presa un'equazione, per trovare una soluzione debole si procede generalmente col moltiplicare ambo i termini per una funzione test <math>\varphi</math>, e di integrare poi entrambi i membri su tutto il dominio di interesse. Dopodiché si "scaricano" le derivate (integrando per parti) dalla funzione <math>u</math> sulla funzione test <math>\varphi</math> quanto basta per poter richiedere la minor regolarità possibile sia a <math>u</math> che a <math>\varphi</math>. Per poter effettuare le integrazioni è necessario che sia <math>u</math> che <math>\varphi</math> stiano almeno in <math>L^2</math> (altrimenti l'integrale non ha senso); inoltre per poter integrare anche i prodotti tra le derivate occorre che stiano anche nello [[spazio di Sobolev]] <math>H^k</math>, dove <math>k</math> indica il massimo ordine di derivazione che compare dopo aver scaricato le derivate di <math>u</math> su <math>\varphi</math>. Si consideri dunque un [[operatore differenziale]] [[trasformazione lineare|lineare]] in un insieme aperto <math>W</math> in <math>\R^n</math>: