Geometria non euclidea: differenze tra le versioni

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=== Tentativi di dimostrazione del quinto postulato ===

Nei secoli, i tentativi di dimostrare il postulato sono numerosi: [[Proclo]] nel suo ''Commento al Primo Libro degli Elementi di Euclide'' ci riferisce delle "dimostrazioni" di [[Posidonio]] e [[Claudio Tolomeo|Tolomeo]], proponendone poi una sua. Altri tentativi furono compiuti da matematici arabi e persiani, tra cui [[NasirNaṣīr al-DinDīn al-TusiṬūsī]] che mette in relazione il quinto postulato con la somma degli angoli interni di un [[triangolo]] e [[ʿUmar Khayyām]] che nei suoi ''Commenti sui difficili postulati del libro di Euclide'' dimostrò accidentalmente alcune proprietà delle figure nelle geometrie non euclidee.<ref>{{cita web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Khayyam.html|titolo=Omar Khayyam|data=luglio 1999|accesso=4.4.2008|autore=J. J. O'Connor, E. F. Robertson|editore=MacTutor History of Mathematics}}</ref> In ognuno di questi tentativi di dimostrazione, e nei successivi, viene implicitamente dato per vero un [[assioma]] equivalente a quello delle parallele, rendendo vana la dimostrazione. Anche modificando la definizione di rette parallele non si approda a nulla: Euclide le definisce "''due rette che non s'incontrano mai''". Per Posidonio, secondo Proclo, esse sono "''due rette equidistanti, ossia in cui i punti della seconda siano tutti alla stessa distanza dai corrispettivi della prima''". Quest'ultima affermazione non dimostra nulla: non è detto che il [[luogo (geometria)|luogo]] dei punti equidistanti da una retta sia una retta. Accettarlo in via di principio equivale ad assumere come valido il quinto postulato, e ci si ritrova da capo.

=== Dimostrazione per assurdo ===

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* {{cita web|url=http://resolver.library.cornell.edu/math/1971483|titolo=La geometria non-euclidea. <small>Esposizione storico-critica del suo sviluppo.</small>|autore=Roberto Bonola |editore=N. Zanichelli, Bologna|data=1906|accesso=03.04.2008}}

* {{cita web|url=http://name.umdl.umich.edu/ABK7963.0001.001|titolo=Conferenze sulla geometria non-euclidea|autore=[[Federigo Enriques]]|editore=N. Zanichelli|data=1918|accesso=03.04.2008}}

* [[Nikolaj Ivanovič Lobačevskij]], ''Pangeometry'', Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.

* {{cita web|url=http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF35067284|titolo=La géométrie non euclidienne|autore=P. Barbarin|editore=Gauthier-Villars|data=1928|accesso=03.04.2008|lingua=fr|urlmorto=sì}}

* [[Harold Coxeter]] (1957) ''Non euclidean Geometry'', University of Toronto Press (Ristampa Cambridge University Press, 1998)