Base (algebra lineare): differenze tra le versioni

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Qualsiasi sia lo spazio vettoriale <math>V</math>, è sempre possibile trovarne una base. La dimostrazione richiede l'uso del [[lemma di Zorn]] nel caso generale, mentre nel caso particolare degli spazi finitamente generati esistono dimostrazioni più semplici.

==== Dimostrazione ====

Si proverà che ogni [[spazio vettoriale]] ha una [[Base vettoriale|base]], cioè ogni spazio vettoriale ha un insieme massimale [[Linearmente indipendenti|linearmente indipendente]]. Sia <math>V</math> uno spazio vettoriale su un [[Campo (matematica)|campo]] <math>\mathbb{K}</math>, <math>\{ v_0\mathbf{v}_1,v_1,v_2\mathbf{v}_2,\dots,v_n\mathbf{v}_n \} \subseteq V</math> è linearmente indipendente se <math>a_0v_0a_1\mathbf{v}_1+a_1v_1a_2\mathbf{v}_2+\dots+a_nv_na_n\mathbf{v}_n=0 \iff a_i=0, \forall i=0,1,\dots,n</math>, con <math>a_i \in \mathbb{K}, \forall i=0,1,\dots,n</math>. Se si considera <math>U \subseteq V</math>, non necessariamente [[Insieme finito|finito]], <math>U</math> è linearmente indipendente se ogni [[sottoinsieme]] finito di <math>U</math> è linearmente indipendente.

Si proverà che per ogni <math>U \subseteq V</math>, <math>U</math> è linearmente indipendente, esiste un insieme <math>U \subseteq W \subseteq V</math> tale che <math>W</math> è linearmente indipendente [[massimale]]. Innanzitutto, in ogni spazio vettoriale, l'[[insieme vuoto]] è linearmente indipendente, ciò scende banalmente dal fatto che una [[somma vuota]] è nulla. Si consideri il seguente insieme<math>F=\{ W \subseteq V| U \subseteq W \, \textrm{e} \, W \, \grave{\textrm{e}} \, \textrm{linearmente} \, \textrm{indipendente} \}</math>. Si consideri <math>(F,\subset)

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</math> è un insieme non vuoto, in quanto <math>U \in F

</math> e <math>U</math> è linearmente indipendente (per ipotesi). Si proverà, adesso, che <math>\subset

</math> è [[Insieme induttivo (teoria degli ordini)|induttivainduttivo]] su <math>F

</math>. Sia <math>G \subseteq F</math> una catena in <math>F

</math>. Si proverà che <math>\cup G</math> è un [[Maggiorante e minorante|maggiorante]] di <math>G</math> in <math>F

</math>. Si supponga, per assurdo, che <math>\cup G</math> non sia linearmente indipendente, ovvero esistono <math>n \in \mathbb{N}</math> e <math>v_1\mathbf{v}_1,v_2\mathbf{v}_2,\dots,v_n\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, e <math>\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \in F</math> non tutti nulli tali che <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\mathbf{v}_i=0</math>. Dato che <math>v_1\mathbf{v}_1,v_2\mathbf{v}_2,\dots,v_n\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, allora <math>v_i\mathbf{v}_i \in U_i, \forall i=1,2,\dots,n</math>. Sia <math>U^*=\max \{U_1,U_2,\dots,U_n\}</math>, il quale esiste in quanto si sta operando in una catena. Allora <math>U^* \in G</math>, e inoltre <math>\{v_1\mathbf{v}_1,v_2\mathbf{v}_2,\dots,v_n\mathbf{v}_n\} \subseteq U^*</math>. Dunque, per quanto detto sopra, <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i\mathbf{v}_i=0</math>, segue che <math>U^*</math> non è linearmente indipendente, contro l'ipotesi che <math>U \in F</math>. Di conseguenza, <math>U^*</math> deve essere linearmente indipendente, [[A fortiori ratione|a fortiori]], <math>\cup G</math> è linearmente indipendente.

Dunque <math>(F,\subset)

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L'esistenza di una base di Schauder in uno spazio di Banach non è, in genere, assicurata nemmeno aggiungendo l'ipotesi (peraltro necessaria) che si tratti di uno [[spazio separabile]]: un [[controesempio]] è stato fornito nel 1973 da [[Per Enflo]]. Un teorema di [[Stanisław Mazur]] mostra che in ogni spazio di Banach (a dimensione infinita) esiste sempre un sottospazio di dimensione infinita che possiede una base di Schauder.

L'esistenza di una base di Schauder consente di estendere alcuni teoremi {{citazioneSenza necessariafonte}}.

=== Cardinalità ===