Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]], la '''funzione di Cantor''' (a volte chiamata '''funzione di Cantor-Vitali''', o '''scala del diavolo''') è un esempio di [[funzione continua]] e [[funzione crescente|crescente]] nonostante abbiacon [[derivata]] zero in [[quasi ovunque|quasi tutti i punti]] essendo costante in tutti i sottointervalli di <math>[0, 1]</math> che non contengono punti dell'[[insieme di Cantor]].

Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezza zero, ma che ha comunque una pendenza media di 45 gradi.

Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezzapendenza zero, ma chead haaltezze comunqueprogressivamente unacrescenti, in modo che la pendenza media dirisulti comunque pari 45a gradi<math>1</math>.

[[Image:CantorFunction.png|thumb|400px|right|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezza nulla: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]

[[ImageFile:CantorFunction.png|thumb|400px|rightupright=1.6|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezzapendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]

== Definizione ==

=== Con le basi ===

La funzione di Cantor ''<math>f'':\colon [0,&nbsp;1] &rarr; \rightarrow[0,&nbsp;1]</math> è definita nel modo seguente:

#Scriviamo ogni numero ''<math>x'' \in [0,&nbsp;1]</math> in [[sistemi_di_numerazionesistemi di numerazione|base tre]]. Con questa notazione,: <math>1/3 si scrive come =0.1<sub>3,1_3,</submath> e <math>2/3 si scrive come =0.2<sub>3,2_3</submath>. Notiamo che ialcuni [[Numero razionale|numeri razionali]] possono avere due scritture diverse, ad esempio <math>1/3 si scrive anche come =0.,0222...<sub>3\ldots_3</submath> (questo fatto è vero anche in base 10: infatti <math>0.,1 si scrive anche come =0.,09999...\ldots</math>). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "<math>1"</math>.

#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "<math>1"</math> con un "<math>2"</math> e tutte le cifre successive con "<math>0"</math>.

#Sostituiamo tutte le cifre "<math>2"</math> con "<math>1"</math>.

#Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è ''<math>f''(''x'')</math>.

Ad esempio:

* <math>1/4 = 0.,02020202...₃\ldots_3 diventa\mapsto 0.01010101...₂,01010101_2 = 1/3</math>. Quindi ''<math>f''(1/4)=(1/3)</math>.

* <math>1/5 = 0.,01210121...<sub>3\ldots_3</submath>, al passo 2 diventa <math>0.,02000000...\ldots</math>, quindi 0.01000000...<sub>2</submath>0,01000000\ldots_2 = 1/54</math>. Quindi ''<math>f''(1/5)=1/4</math>.

=== Come limite di una successione ===

La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in <math>[0,1]</math>, costruite in questo modo:

*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>.

*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati: <math>2^n</math> lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] <math>(3/2)^n</math> e <math>2^n-1</math> lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza <math>\left(\frac{1}{3}\right)^n</math>. Per ogni <math>n</math> intero non negativo risulta <math>f_n(0)=0</math> e <math>f_n(1)=1</math>. In figura sono disegnate <math>f_0</math>, <math>f_1</math> e <math>f_2</math>.

[[File:Cantor function sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]

Si può "costruire" la <math>(n+1)</math>-esima poligonale <math>f_{n+1}</math> come una trasformazione della <math>f_n</math>: infatti, dette <math>I_k^{(n)},</math> per <math>k=1, \ldots, 2^n,</math> e <math>J_k^{(n)},</math> per <math>k=1,\ldots, 2^n-1,</math> le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è <math>f(J_k^{(n)}) = k/2^n</math>), allora è <math>f_{n+1} = f_n</math> in <math>J_k^{(n)}</math> per ogni <math>k</math>, mentre ogni lato obliquo di <math>f_n</math> (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo <math>I_k^{(n)}</math>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli <math>I_{2k-1}^{(n+1)}</math> e <math>I_{2k}^{(n+1)}</math>, e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo <math>J_{2k-1}^{(n+1)}</math>.

Si può dimostrare che risulta:

:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\left\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\right\} \le \frac{1}{3 \cdot 2^n}.</math>

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in <math>[0,1]</math>. Dunque per <math>n \to \infty</math> [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.

== Proprietà ==

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo <math>[0,1]</math> in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] in ogni sottointervallo di <math>[0,1]</math> che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0,''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n022222..., 0,''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è una funzionesempre continua, crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dallsull'intervallo <math>[0,&nbsp;1]</math>: inquesto sé.implica Nonche l'insieme di Cantor non è [[funzione assolutamente continua|assolutamente continuanumerabile]]. NonQuesta funzione è derivabileutile inper nessundefinire puntouna dell'[[insiemecurva di CantorPeano]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi ècioè una funzione costante al di fuori dell'insieme di Cantor, che ha [[misuracurva di Lebesgue(matematica)|misuracurva]] nulla:che nonostanteriempie questo,totalmente un è crescentequadrato.

== Voci correlate ==

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo

* [[insiemeInsieme di Cantor]]

[0,&nbsp;1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva]] che riempie totalmente un quadrato.

* [[Variabile casuale di Cantor]]

* [[curvaCurva di Peano]]

* [[curvaCurva di Koch]]

== ArticoliAltri correlatiprogetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* [[insieme di Cantor]]

* {{Collegamenti esterni}}

* [[curva di Peano]]

* [[curva di Koch]]

{{Teoria del caos}}

[[Categoria:Frattali]]

[[Categoria:Analisi {{Portale|matematica]]}}

[[Categoria:Frattali]]

[[en:Cantor function]]

[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]

[[ru:&#1050;&#1072;&#1085;&#1090;&#1086;&#1088;&#1086;&#1074;&#1072; &#1083;&#1077;&#1089;&#1090;&#1085;&#1080;&#1094;&#1072;]]

[[Categoria:Funzioni speciali]]