Algoritmo greedy: differenze tra le versioni

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Un '''algoritmo greedy''' (dall'inglese ''greedy'', avido) è un [[paradigma algoritmico]] che costruisce una soluzione passo dopo passo, effettuando ad ogni iterazione la scelta localmente ottimale, con l'obiettivo di trovare un ottimo globale<ref>{{cita libro|cognome=Cormen|nome=Thomas H.|cognome2=Leiserson|nome2=Charles E.|cognome3=Rivest|nome3=Ronald L.|cognome4=Stein|nome4=Clifford|titolo=Introduction to Algorithms|edizione=4|editore=MIT Press|anno=2022|isbn=978-0-262-04630-5|p=414-442}}</ref>. Questi algoritmi non sempre garantiscono la soluzione ottimale, ma sono spesso efficienti e forniscono buone approssimazioni per problemi di [[ottimizzazione (matematica)|ottimizzazione]] complessi<ref>{{cita libro|cognome=Kleinberg|nome=Jon|cognome2=Tardos|nome2=Éva|titolo=Algorithm Design|editore=Pearson|anno=2013|isbn=978-0321295354|p=115-171}}</ref>.

{{F|algoritmi|ottobre 2015}}

Un '''algoritmo ''greedy''''' o '''algoritmo goloso'''<ref>{{cita libro|citazione=È opportuno sottolineare che [[Algoritmo di Kruskal|quello di Kruskal]] è un algoritmo che appartiene alla famiglia degli algoritmi "golosi", in gergo ''greedy''.|url=https://www.google.it/books/edition/Programmare_in_C_Guida_al_linguaggio_att/BybdDwAAQBAJ?hl=it&gbpv=1&dq=algoritmi+golosi&pg=PA279&printsec=frontcover|isbn=9788835807896|cognome=Liverani|nome=Marco|titolo=Programmare in C. Guida al linguaggio attraverso esercizi svolti e commentati|editore=Società Editrice Esculapio|anno=2020|p=279}}</ref><ref>{{cita libro|cognome1=Berardi|nome1=Luigia|cognome2=Beutelspacher|nome2=Albrecht|titolo=Matematica discreta. Dai fondamenti alle applicazioni|editore=Franco Angeli|anno=2003|lingua=it|p=62|url=https://www.google.it/books/edition/Matematica_discreta_Dai_fondamenti_alle/JrFOKxhi1DQC?hl=it&gbpv=1&dq=algoritmo+goloso&pg=PA62&printsec=frontcover|isbn=9788846449207}}</ref><ref>{{cita libro|cognome=Cerasoli|nome=Mauro|titolo=Elementi di matematica discreta|editore=Zanichelli|anno=1988|lingua=it|p=244|url=https://www.google.it/books/edition/Elementi_di_matematica_discreta/N-3uAAAAMAAJ?hl=it&gbpv=1&bsq=algoritmo+goloso&dq=algoritmo+goloso&printsec=frontcover|isbn=9788808038586}}</ref> è un [[paradigma algoritmico]] in base al quale la ricerca di una soluzione ottimale avviene seguendo una strategia euristica di problem-solving in cui l'[[algoritmo]], a ogni passaggio, opta per la soluzione ottimale a livello locale (come definita in precedenza dal programmatore). Quando applicabili, questi algoritmi consentono di trovare soluzioni ottimali per determinati problemi in un [[tempo polinomiale]]; in molti casi, non si può garantire la convergenza verso un ottimo globale. In particolare, questi algoritmi cercano di mantenere una proprietà di ''sottostruttura ottima'', quindi cercano di risolvere i sottoproblemi in maniera "avida" (da cui la traduzione letterale ''algoritmi avidi'' in italiano) considerando una parte definita migliore nell'input per risolvere tutti i problemi.

Il paradigma greedy è caratterizzato da due proprietà fondamentali: la '''proprietà di scelta greedy''' (esiste sempre una soluzione ottimale che include la scelta localmente ottimale) e la '''sottostruttura ottima''' (la soluzione ottimale contiene soluzioni ottime ai sottoproblemi)<ref>{{cita libro|cognome=Demetrescu|nome=Camil|cognome2=Finocchi|nome2=Irene|cognome3=Liotta|nome3=Giuseppe|titolo=Algoritmi e strutture dati|edizione=3|editore=McGraw-Hill|anno=2019|isbn=978-8838615818|p=167-189}}</ref>.

Per fare ciò, di solito, viene applicata una tecnica ''cut and paste'' (quindi scelgo l'input migliore per poter risolvere il sottoproblema).

== Descrizione del paradigma ==

Un tipo di strategia greedy può essere applicata al [[problema del commesso viaggiatore]] (che è un problema ad alta [[Teoria della complessità computazionale|complessità computazionale]]): essa può essere, ad esempio, quella che, a ogni passaggio, obbedisce alla seguente regola euristica: "A ogni passo del tragitto, vai alla più vicina tra le città non ancora visitate". L'adozione di questo semplice approccio [[Euristica|euristico]] non è in grado di garantire la soluzione ottima a questo problema complesso, ma ha il pregio che l'esecuzione termina dopo un ragionevole numero di passi; trovare una soluzione ottimale a un problema così complesso richiede, tipicamente, un numero altissimo di passaggi, circostanza che lo rende un problema praticamente non affrontabile.

Un algoritmo greedy effettua una sequenza di scelte, dove ogni scelta è localmente ottimale al momento in cui viene presa. L'algoritmo non riconsiderera mai le scelte precedenti, a differenza della [[programmazione dinamica]] che esplora tutte le possibili combinazioni di sottoproblemi<ref>{{cita libro|cognome=Sedgewick|nome=Robert|cognome2=Wayne|nome2=Kevin|titolo=Algorithms|edizione=4|editore=Addison-Wesley|anno=2011|isbn=978-0321573513|p=655-678}}</ref>.

== Esempi esplicativi ==

Il problema "Dai il minor numero di monete di resto utilizzando monete da 100, 10, 1 eurocent" è un problema risolubile tramite un algoritmo di tipo greedy: ad ogni passo viene controllato il resto ancora da dare e si aggiunge la moneta con il maggior valore possibile. Quindi per dare un resto di 112 eurocent la macchina farà cadere in sequenza una moneta da 100, poi 10, poi 1, e infine ancora 1 eurocent per un totale di 4 monete.

La strategia greedy può essere schematizzata come segue:

Il cosiddetto [[problema del commesso viaggiatore]], cioè "dato un numero di consegne e di ritiri con un mezzo che ha una portata massima P, si organizzi il viaggio che consente di viaggiare il minor numero di km con il maggior carico possibile per ottenere il massimo guadagno", non è un problema risolvibile tramite un algoritmo di tipo greedy, ma solo tramite algoritmi per [[NP-completo|problemi NP-completi]].

# Ordinare gli elementi secondo un criterio di ottimalità locale

# Inizializzare una soluzione vuota

# Per ogni elemento, se è compatibile con le scelte precedenti, aggiungerlo alla soluzione

# Restituire la soluzione costruita

=== Confronto con altri paradigmi ===

Il primo esempio è risolvibile grazie ad un algoritmo greedy solo per opportuni insiemi di valori di monete: infatti se ci fossero ad esempio anche monete da 105 eurocent (valori monete: 105, 100, 10, 1), l'algoritmo greedy darebbe un totale di 8 monete (una da 105 e 7 da 1), mentre la soluzione ottima è quella con 4 monete (100+10+1+1).

{| class="wikitable"

Un altro esempio noto e ampiamente conosciuto è l'algoritmo di ''selezione delle attività'', il cui [[pseudocodice]] è presentato dal Cormen<ref>{{Cita libro|nome=Thomas H.|cognome=Cormen|nome2=Charles E.|cognome2=Leiserson|nome3=Ronald L.|cognome3=Rivest|titolo=Introduction to Algorithms|url=https://mitpress.mit.edu/books/introduction-algorithms-fourth-edition|accesso=2022-01-08|edizione=4|data=2022-03-22|editore=MIT Press|lingua=en|ISBN=978-0-262-04630-5}}</ref>.

|-

! Paradigma !! Strategia !! Garanzia di ottimalità !! Complessità tipica

|-

| '''Greedy''' || Scelta localmente ottima || Solo per problemi specifici || O(n log n)

|-

| [[Programmazione dinamica]] || Esplorazione di tutti i sottoproblemi || Sì, se esiste sottostruttura ottima || O(n²) - O(n³)

|-

| [[Divide et impera]] || Suddivisione ricorsiva || Dipende dal problema || O(n log n)

|-

| [[Backtracking]] || Esplorazione con ritorno || Sì, ma può essere esponenziale || O(2ⁿ) - O(n!)

|}

== Proprietà fondamentali ==

<math>\text{greedy-activity-selector}(s,f)</math>

=== Proprietà di scelta greedy ===

<math>A = A_1</math>

La '''proprietà di scelta greedy''' stabilisce che una scelta localmente ottima porta sempre a una soluzione globalmente ottima. Formalmente, esiste sempre una soluzione ottima che contiene la scelta greedy effettuata al primo passo<ref>{{cita libro|cognome=Cormen|nome=Thomas H.|titolo=Introduction to Algorithms|anno=2022|p=418}}</ref>.

<math>k=1 </math>

'''Dimostrazione tipica (Exchange Argument):'''

<math>for \ m=2 \ to \ n</math>

# Supporre l'esistenza di una soluzione ottima I* che non contiene la scelta greedy

# Costruire una nuova soluzione I' sostituendo un elemento di I* con la scelta greedy

# Dimostrare che |I'| ≤ |I*| e che I' è ammissibile

# Concludere che I' è ottima e contiene la scelta greedy

=== Sottostruttura ottima ===

<math>if \ s[m] \geq f(k)</math>

La '''sottostruttura ottima''' garantisce che, dopo aver effettuato la scelta greedy, il problema residuo mantiene la stessa struttura di ottimalità. Questo permette di applicare ricorsivamente la strategia greedy sui sottoproblemi rimanenti<ref>{{cita libro|cognome=Kleinberg|nome=Jon|titolo=Algorithm Design|anno=2013|p=118}}</ref>.

<math>A = A \bigcup a_m</math>

== Esempi classici ==

<math>k=m</math>

=== Selezione di attività ===

<math>return \ A</math>

{{Vedi anche|Problema di selezione delle attività}}

Il '''problema di selezione delle attività''' consiste nel selezionare il massimo numero di attività mutuamente compatibili da un insieme di attività, ciascuna caratterizzata da un tempo di inizio e un tempo di fine.

Tale algoritmo seleziona le attività che sono compatibili da un punto di vista temporale, evitando che si sovrappongano. Piuttosto che selezionare tutte le attività, seleziona il maggior numero di attività tali che non siano sovrapponibili l'una con l'altra, quindi con inizio/fine distinti le une dalle altre. Un altro esempio noto di algoritmo greedy è la [[codifica di Huffman]], normalmente utilizzato nella compressione dei file e che utilizza il medesimo principio, quindi l'ottimizzazione dei dati presenti selezionando le frequenze in maniera ottimale alla posizione e numero dei singoli caratteri.

'''Strategia greedy:''' Selezionare sempre l'attività che termina prima tra quelle non ancora considerate.

== Definizione formale ==

In [[combinatoria]] e in [[Ottimizzazione (matematica)|ottimizzazione]] per algoritmo greedy si intende un algoritmo che consente di individuare una base di una [[matroide]] finita procedendo in modo notevolmente semplice ed efficiente.

<syntaxhighlight lang="text">

Si consideri l'insieme E e una famiglia F di sottoinsiemi di E (<math> F \subseteq 2^E</math>) che forma un [[Ideale (matematica)|ideale]] d'ordine rispetto alla relazione di inclusione:

ACTIVITY_SELECTOR(s, f, n):

A = {a₁}

k = 1

for m = 2 to n:

if s[m] ≥ f[k]:

A = A ∪ {aₘ}

k = m

return A

</syntaxhighlight>

'''Complessità:''' O(n log n) per l'ordinamento iniziale, O(n) per la selezione.

<math>A \in F \land B \subseteq A \to B \in F</math>

=== Algoritmo di Kruskal ===

La coppia E,F forma un sistema di indipendenza. Viene definita inoltre la funzione peso w.

{{Vedi anche|Algoritmo di Kruskal}}

L'[[algoritmo di Kruskal]] trova l'[[albero di copertura minimo]] di un [[grafo]] pesato utilizzando una strategia greedy.

Dato un sistema di indipendenza E,F e una funzione peso w, si ricava un insieme M tale che w(M) sia il massimo.

'''Strategia greedy:''' Selezionare sempre l'arco di peso minimo che non crea cicli.

== Descrizione dell'algoritmo ==

<syntaxhighlight lang="text">

Si consideri un [[matroide]] degli indipendenti ''M'' = (''E'',''I''). L'algoritmo si serve di un insieme variabile ''X'' che viene progressivamente ampliato fino a individuare una base.

KRUSKAL(G):

A = ∅

for each vertex v ∈ G.V:

MAKE_SET(v)

sort edges of G.E in nondecreasing order by weight

for each edge (u,v) ∈ G.E:

if FIND_SET(u) ≠ FIND_SET(v):

A = A ∪ {(u,v)}

UNION(u,v)

return A

</syntaxhighlight>

'''Complessità:''' O(E log E) dove E è il numero di archi.

* Inizialmente si assegna l'insieme vuoto all'insieme variabile ''X''.

* Si procede considerando successivi elementi ''x'' in ''E'' non contenuti in ''X'';

** Se <math>X \cup \{x\}</math> è indipendente, allora si trasforma il precedente ''X'' aggiungendogli x, cioè <math>X := X \cup \{x\}</math>. In caso contrario il processo si conclude.

=== Codifica di Huffman ===

Il risultato è un insieme indipendente. Inoltre esso è un [[insieme indipendente massimale]] in quanto se B U {x} non fosse indipendente per qualche sottoinsieme B di ''X'', allora <math>X \cup \{x\}</math> non sarebbe indipendente: in caso contrario si andrebbe contro la proprietà di ereditarietà. Quindi se si trascura un elemento non si avrà l'opportunità di utilizzarlo più tardi.

{{Vedi anche|Codifica di Huffman}}

La [[codifica di Huffman]] costruisce un codice a lunghezza variabile ottimale per la compressione di dati.

== Matroidi pesati e algoritmi greedy ==

'''Strategia greedy:''' Unire sempre i due nodi con frequenza minima.

Generalizzazione di questo algoritmo per risolvere un problema più difficile.

<syntaxhighlight lang="text">

Una ''funzione peso'' ''w'' : ''E'' → '''R'''⁺ per un matroide ''M''=(''E'', ''I'') assegna un peso strettamente positivo a ciascun elemento di ''E''. Estendendo la funzione ai sottoinsiemi di ''E'' attraverso la somma; ''w''(''A'') è la somma dei ''w''(''x'') sugli ''x'' in ''A''. Un matroide con una funzione peso associata è detto un matroide pesato.

HUFFMAN(C):

n = |C|

Q = C

for i = 1 to n-1:

allocate new node z

z.left = x = EXTRACT_MIN(Q)

z.right = y = EXTRACT_MIN(Q)

z.freq = x.freq + y.freq

INSERT(Q, z)

return EXTRACT_MIN(Q)

</syntaxhighlight>

'''Complessità:''' O(n log n) utilizzando una [[coda di priorità]].

Come semplice esempio, diciamo di voler trovare la [[massima foresta di copertura]] di un [[grafo]]. Ovvero, dato un grafo e un peso per ogni arco, trovare una foresta contenente ogni vertice e che massimizzi il peso totale degli archi nell'albero. Questo problema si presenta in alcune applicazioni di clustering. Se guardiamo alla definizione del matroide foresta sopra, vediamo che la massima foresta di copertura è semplicemente il sottoinsieme indipendente con peso totale massimo — tale da ricoprire il grafo, poiché in caso contrario potremmo aggiungere archi senza creare cicli. Ma come lo troviamo?

== Analisi di correttezza ==

Un insieme indipendente di massimo peso totale è chiamato insieme ''ottimale''. Gli insiemi ottimali sono sempre basi, perché se può essere aggiunto un arco, dovrebbe essere fatto; ciò aumenta solo il peso totale. Si può dimostrare che esiste un banale algoritmo greedy per calcolare un insieme ottimale di una matroide pesata. Procede come segue:

Per dimostrare la correttezza di un algoritmo greedy sono necessari due passi:

* Sia A l'insieme vuoto.

* Per ogni ''x'' in ''E'', preso in ordine (monotonicamente) decrescente di peso

** se A U {x} è indipendente, allora A diventi A U {x}.

=== Dimostrazione della proprietà greedy ===

Tale algoritmo trova una base, poiché si tratta di un caso speciale del precedente algoritmo. Sceglie sempre l'elemento di massimo peso possibile preservando l'indipendenza (da cui il termine "greedy"). Ciò produce sempre un insieme ottimale: supponiamo che produca <math>A=\{e_1,e_2,\ldots,e_r\}</math> e che <math>B=\{f_1,f_2,\ldots,f_r\}</math>. Ora per ogni <math>k</math> con <math>1\le k\le r</math>, consideriamo gli insiemi aperti <math>O_1=\{e_1,\ldots,e_{k-1}\}</math> e <math>O_2=\{f_1,\ldots,f_k\}</math>. Visto che <math>O_1</math> è più piccolo di <math>O_2</math>, c'è qualche elemento di <math>O_2</math> che può essere messo in <math>O_1</math> mantenendo il risultato indipendente. Tuttavia <math>e_k</math> è un elemento di peso massimale che può essere aggiunto a <math>O_1</math> per mantenere l'indipendenza. Per cui <math>e_k</math> è di peso non inferiore di qualche elemento di <math>O_2</math>, e quindi <math>e_k</math> è of almeno di peso pari a <math>f_k</math>. Poiché questo vale per ogni <math>k</math>, <math>A</math> è più pesante di <math>B</math>.

Utilizzando l''''exchange argument''':

# Assumere l'esistenza di una soluzione ottima che differisce dalla scelta greedy

# Mostrare che è possibile "scambiare" elementi per ottenere una soluzione altrettanto buona che include la scelta greedy

# Concludere che esiste sempre una soluzione ottima con la scelta greedy

=== Dimostrazione della sottostruttura ottima ===

Il modo più facile per traversare i membri di ''E'' nell'ordine desiderato è di ordinarli. Ciò richiede tempo O(|E|log|E|) utilizzando un [[algoritmo di ordinamento]]. Abbiamo anche bisogno di test per ogni ''x'' per determinare se A U {x} è indipendente; assumendo che il test di indipendenza richieda tempo O(f(|E|)) time, il tempo complessivo per l'algoritmo è O(|E|log|E| + |E|f(|E|)).

# Mostrare che dopo la scelta greedy, il problema residuo ha la stessa struttura

# Dimostrare che una soluzione ottima del problema originale contiene soluzioni ottime dei sottoproblemi

== Limitazioni ==

Se vogliamo trovare un albero di copertura minimo invece, semplicemente "invertiamo" la funzione peso sottraendola da una grande costante. Più precisamente, sia ''w''_min(''x'') = ''W'' - ''w''(''x''), dove ''W'' superi il peso totale attraverso tutti gli archi del grafo. Molti altri problemi di ottimizzazione su vari tipi di matroidi e funzioni peso possono essere risolti in questo modo banale, sebbene in molti casi possono essere trovati algoritmi più efficienti che sfruttano proprietà più specifiche.

Gli algoritmi greedy non sempre producono soluzioni ottime. Un esempio classico è il '''problema dello zaino frazionario''' vs '''problema dello zaino 0-1''':

Notare anche che se prendiamo un insieme <math>I</math> di insiemi "indipendenti" che è un down-set ma non una matroide, allora l'algoritmo greedy non funzionerà sempre. Poiché in tal caso ci sono insiemi indipendenti <math>I_1</math> e <math>I_2</math> con <math>|I_1|<|I_2|</math>, ma tali che per nessun <math>e\in I_2\setminus I_1</math> è <math>I_1\cup e</math> indipendente.

* '''Zaino frazionario''': L'algoritmo greedy (ordinare per rapporto valore/peso) è ottimale

* '''Zaino 0-1''': L'algoritmo greedy può fallire e richiede [[programmazione dinamica]]

'''Esempio di fallimento:'''

Capacità zaino: 10, Oggetti: (peso=6, valore=30), (peso=5, valore=20), (peso=4, valore=15)

* Greedy: seleziona primo oggetto → valore totale = 30

* Ottimo: seleziona secondo e terzo oggetto → valore totale = 35

== Problemi di approssimazione ==

Quando gli algoritmi greedy non garantiscono l'ottimo, spesso forniscono buone [[algoritmo di approssimazione|approssimazioni]]:

* '''Set Cover''': Greedy garantisce approssimazione O(log n)

* '''Vertex Cover''': Greedy garantisce approssimazione 2-ottimale

* '''TSP metrico''': Algoritmi greedy garantiscono approssimazioni costanti

== Teoria dei matroidi ==

{{Vedi anche|Matroide}}

Un [[matroide]] M = (E, I) è una struttura matematica dove E è un insieme finito e I è una famiglia di sottoinsiemi "indipendenti" di E che soddisfa:

# ∅ ∈ I (insieme vuoto è indipendente)

# Se A ∈ I e B ⊆ A, allora B ∈ I (proprietà ereditaria)

# Se A, B ∈ I e |A| < |B|, esiste x ∈ B\A tale che A ∪ {x} ∈ I (proprietà di scambio)

'''Teorema fondamentale:''' Un algoritmo greedy trova sempre una soluzione ottima per problemi di ottimizzazione su matroidi pesati<ref>{{cita news|cognome=Edmonds|nome=Jack|titolo=Matroids and the greedy algorithm|rivista=Mathematical Programming|volume=1|numero=1|anno=1971|pp=127-136|doi=10.1007/BF01584082}}</ref>.

=== Algoritmo greedy per matroidi pesati ===

<syntaxhighlight lang="text">

GREEDY_MATROID(M, w):

A = ∅

sort elements of M.E in decreasing order by weight w

for each x ∈ M.E:

if A ∪ {x} ∈ M.I:

A = A ∪ {x}

return A

</syntaxhighlight>

== Esempi di implementazione ==

=== Problema del resto (cambio di monete) ===

Per sistemi monetari "canonici" (come Euro), l'algoritmo greedy è ottimale:

<syntaxhighlight lang="text">

CHANGE_MAKING(amount, coins):

result = []

sort coins in decreasing order

for each coin in coins:

while amount ≥ coin:

result.append(coin)

amount -= coin

return result

</syntaxhighlight>

'''Attenzione:''' Per sistemi non canonici, l'algoritmo può fallire.

=== Scheduling con deadline ===

Dato un insieme di lavori con profitti e deadline, massimizzare il profitto:

<syntaxhighlight lang="text">

JOB_SCHEDULING(jobs, n):

sort jobs by profit in decreasing order

result = []

for i = 0 to n-1:

for j = min(n, jobs[i].deadline)-1 down to 0:

if result[j] is empty:

result[j] = jobs[i]

break

return result

</syntaxhighlight>

== Voci correlate ==

* [[Programmazione dinamica]]

* [[Algoritmo di approssimazione]]

* [[Teoria della complessità computazionale]]

* [[Matroide]]

* [[Algoritmo di Kruskal]]

* [[Algoritmo di Prim]]

* [[Codifica di Huffman]]

* [[Problema di selezione delle attività]]

Prendiamo un <math>\varepsilon>0</math> e <math>\tau>0</math> tali che <math>(1+2\varepsilon)|I_1|+\tau|E|<|I_2|</math>. Pesiamo gli elementi di <math>I_1\cup I_2</math> nell'intervallo da <math>2</math> a <math>2+2\varepsilon</math>, gli elementi di <math>I_1\setminus I_2</math> nell'intervallo da <math>1+\varepsilon</math> a <math>1+2\varepsilon</math>, gli elementi di <math>I_2\setminus I_1</math> nell'intervallo da <math>1</math> a <math>1+\varepsilon</math>, e il resto nell'intervallo da <math>0</math> a <math>\tau</math>. L'algoritmo greedy sceglierà gli elementi di <math>I_1</math>, e in seguito non potrà scegliere nessun elemento di <math>I_2\setminus I_1</math>. Di conseguenza l'insieme indipendente che costruisce sarà di peso non superiore a <math>(1+2\varepsilon)|I_1|+\tau|E|+|I_1\cup I_2|</math>, che è più piccolo del peso di <math>I_2</math>.

== Note ==

<references/>

== Voci correlate ==

== Bibliografia ==

* [[Colorazione golosa]]

* {{cita libro|cognome=Cormen|nome=Thomas H.|cognome2=Leiserson|nome2=Charles E.|cognome3=Rivest|nome3=Ronald L.|cognome4=Stein|nome4=Clifford|titolo=Introduction to Algorithms|edizione=4|editore=MIT Press|anno=2022|isbn=978-0-262-04630-5}}

* [[Greedoide]]

* {{cita libro|cognome=Kleinberg|nome=Jon|cognome2=Tardos|nome2=Éva|titolo=Algorithm Design|editore=Pearson|anno=2013|isbn=978-0321295354}}

* {{cita libro|cognome=Edmonds|nome=Jack|titolo=Paths, trees, and flowers|rivista=Canadian Journal of Mathematics|volume=17|anno=1965|pp=449-467}}

* {{cita libro|cognome=Demetrescu|nome=Camil|cognome2=Finocchi|nome2=Irene|cognome3=Liotta|nome3=Giuseppe|titolo=Algoritmi e strutture dati|edizione=3|editore=McGraw-Hill|anno=2019|isbn=978-8838615818}}

* {{cita libro|cognome=Sedgewick|nome=Robert|cognome2=Wayne|nome2=Kevin|titolo=Algorithms|edizione=4|editore=Addison-Wesley|anno=2011|isbn=978-0321573513}}

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sull'sugli}}

== Collegamenti esterni ==

* {{en}} [https://web.stanford.edu/class/cs161/schedule.html Stanford CS161: Greedy Algorithms]

* {{en}} [https://www.algorithm-archive.org/contents/greedy_algorithms/greedy_algorithms.html Algorithm Archive: Greedy Algorithms]

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica|informatica}}

[[Categoria:Algoritmi di ottimizzazione|Greedy]]

[[Categoria:Teoria delle matroidi]]