Matrice diagonale: differenze tra le versioni

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Riga 2:

Non si impone che i valori sulla diagonale siano diversi da zero: la matrice quadrata [[matrice nulla|nulla]] è quindi diagonale.

Per esempio, sono diagonali le seguenti matrici:

Riga 12 ⟶ 13:

1 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 03 \end{bmatrix}

\qquad

\begin{bmatrix}

-2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

\qquad

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & xk^2-1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & k & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1/2 \end{bmatrix}

</math>

come anche la [[matrice identità]].

Talvolta tra le matrici diagonali si considerano anche matrici rettangolari del tipo:

:<math>\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0\\

0 & 4 & 0\\

0 & 0 & -3\\

0 & 0 & 0\\

\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 0\\

0 & 4 & 0& 0 & 0\\

0 & 0 & -3& 0 & 0\end{bmatrix}</math>

== Definizione formale ==

Una matrice <math> n\times n, D = (d_{i,j})</math> di dimensione <math> n\times n</math> è '''diagonale''' se:

:<math>d_{i,j} = 0 \quad i \ne j \qquad \forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\}</math>

Ogni matrice diagonale è anche una [[matrice simmetrica]] e una [[matrice triangolare]], e se i suoi valori appartengono al [[campo (matematica)|campo]] <math>\R</math> o <math>\Complex</math> essa è anche una [[matrice normale]].

:<math>\forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\} \mbox{ con } i \ne j \;:\; d_{i,j} = 0 </math>

Gli [[Autovettore e autovalore|autovalori]] della matrice sono i termini posti sulla [[diagonale principale]].

== Esempi e proprietà ==

Tutte le [[matrice identità|matrici identità]] ''I''_''n'' sono quindi diagonali.

Ogni matrice diagonale è anche una [[Metodo di eliminazione di Gauss#Matrice a scalini|matrice a scalini]]: il primo elemento non nullo di ogni riga si trova più a destra del primo elemento diverso da zero della riga precedente. Tutti e i soli elementi non nulli si trovano nella diagonale principale.

Ogni matrice diagonale è anche una [[matrice simmetrica]] e una [[matrice triangolare]]; se i suoi valori appartengono al [[campo (matematica)|campo]] '''R''' o '''C''', essa è anche una [[matrice normale]].

== Matrice scalare ==

Una matrice diagonale avente i valori sulla diagonale tutti uguali è una '''matrice scalare'''. Una tale matrice è un multiplo &<math>\lambda;'' I''</math> della matrice identità ''<math>I''</math> per uno scalare &<math>\lambda;</math>.

Una matrice scalare a valori in un campo <math> K </math> [[matrice di trasformazione|rappresenta]] una [[omotetia]] nello [[spazio vettoriale]] <math> K^n </math>: trasforma ogni vettore moltiplicandolo per lo scalare &<math>\lambda;</math>.

Le matrici scalari sono il [[centro di un gruppo|centro]] dell'algebra di matrici: in altre parole le matrici scalari di tipo ''n'' &times;× ''n'' sono precisamente le matrici che [[proprietà commutativa|commutano]] con tutte le altre matrici dello stesso tipo.

== Operazioni di matrici ==

Le operazioni di addizione e di [[moltiplicazione di matrici|moltiplicazione]] sono particolarmente semplici per le matrici diagonali. ScriviamoIndicando con <math> \mbox{ diag }(''a''a_1,\dots,a_n)<sub/math>1 la matrice diagonale con i valori </submath>a_1,...\dots,''a''<sub>''n''a_n</submath> posti in sequenza sulla diagonale principale (a partire dall'angolo superiore sinistro), l'addizione è la comune addizione membro a membro tra matrici, perossia:

la matrice diagonale avente come sequenza delle dove le entrate diagonali a partire dall'angolo superiore sinistra sono

''a''₁,...,''a''_''n''. Allora, per l' addizione, abbiamo

:diag(''a''₁,...,''a''_''n'') + diag(''b''₁,...,''b''_''n'') = diag(''a''₁+''b''₁,...,''a''_''n''+''b''_''n'')

:<math>\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n) + \mbox{diag }(b_1,\dots,b_n) = \mbox{diag }(a_1 + b_1,\dots,a_n+b_n).</math>

e per la moltiplicazione,

La moltiplicazione tra matrici diagonali, si semplifica anch'essa ad una moltiplicazione membro a membro, ossia

:diag(''a''₁,...,''a''_''n'') &middot; diag(''b''₁,...,''b''_''n'') = diag(''a''₁''b''₁,...,''a''_''n''''b''_''n'').

:<math>\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n) \cdot \mbox{diag }(b_1,\dots,b_n) = \mbox{diag }(a_1 \cdot b_1,\dots,a_n \cdot b_n).</math>

La matrice diagonale diag(''a''₁,...,''a''_''n'') è [[matrice invertibile|invertibile]] se e solo se le sue entrate ''a''₁,...,''a''_''n'' sono tutte non nulle. In questo caso, abbiamo

:diag(''a''₁,...,''a''_''n'')^-1 = diag(''a''₁^-1,...,''a''_''n''^-1).

La matrice diagonale <math>\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n)</math> è [[matrice invertibile|invertibile]] [[se e solo se]] i valori <math>a_1,\dots,a_n</math>, che sono gli autovalori della matrice, sono tutti invertibili. In questo caso si ha:

In particolare, le matrici diagonali formano un [[sottoanello]] delle matrici dell'anello delle matrici ''n'' &times; ''n''.

:<math>\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n)^{-1} = \mbox{diag }(a_1^{-1},\dots,a_n^{-1}).</math>

Moltiplicare la matrice ''A'' da sinistra per diag(''a''₁,...,''a''_''n'') equivale, per ogni ''i'' a moltiplicare la ''i''-esima ''riga'' di ''A'' per ''a''_''i'' per ogni ''i''; moltiplicare la matrice ''A'' da ''destra'' con diag(''a''₁,...,''a''_''n'') equivale a moltiplicare la ''i''-esima ''colonna'' di ''A'' per ''a''_''i'' per ogni ''i''.

In particolare, le matrici diagonali formano un [[sottoanello]] delle matrici dell'anello delle matrici ''n'' × ''n''.

Le matrici diagonali ''n'' &times; ''n'' quindi rappresentano trasformazioni che sugli assi di riferimento hanno l'effetto delle [[omotetia|omotetie]]. La presenza di uno zero sulla diagonale principale equivale alla eliminazione della corrispondente dimensione. Consideriamo ad es. le seguenti matrici

Moltiplicare la matrice <math>A</math> da sinistra per <math>\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n)</math> equivale, per ogni ''i'' a moltiplicare la ''i''-esima ''riga'' di <math>A</math> per <math>a_i</math> per ogni ''i''; moltiplicare la matrice <math>A</math> da destra con <math>\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n)</math> equivale a moltiplicare la ''i''-esima ''colonna'' di <math>A</math> per <math>a_i</math> per ogni ''i''.

Le matrici diagonali ''n'' × ''n'' quindi rappresentano trasformazioni che sugli assi di riferimento hanno l'effetto delle [[omotetia|omotetie]]. La presenza di uno zero sulla diagonale principale equivale alla eliminazione della corrispondente dimensione. Si considerino ad esempio le seguenti matrici:

:<math>

Riga 73 ⟶ 94:

0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

</math>

La prima esprime la [[riflessione]] rispetto al piano ''Oxz''. La seconda esprime la [[proiezione]] sul piano ''Oxy'' seguita dalla riflessione rispetto all'asse ''Ox''. La terza la [[proiezione ortogonale]] dello spazio sull'asse ''Oy'' seguita dalla riflessione di quest'ultimo e dalla sua [[omotetia]] per un fattore 3.

La prima esprime la [[riflessione (geometria)|riflessione]] rispetto al piano ''Oxz''. La seconda esprime la [[proiezione (geometria)|proiezione]] sul piano ''Oxy'' seguita dalla riflessione rispetto all'asse ''Ox''. La terza la [[proiezione ortogonale]] dello spazio sull'asse ''Oy'' seguita dalla riflessione di quest'ultimo e dalla sua [[omotetia]] per un fattore 3.

== Autovettori, autovalori, determinante ==

{{vedi anche|Autovettore e autovalore|Determinante (algebra)}}

Gli autovalori di <math>\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n)</math> sono <math>a_1,\dots,a_n</math>. I vettori unità <math>\mathbf e_1,\dots, \mathbf e_n</math> formano una [[base (algebra lineare)|base]] di autovettori. Il determinante di <math>\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n)</math> è il prodotto <math>a_1 \cdot \dots \cdot a_n</math>:

:<math>\det{\mbox{diag }(a_1,\dots,a_n)} = \prod\limits_{i=1}^{n}{a_i}.</math>

Gli [[autovalore|autovalori]] della diag(''a''₁, ..., ''a''_''n'') sono ''a''₁, ..., ''a''_''n''. I vettori unità '''e'''₁, ..., '''e'''_''n'' formano una [[base (algebra lineare)|base]] di autovettori. Il [[determinante]] della diag(''a''₁, ..., ''a''_''n'') è il prodotto ''a''₁...''a''_''n''.

Dunque una matrice diagonale di ordine ''n'' soddisfa le ''n'' equazioni del tipo:

:<math>A \vecmathbf e_i = a_i \vecmathbf e_i.</math>

Un esempio tipico di matrice diagonale è la [[Matrice identità|matrice identità]] del tipo:

:<math> I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>

in cui gli elementi sono dati dal [[Simbolo di Kronecker|simbolodelta di Kronecker]]:

:<math>(I)_{jk} = \delta_{jk}.</math>

== Applicazioni ==

{{vedi anche|Diagonalizzabilità|Teorema spettrale}}

Le matrici diagonali si incontrano in molte aree dell'[[algebra lineare]]. Data la semplicità operativa delle matrici diagonali, è sempre consigliabile ricondurre una matrice data ad una matrice diagonale e rappresentare un [[operatore lineare|applicazione lineare]] mediante una matrice diagonale.

Le matrici diagonali si incontrano in molte aree dell'[[algebra lineare]]. Data la semplicità operativa delle matrici diagonali, è sempre consigliabile ricondurre una matrice data ad una matrice diagonale e [[matrice di trasformazione|rappresentare]] un'[[trasformazione lineare|applicazione lineare]] mediante una matrice diagonale.

Sul [[campo (matematica)|campo]] dei [[Numero reale|numeri reali]] o su quello dei complessi vale il [[teorema spettrale]], secondo il quale ogni matrice normale è [[similitudine fra matrici|simile]] ad una matrice diagonale tramite una [[matrice unitaria]]. In altre parole, per ogni matrice normale <math>H</math> esistono una matrice unitaria <math>U</math> ed una diagonale <math>D</math> per cui:

:<math> D = U^{-1}HU =\, ^t\!\bar UHU.</math>

Inoltre, le [[Matrice hermitiana|matrici hermitiane]] sono [[Operatore lineare continuo|unitariamente equivalenti]] alle matrici diagonali reali, e le [[Matrice normale|matrici normali]] sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

== Bibliografia ==

In effetti, una matrice data ''n'' &times; ''n'' è [[similitudine fra matrici|simile]] ad una matrice diagonale se e solo se possiede ''n'' [[autovettore|autovettori]] [[linearmente indipendenti]]. Questa è una [[matrice diagonalizzabile]].

* {{en}} Roger A. Horn and Charles R. Johnson, ''Matrix Analysis'', Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

== Voci correlate ==

Sul [[campo (matematica)|campo]] dei [[numeri reali|reali]] o su quello dei [[numero complesso|complessi]] si può affermare di più:

* [[Autovettore e autovalore]]

ogni [[matrice normale]] è [[matrici simili|unitariamente simile]] alla matrice diagonale (per il [[teorema spettrale]]), e ogni matrice è [[equivalenza sinistra-destra fra matrici|unitariamente equivalente]] ad una matrice diagonale con entrate non negative (per la [[decomposizione ai valori singolari]]).

* [[Determinante (algebra)|Determinante]]

* [[Diagonale principale]]

* [[Matrice identità]]

* [[Matrice nulla]]

* [[Matrice quadrata]]

==Voci correlateAltri progetti ==

{{Interprogetto|wikt=matrice diagonale}}

* [[Matrice (matematica)|Matrice]]

* [[Glossario sulle matrici]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{Cita libro |cognome=Nearing |nome=James |anno=2010 |titolo=Mathematical Tools for Physics |url=http://www.physics.miami.edu/nearing/mathmethods |capitolo=Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors |urlcapitolo=http://www.physics.miami.edu/~nearing/mathmethods/operators.pdf |accesso=1º gennaio 2012 |isbn=0-486-48212-X |lingua=en |dataarchivio=26 luglio 2008 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080726181249/http://www.physics.miami.edu/nearing/mathmethods/ |urlmorto=sì }}

{{Algebra lineare}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matrici quadrate]]

[[Categoria:Matrici quadrate|Diagonale]]

[[ca:Matriu diagonal]]

[[cs:Diagonální matice]]

[[de:Diagonalmatrix]]

[[en:Diagonal matrix]]

[[es:Matriz diagonal]]

[[fi:Lävistäjämatriisi]]

[[fr:Matrice diagonale]]

[[he:מטריצה אלכסונית]]

[[hu:Diagonális mátrix]]

[[ja:対角行列]]

[[nl:Diagonaalmatrix]]

[[pl:Macierz diagonalna]]

[[pt:Matriz diagonal]]

[[ru:Диагональная матрица]]

[[th:เมทริกซ์ทแยงมุม]]

[[uk:Діагональна матриця]]

[[ur:وتر میٹرکس]]

[[zh:對角矩陣]]