Operatore di Laplace: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] e [[fisica]], in particolare nel [[calcolo differenziale]] [[calcolo vettoriale|vettoriale]], l<nowiki>'</nowiki>'''operatore di Laplace''' o '''laplaciano''', il cui nome è dovuto a [[Pierre Simon Laplace]], è un [[operatore differenziale]] scalare del secondo ordine: esso può, in termini moderni e generali, essere definito come la [[divergenza]] del [[gradiente]] di una [[funzione (matematica)|funzione]] in uno [[spazio euclideo]], ed è solitamente rappresentato dai simboli <math>\nabla\cdot\nabla</math>, <math>\nabla^2</math>, o <math>\Delta</math>.

Si tratta di un [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], che in [[coordinate cartesiane]] è risulta essere la [[addizione|somma]] delle [[derivata parziale|derivate parziali]] seconde non miste rispetto alle coordinate. L'operatore di Laplace può operare da due fino ad ''n'' dimensioni e può essere applicato sia a campi scalari, sia a campi vettoriali (in quest'ultimo caso esso è applicato alle varie componenti del campo vettoriale).

Le funzioni [[classe C di una funzione|di classe]] <math>C^2</math> che annullano il laplaciano, ovvero che soddisfano l'[[equazione di Laplace]], sono le [[funzione armonica|funzioni armoniche]].

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L'operatore di Laplace viene generalizzato a spazi non euclidei, dove si presenta anche nella forma, ad esempio, di [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica|iperbolico]]. In particolare, nello [[spaziotempo di Minkowski]] l'operatore di Laplace-Beltrami diventa l'[[operatore di d'Alembert]].

Il laplaciano viene impiegato, ad esempio, per [[modello matematico|modellaredescrivere]] la [[equazione delle onde|propagazione ondosa]] ed [[equazione del calore|il flusso del calore]], comparendo nell'[[equazione di Helmholtz]]. Riveste un ruolo centrale anche in [[elettrostatica]], dove è utilizzato nell'[[equazione di Laplace]] e nell'[[equazione di Poisson]]. In [[meccanica quantistica]] rappresenta l'osservabile [[energia cinetica ed è]] presente nell'[[equazione di Schrödinger]]. In [[idraulica]] viene utilizzato per ricavare l'espressione della [[cadente piezometrica]] in funzione delle caratteristiche di una corrente intubata nel [[regime laminare]]. Infine, l'operatore di Laplace si trova al centro della [[teoria di Hodge]] e dei risultati della [[coomologia di De Rham]].

== Definizione ==

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:<math>\nabla^2 = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} \left( \wedge^2 \right)</math>

Dove <math>\wedge^2</math> è il ''[[legendriano]]'', ed ècioè la parte angolare del Laplaciano. Questa forma viene utilizzata nella [[meccanica quantistica]] per il calcolo dell'hamiltoniano nel caso della rotazione in tre dimensioni di una particella,; edtale parte angolare è definita come:

:<math> \wedge^2 = \frac1{\sin^2 \theta} {\partial^2 \over \partial \phi^2} + {1 \over \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial \over \partial \theta} \right) </math>

Questa rappresentazione è particolarmente importante perché consente l'applicazione del metodo della [[separazione delle variabili]] nell'[[equazione differenziale alle derivate parziali]] che si deve calcolareutilizzato per risolvere l'[[equazione di Schrödinger]], per il caso, appunto, di una particella che si muove sulla superficie di una [[sfera]].

===3 dimensioni===