Modello a quark costituenti: differenze tra le versioni

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[[ImageFile:Multipletto_Barionico.JPG|frame|none|Figura 1: multipletti barionici.|alt=]]

L'impossibilità di risolvere le equazioni della [[cromodinamica quantistica]] in regime non perturbativo (basse energie) ha stimolato lo sviluppo di numerosi [[modelli efficaci]] per la descrizione degli adroni in termini di [[quark(particella)|quark]].

Il '''modello a quark costituenti''' ('''CQM''') è il modello maggiormente utilizzato fra quelli efficaci nel riprodurre le proprietà degli [[Adrone|adroni]].

Lo stimolo allo sviluppo di numerosi [[modelli efficaci]] per la descrizione degli adroni in termini di [[Quark (particella)|quark]] è derivato dall'impossibilità di risolvere le equazioni della [[cromodinamica quantistica]] in regime non perturbativo (basse energie).

Tra i vari modelli efficaci utilizzati a basse energie un ruolo di particolare rilievo viene ricoperto dai '''modelli a quark costituenti''' ('''CQM''') che hanno dimostrato di essere in grado di riprodurre in maniera abbastanza soddisfacente le proprietà degli adroni, nonostante la relativa semplicità con cui sono formulati.

==Il modello a quark di Gell-Mann e Zweig==

Le motivazioni fenomenologiche che hanno portato alla nascita del modello a quark vanno ricercate nell'osservazione di famiglie [[adrone|adroniche]] di uguale [[spin]] e [[parità]], con masse uguali, entro un errore dell'ordine di qualche percento, ma differenti tra loro per [[carica elettrica]]. La famiglia composta da [[protone]] (938.,3 MeV ) e [[neutrone]] (939.,5 MeV ) ne è un esempio, al pari della famiglia dei [[Pione|pioni]] (con masse che variano tra i 135e135 e i 140 MeV ).

Immaginando di "spegnere" l'[[elettromagnetismo|interazione elettromagnetica]], si può pensare che i componenti di queste famiglie degenerino, in realtà, degenerino in una sola entità fisica. La motivazione teorica di questa degenerazione degli autostati dell'[[interazione forte]] sta in una simmetria dell'[[Operatore hamiltoniano|hamiltoniano]],; esiste cioè un gruppo di trasformazioni sugli stati che lascia invariato l'hamiltoniano responsabile della dinamica delle particelle adroniche. Questa simmetria viene chiamata [[SU(2)]] di [[isospin]] e viene appunto rotta, come abbiamo visto, dall'interazione elettromagnetica.

Le famiglie di particelle sono quindi rappresentazioni irriducibili di questo gruppo: il [[nucleone]] è una rappresentazione di dimensione due, il [[pione]] di dimensione tre, la <math>\Delta</math> è, invece, la rappresentazione di dimensione quattro. È da sottolineare che sono permesse matematicamente anche altre rappresentazioni, delle quali, però, non vi è una un'evidenza sperimentale che ne attesti la loro l'esistenza in natura.

Quando si scoprirono le prime [[caricaQuark di stranezzastrange|particelle strane]] si notò che, insieme alle altre già note, potevano essere raggruppate in multipletti, di diverse dimensioni, caratterizzati da isospin e [[stranezza]] (vedi Figura 1).

Se si considera la stranezza, il gruppo SU(2) di isospin va allargato a [[SU(3)]]. Ciò sta a significare che, adesso, l'hamiltoniano dell'interazione forte è invariante per trasformazioni di SU(3). Questo gruppo viene chiamato SU(3) di [[carica di sapore|flavour]] (o sapore). A differenza della simmetria di isospin, quella di flavoursapore viene rotta per circa il 20%; infatti al variare della stranezza le masse delle particelle differiscono di circa 150 MeV (caratteristica che ha contribuitacontribuito alla scoperta della particella <math>\Omega^-</math>). Il modello a quark per gli adroni, proposto indipendentemente da [[Murray Gell-Mann|Gell-Mann]]<ref>Gell-Mann [1]M., Phys. Lett. 16 (1964) 214-215</ref> e [[George Zweig|Zweig]],<ref>Zweig [2]G., CERN Report No 8182/TH 401.8419/TH 412 (1964)</ref> nel 1964 spiega questa simmetria rispetto al gruppo SU(3). Il modello chiama in causa l'esistenza di un tripletto di particelle costituenti, i quark, indicati come la realizzazione della rappresentazione fondamentale del gruppo di invarianza. I barioni vengono pensati costituiti da tre quark (<math>qqq</math>) mentre i mesoni da una coppia quark-antiquark (<math>q\bar q</math>). Sorge, quindi, in maniera naturale la struttura a multipletti osservata:

[[Image:Multipletto_Barionico.JPG|frame|none|Figura 1: multipletti barionici]]

Se si considera la stranezza il gruppo SU(2) di isospin va allargato a SU(3). Ciò sta a significare che, adesso, l'hamiltoniano dell'interazione forte è invariante per trasformazioni di SU(3). Questo gruppo viene chiamato SU(3) di [[carica di sapore|flavour]] (o sapore). A differenza della simmetria di isospin, quella di flavour viene rotta per circa il 20%; infatti al variare della stranezza le masse delle particelle differiscono di circa 150 MeV (caratteristica che ha contribuita alla scoperta della particella <math>\Omega^-</math>). Il modello a quark per gli adroni, proposto indipendentemente da [[Murray Gell-Mann|Gell-Mann]] [1] e [[Zweig]] [2], nel 1964 spiega questa simmetria rispetto al gruppo SU(3). Il modello chiama in causa l'esistenza di un tripletto di particelle costituenti, i quark, indicati come la realizzazione della rappresentazione fondamentale del gruppo di invarianza. I barioni vengono pensati costituiti da tre quark (<math>qqq</math>) mentre i mesoni da una coppia quark-antiquark (<math>q\bar q</math>). Sorge, quindi, in maniera naturale la struttura a multipletti osservata:

<math>qqq=3\otimes3\otimes3=1\oplus8\oplus8\oplus10</math> (1)

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<math>q\bar{q}=3\otimes\bar{3}=1\oplus8</math> (2)

==Il modello a quark non relativistico==

Nel 1965 [[Morpurgo]]<ref>Morpurgo G., Physics 2 (1965), pag. 95-105</ref> [3] dimostrò la possibilità di una trattazione non relativistica della dinamica dei quark all'interno degli adroni: questo permise lo sviluppo dei modelli a quark costituenti. In questi modelli i barioni sono considerati stati legati di tre quark. Tenendo conto di tutti i gradi di libertà dei quark, la [[funzione d'onda]] può essere scritta:

<math>\Psi_{3q}=\psi_{space}\otimes\chi_{spin}\otimes\Phi_{flavour}</math> (3)

Per fare in modo che i barioni rispettino il [[principio di esclusione di Pauli]], è necessario combinare le varie funzioni d'onda facendo in modo che il risultato sia completamente antisimmetrico per lo scambio di due quark qualsiasi, vista la natura fermionica[[fermioni]]ca di questo tipo di particelle. Ben presto si capì che qualcosa non funzionava. Consideriamo a proposito la particella <math>\Delta^{++}</math> nel suo stato ad energia minima (corrispondente a L = 0). Per consentire allo spin totale J di assumere il valore 3/2 proprio della particella, dobbiamo necessariamente imporre uno spin S=3/2 e quindi la <math>\chi_{spin}</math> risulta completamente simmetrica (<math>\chi_{+3/2}^S=\uparrow\uparrow\uparrow</math> per esempio).

Per quanto riguarda <math>\Phi_{flavour}</math>, la composizione in quark di <math>\Delta^{++}</math> è uuu, evidentemente simmetrica. Si richiede quindi che la funzione d'onda spaziale sia antisimmetrica. Questa richiesta non può essere soddisfatta unitamente alla condizione L = 0, se non a costo di una funzione d'onda spaziale con molti nodi e quindi con un'energia piuttosto alta. In un primo momento si "aggirò" il problema postulando che la teoria corretta fosse quella del cosidettocosiddetto "Modello a Quark Simmetrico", in cui si suppone che la funzione d'onda totale debba essere simmetrica. Il modello diede subito buoni risultati, ma fu chiaro fin dall'inizio che il problema andasseandava risolto in maniera diversa.

===L'introduzione del colore===

La soluzione del problema della simmetria della funzione d'onda che oggi viene considerata valida invoca l'esistenza di un grado di libertà non osservato detto colore. Questo comporta una riscrittura della (3) nella forma:

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<math>\Psi_{3q}=\psi_{space}\otimes\Chi_{spin}\otimes\Phi_{flavour}\otimes\theta_{colour}</math> (4)

A questo punto la parte si flavour-spin-spazio può essere simmetrica, purché <math>\theta_{colour}</math> sia completamente antisimmetrica. Per formalizzare la teoria supponiamo che ciascun quark possieda un ulteriore grado di libertà interno (il colore) conservato nelle interazioni forti. Esiste quindi un nuovo gruppo di invarianza nella teoria, <math>SU(n)_{colour}</math>, in cui n indica la dimensione del gruppo e quindi il numero di valori che può assumere il nuovo grado di libertà. Per determinare il valore di n si richiede solamente che <math>\theta_{colour}</math> possa essere completamente antisimmetrica e che giustifichi la non osservabilità diretta del colore. Le due richieste sono soddisfatte se la decomposizione in rappresentazioni irriducibili del prodotto diretto di tre rappresentazioni fondamentali di <math>SU(n)_{colour}</math> contiene una rappresentazione antisimmetrica di dimensione uno (singoletto di colore).

La [[teoria dei gruppi]] ci dice che la dimensione della rappresentazione irriducibile completamente antisimmetrica è:

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e imponendo d=1, si ottiene n=3. Questo vuol dire che i quark esistono in tre stati di colore. Siccome non vi è evidenza sperimentale dell'esistenza di particelle colorate, si suppone che tutte le particelle siano singoletti di colore. L'introduzione del gruppo di invarianza <math>SU(3)_{colour}</math> permette, quindi, di "scaricare" l'antisimmetria della funzione d'onda su <math>\theta_{colour}</math>, questo spiega perciò il perché dei buoni risultati del Modello a Quark Simmetrico.

L'introduzione di un nuovo numero quantico sembra, fino a questo punto, una soluzione ad hoc del problema delle statistiche. In realtà vi sono alcune evidenze sperimentali, se pur indirette, dell'esistenza del colore. Un esempio è dato dall'andamento della [[sezione d'urto]] totale per la produzione di adroni in esperimenti di annichilazione di coppie elettrone-positrone (adronizzazione). Si esamina il risultato in termini del rapporto:

<math>R=\frac{\sigma(e^+e^-\rightarrow adroni)}{\sigma(e^+e^-\rightarrow\mu^+\mu^-)}</math> (6)

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Questo risultato è in contrasto col valore sperimentale <math>R_{exp}=2</math>. Se, però, si tiene conto dei tre possibili stati di colore gli stati finali della reazione saranno nove invece che tre e quindi la predizione teorica va a coincidere con quella sperimentale.

Si noti che il valore sperimentale <math>R_{exp}=2</math> si ottiene facendo collidere elettrone e positrone con un'energia, nel sistema di riferimento del centro di massa, inferiore a 3.,5 GeV , soglia di produzione del quark charm. All'aumentare dell'energia entrano in gioco anche gli altri sapori dei quark aumentando, quindi, il numero di stati finali possibili.

==Hamiltoniano nei modelli a quark costituenti==

Nei CQM si considera un hamiltoniano della forma H=T+V, dove T rappresenta l'energia cinetica mentre V è il potenziale che deve tenere conto, tra le altre cose, del confinamento dei quark. Indicazioni della [[LQCD]] suggeriscono che il potenziale confinante debba essere <math>SU(6)_{spin-flavour}</math> invariante. Per riprodurre in maniera adeguata lo spettro è, quindi, necessario aggiungere nell'hamiltoniano anche un termine in grado di rompere la simmetria <math>SU(6)_{spin-flavour}</math>. Si utilizza l'energia cinetica nello sviluppo non relativistico della dell'energia relativistica, cioè:

<math>T=\sum_{i=1}^3(m_i+\frac{p_i^2}{2m_i})</math> (9)

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<math>\vec\lambda=\frac{\vec{r}_1+\vec{r}_2-2\vec{r}_3}{\sqrt6}</math> (10c)

la coordinata <math>\vec{R}</math> rappresenta il centro di massa del sistema a tre corpi, <math>\vec\rho</math> la coordinata relativa dei primi due quark, mentre <math>\vec\lambda</math> la coordinata relativa del terzo quark rispetto al centro di massa delle prime due particelle. Il tutto viene visualizzato più chiaramente se si fa riferimento alla figura 2.

alla figura 2.

[[ImageFile:Coordinate di Jacobi.JPG|frame|none|Figura 2: Coordinate di Jacobi.]]

Con questa definizione l'equazione (9) diventa:

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da cui si può separare il termine che concerne il centro di massa, in quanto non è interessante nello studio delle risonanze barioniche.

ÉÈ in questo ambiente che si sviluppano i vari potenziali confinanti. Uno dei più importanti, soprattutto perché ha ispirato la quasi totalità dei modelli sviluppati successivamente, è il modello di [[Nathan Isgur|Isgur]] e [[Gabriel Karl|Karl]].<ref>Isgur [4]N., [5]Karl eG., [6]Phys. Rev. D18 (1978), pag. 4187-4205</ref><ref>Isgur N., Karl G., Phys. Rev. D19 (1979), pag. 2653-2677</ref><ref>Chao K.T., Isgur N., Karl G., Phys. Rev. D23 (1981), pag. 155-162</ref> In questo modello i [[barione|barioni]] ([[mesone|mesoni]]) vengono schematizzati come un sistema di tre quark (una coppia quark-antiquark) interagenti tramite forze di tipo elastico tra due corpi a cui viene aggiunta un'interazione del tipo [[iperfine]]. Lo spettro ottenuto con questo modello è molto simile a quello effettivamente osservato in natura anche se presenta un certo numero di problemi.

===Il modello di Isgur e Karl===

Nel modello di Isgur e Karl il potenziale confinante è del tipo oscillatore armonico: si ipotizza che i quark interagiscano a coppie mediante forze di tipo oscillatore armonico con la medesima costante elastica.

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<math>V_{conf}=\frac{1}{2}K|\vec{r}_1-\vec{r}_2|^2+\frac{1}{2}K|\vec{r}_1-\vec{r}_3|^2+\frac{1}{2}K|\vec{r}_2-\vec{r}_3|^2=V_{h.o.}</math> (12)

Il termine responsabile della rottura della simmetria [[SU(6)]] spin-flavour, chiamato "di interazione iperfine", viene ricavato dalla formulazione non relativistica del [[diagramma di Feynman]] per l'interazione tra due quark mediata dallo scambio di un [[gluone]] (si veda a proposito la figura 3).

[[ImageFile:Feynman one gluon excange.JPG|frame|none|Figura 3: [[Diagramma di Feynman]] per un'interazione tra due quark mediata dallo scambio di un [[gluone]].]]

L'operatore iperfine ha la forma:

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<math>H=T+V_{ho}+V_{hyp}</math> (14)

==Conclusioni==

In generale tutti i modelli a quark costituenti si fondano sulla costruzione di un hamiltoniano invariante rispetto alle trasformazioni del gruppo SU(6) di spin-flavour al quale viene aggiunto successivamente un termine, trattato solitamente in maniera perturbativa, che rompe la simmetria dell'hamiltoniano imperturbato.

Per migliorare ulteriormente i risultati si possono introdurre correzioni che tengano conto degli effetti relativistici. Ottenuti i nuovi risultati, però, si noterà che le migliorie apportate non saranno di portata rilevante (perlomeno confrontate con lo sforzo che queste correzioni comportano) confermando la bontà della dimostrazione [13] già citata

=Bibliografia=

[1] Gell-Mann M., Phys. Lett. 16 (1964) 214-215

==Note==

[2] Zweig G., CERN Report No 8182/TH 401.8419/TH 412 (1964)

<references/>

==Bibliografia==

[3] Morpurgo G., Physics 2 (1965) 95-105

[4]* IsgurGell-Mann N., Karl GM., Phys. RevLett. D1816 (19781964), pag. 4187214-4205215

[2]* Zweig G., CERN Report No 8182/TH 401.8419/TH 412 (1964)

[3]* Morpurgo G., Physics 2 (1965), pag. 95-105

[5]* Isgur N., Karl G., Phys. Rev. D19D18 (19791978), pag. 26534187-26774205

[6]* Chao K.T., Isgur N., Karl G., Phys. Rev. D23D19 (19811979), pag. 1552653-1622677

* Chao K.T., Isgur N., Karl G., Phys. Rev. D23 (1981), pag. 155-162

* [[Richard Feynman]] "The reason for antiparticles", in ''The 1986 Dirac memorial lectures'', R.P. Feynman and S. Weinberg. Cambridge University Press, 1987. ISBN 0-521-34000-4.

[5] Isgur N., Karl G., Phys. Rev. D19 (1979) 2653-2677

* [[Steven Weinberg]]. ''The quantum theory of fields, Volume 1: Foundations''. Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-55001-7.

* Richard Feynman, ''QED: La strana teoria della luce e della materia'', Adelphi, ISBN 8845907198

* Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, Gilbert Grynberg, ''Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics'' ([[John Wiley & Sons]] 1997). ISBN 0471184330

* Jauch, J. M., F. Rohrlich, F., ''The Theory of Photons and Electrons'' (Springer-Verlag, 1980)

* Richard Feynman ''Quantum Electrodynamics'', (Perseus Publishing, 1998). ISBN 0201360756

==Voci correlate==

[6] Chao K.T., Isgur N., Karl G., Phys. Rev. D23 (1981) 155-162

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*[[Antiquark]]

*[[Ipercarica]]

*[[Carica di colore]]

*[[Quark (fisica)]]

*[[Quark up]]

*[[Quark down]]

*[[Quark strange]]

*[[Quark charm]]

*[[Quark top]]

*[[Quark bottom]]

*[[Cromodinamica quantistica]]

*[[Gluone]]

*[[Glueball]]

*[[Pentaquark]]

*[[Tetraquark]]

*[[Lista delle particelle]]

*[[Costanti di accoppiamento]]

*[[Modello standard]]

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[[Categoria:Adroni]]