Operatore differenziale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[Operatore (matematica)|operatore]] definito come una funzione dell'operatore di [[derivata|derivazione]].

{{T|lingua=inglese|argomento=matematica|data=giugno 2006}}

In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[operatore]] [[trasformazione lineare|lineare]] definito come una funzione dell'operatore [[derivata|differenziazione]].

Nel seguito si trattano operatori differenziali [[trasformazione lineare|lineari]], che sono i maggiormente diffusi, sebbene esistano anche diversi operatori differenziali non lineari.

==Notazioni==

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:

Il più semplice operatore differenziale è la [[derivata]]. Una notazione comune è <math>{d \over dx}</math> o <math>D_x</math>, mentre quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata si usa solo <math>D</math>. Per le derivate successive si usa rispettivamente <math>d^n \over dx^n</math>, <math>D^n</math> e <math>D^n_x</math>. La notazione <math>D</math> è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math> nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]].

: <math>{d \over dx}</math>

==Operatori differenziali lineari==

: <math>D,\,</math> quando la variabile di differenziazione è chiara, e

Un operatore differenziale lineare è un particolare operatore differenziale che agisce come una [[trasformazione lineare]], cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono valide particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:

:<math>A = \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n},</math>

: <math>D_x,\,</math> quando la variabile è dichiarata esplicitamente.

che applicato a un elemento dello [[spazio funzionale]] <math>f(x)</math>:

Per le derivate successive

: <math>d^A f(x)= \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \overfrac{d^n f(x)}{dx^n}.</math>

In generale un operatore è rappresentato da una [[matrice quadrata]] e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice.

: <math>D^n\,</math>

===Proprietà===

: <math>D^n_x.\,</math>

Le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali:

:<math>(A+B) f = Af + Bf \qquad (A \cdot B) f = A(Bf) \qquad (AB)C = A(BC) \qquad A(B+C) = AB + AC.</math>

La notazione D è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma

Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:

:<math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>

:<math>AB \ne BA.</math>

nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]].

Definendo [[commutatore (matematica)|commutatore]]:

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^nAB {\partial^2\over- \partialBA = x_k^2}.[A,B]</math>

si può dire che due operatori commutano [[se e solo se]]: <math>[A,B]=0</math>.

Un altro operatore differenziale è l'operatore &Theta;, definito come

===Polinomi===

:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

Ogni [[polinomio]] in <math>D</math> con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola:

:<math>(D_1 \circ D_2)(f) = D_1 [D_2(f)].</math>

==Aggiunto di un operatore==

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore <math>D_2</math> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore <math>D_1</math> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre, questo anello non è [[commutativo]] poiché un operatore <math>gD</math> non è in generale uguale a <math>Dg</math>. Per esempio, si veda la relazione in [[meccanica quantistica]]:

Dato un operatore lineare differenziale:

: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>

l' '''aggiunto''' di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che

: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle</math>

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare.

:<math>Dx -xD = 1.</math>

Nello spazio funzionale delle funzioni a [[quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx. </math>

Se a questo aggiungiamo la condizione che ''f'' e ''g'' tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

Il sottoanello degli operatori che sono polinomi in <math>D</math> con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u]</math>.

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di '''operatore aggiunto formale'''.

===Potenza e funzione di operatore===

Un operatore '''auto-aggiunto''' è un operatore che è aggiunto di se stesso.

Definiamo ''potenza ennesima'' di un operatore, l'operatore:

:<math>A^n=\underbrace{ A\cdot A \cdots A }_{n}.</math>

L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale autoaggiunto. L'operatore differenziale del secondo ordine ''L'' può essere scritto nella forma:

Se la funzione <math>F(t)</math> è sviluppabile in [[serie di potenze]] di Mc Laurin:

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;\!</math>

:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n,</math>

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

allora si definisce la funzione <math>F(A)</math> come:

: <math>\begin{matrix}

L^*u &=& (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\

&=& -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\

&=& -(pu)''+(p'u)'+qu \\

&=& -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\

&=& -p'u'-pu''+qu \\

&=& -(pu')'+qu

&=& Lu\\

\end{matrix}</math>

:<math>F(A)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_n A^n.</math>

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[Teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[autovettori]])

==Operatore aggiunto==

{{vedi anche|Operatore aggiunto}}

Dato un operatore lineare differenziale:

: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>

==Proprietà degli operatori differenziali==

l'aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che:

Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle [[derivata|derivate]], che sono lineari

: <math>D\langle (f+g)u,Tv \rangle = (Df)\langle T^*u, +v (Dg)\rangle,</math>

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizione di prodotto scalare. Nello spazio funzionale delle [[funzione a quadrato sommabile|funzioni a quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

: <math>D (af) = a (Df)</math>

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx .</math>

dove ''f'' e ''g'' sono funzioni e ''a'' è una costante.

Se a questo aggiungiamo la condizione che <math>f</math> e <math>g</math> tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u].</math>

:(''D''₁o''D''₂)(f) = ''D''₁ [''D''₂(''f'')].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore ''D''₂ deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore ''D''₁ richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è [[commutativo]]: un operatore ''gD'' non è in generale uguale a ''Dg''. Per esempio la relazione semplice in [[meccanica quantistica]]

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di ''operatore aggiunto formale''.

:''Dx'' &minus; ''xD'' = 1.

L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]]. L'operatore differenziale del secondo ordine <math>L</math> può essere scritto nella forma:

Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in ''D'' con [[coefficienti costanti]] è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math>

==Più variabili==

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

La stessa costruzione può essere usata con le [[derivata parziale|derivate parziali]].

:<math>\begin{align}

==Descrizione indipendente dalle coordinate==

L^*u &= (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu)\\

In [[geometria differenziale]] e in [[geometria algebrica]] è spesso conveniente avere una descrizione degli operatori indipendente dalle [[coordinata|coordinate]].

&= -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\

<!--In [[differential geometry]] and [[algebraic geometry]] it is often convenient to have a [[coordinate]]-independent description of differential operators between two [[vector bundle|vector bundles]]. Let ''E'' and ''F'' be two vector bundles over a [[manifold]] ''M''. An operator is a mapping of [[vector bundle|sections]], ''P'': &Gamma;(''E'') &rarr; &Gamma;(''F'') which maps the [[sheaf (mathematics)|stalk]] of the [[sheaf (mathematics)|sheaf]] of [[sheaf (mathematics)|germs]] of &Gamma;(''E'') at a point ''x'' &isin; ''M'' to the [[fibre bundle|fibre]] of ''F'' at ''x'':

&= -(pu)''+(p'u)'+qu\\

&= -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\

&= -p'u'-pu''+qu\\

&= -(pu')'+qu \\

&= Lu

\end{align}</math>

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[Autovettore e autovalore|autovettori]])

:&Gamma;_''x''(''E'') &rarr; ''F''_''x'' .

==Esempi==

An operator ''P'' is said to be a '''''k''th order differential operator''' if it factors through the [[jet (mathematics)|jet bundle]] ''J''^k(''E''). In other words, there exists a linear mapping of vector bundles

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come:

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.</math>

:''i''_''P'' : ''J''^''k''(''E'') &rarr; ''F''

Un altro operatore differenziale è l'operatore <math>\Theta</math>, definito come:

such that ''P'' = ''i''_''P'' o ''j''^''k'' as in the following composition:

:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

:''P'' : &Gamma;_''x''(''E'') &rarr; ''J''^''k''(''E'')_''x'' &rarr; ''F''_''x'' .

A foundational result and characterization is the [[Peetre theorem]].

==Esempi==

* In applications to the physical sciences, operators such as the [[Laplace operator]] play a major role in setting up and solving [[partial differential equation]]s.

* In [[differential topology]] the [[exterior derivative]] and [[Lie derivative]] operators have intrinsic meaning.

* In [[abstract algebra]], the concept of a [[derivation (abstract algebra)|derivation]] allows for generalizations of differential operators which do not require the use of calculus. Frequently such generalizations are employed in [[algebraic geometry]] and [[commutative algebra]]. See also [[jet (algebraic geometry)]].

==See alsoBibliografia ==

*{{Cita libro | cognome=Evans | nome=Lawrence C. | titolo=Partial differential equations | annooriginale=1998 | url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf | editore=[[American Mathematical Society]] | città=Providence, R.I. | edizione=2nd |serie=Graduate Studies in Mathematics | anno=2010 | volume=19| id={{MathSciNet | id = 2597943}} }}

* [[Difference operator]]

* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

* [[Delta operator]]

*Rozhdestvenskii, B.L., in Hazewinkel, Michiel, [[Encyclopedia of Mathematics]], Springer, 2001 ISBN 978-1556080104

* [[Elliptic operator]]

* [[Fractional calculus]]

-->

== Voci correlate ==

* [[Derivata]]

* [[Operatore differenziale lineare]]

* [[Derivata parziale]]

* [[Equazione delle onde]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica]]

* [[Operatore aggiunto]]

* [[Operatore autoaggiunto]]

* [[Trasformazione lineare]]

* [[Notazione per la differenziazione]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Calcolo a più variabili]]

[[Category:Operatori differenziali]]

[[Categoria:Operatori differenziali| ]]

[[de:Differentialoperator]]

[[en:Differential operator]]

[[es:Operador diferencial]]

[[fi:Differentiaalioperaattori]]

[[fr:Opérateur différentiel]]

[[pl:Operator różniczkowy]]

[[pt:Operador diferencial]]

[[ru:Дифференциальный оператор]]