Teorema di Wigner: differenze tra le versioni

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PerIl '''Teoremateorema di Wigner''' siè intende ilun teorema, formulato e dimostrato per la prima volta dal fisico-matematico ungherese [[Eugene Paul Wigner]] su ''Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quantenmechanik der Atomspektrum'' ([[1931]]), che stabilisce che per ogni trasformazione di simmetria nello [[spazio di Hilbert]] esiste un operatore unitario, od antiunitario, unicamente determinato a meno di un fattore di fase.

== Introduzione ==

Gli invarianti giocano un ruolo molto importante nella [[fisica]], essendo quelle quantità che, in qualsiasi [[sistema di riferimento]] le si osservi, restano invariate. Con l'avvento della [[meccanica quantistica|fisica quantistica]], crebbe anche la loro importanza, in particolare nella formulazione di una [[Teoria quantistica dei campi|teoria didei campocampi quantistica]] quantisticae relativistica. In quest'ambito, uno degli strumenti più importanti nello studio degli invarianti è il teorema di Wigner, strumento di basilare importanza per tutto lo sviluppo della teoria quantistica.

Gli invarianti giocano un ruolo molto importante nella [[fisica]], essendo quelle quantità che, in qualsiasi [[sistema di riferimento]] le si osservi, restano invariate. Con l'avvento della [[meccanica quantistica|fisica quantistica]], crebbe anche la loro importanza, in particolare nella formulazione di una [[teoria di campo]] quantistica relativistica. In quest'ambito, uno degli strumenti più importanti nello studio degli invarianti è il teorema di Wigner, strumento di basilare importanza per tutto lo sviluppo della teoria quantistica.

In particolare, Wigner si interessò della determinazione delle proprietà delle trasformazioni che conservano la [[probabilità di transizione]] tra due stati quantistici differenti. Egli, infatti, posta <math>\bar \phi</math> la [[funzione d'onda]] per il secondo osservatore, laddove il primo osserva <math>\phi</math>, assume che l'uguaglianza

:<math>|<\langle \psi | \phi >\rangle| = |<\langle \bar \psi | \bar \phi >\rangle|</math>

deve valere per tutte le funzioni <math>\psi</math>, <math>\phi</math>. Alla fine, non considerando le trasformazioni che implicano una inversione temporale, si trova che l'operatore <math>\operatorname O_R</math>, tale che <math>\bar\phi = O_R \phi</math>, deve essere ''[[operatore unitario|unitario]]'' e quindi ''lineare''. Si dimostrò successivamente che, considerando tutte le possibilità, l'operatore può anche essere ''antiunitario'' e quindi ''antilineare''. Conseguenza di questo fatto è che entrambe le descrizioni dei due osservatori sono, dal punto di vista fisico, assolutamente equivalenti. In pratica, come detto, laddove il primo osserva <math>\phi</math>, il secondo osserverà <math>\bar \phi</math>, mentre l'operatore <math>\operatorname H</math> del primo sarà, per il secondo <math>\operatorname O_R \operatorname H {\operatorname O_R}^{-1}</math>.

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== I raggi di vettori ==

Sia <math>\mathcal H</math> uno spazio di Hilbert complesso con vettori <math>\psi</math>, <math>\varphi</math>,... Il prodotto interno <math>< \langle\psi | \varphi >\rangle</math> di due vettori <math>\psi</math>, <math>\varphi</math> ha simmetria [[operatore hermitiano|hermitiana]], cioè

:<math><\langle \psi | \varphi >\rangle = <\overline{\langle \varphi | \psi >\rangle}</math>

Sia <math>\mathcal H</math> uno spazio di Hilbert complesso con vettori <math>\psi</math>, <math>\varphi</math>,... Il prodotto interno <math>< \psi | \varphi ></math> di due vettori <math>\psi</math>, <math>\varphi</math> ha simmetria [[operatore hermitiano|hermitiana]], cioè

Per ''raggio'', o più precisamente ''raggio di vettori'', si definisce l'[[insieme]] di tutti i [[vettore (matematica)|vettori]] della forma <math>\tau |\psi_0>\rangle</math>, dove <math>|\psi_0>\rangle</math> è un vettore fissato in <math>\mathcal H</math> e <math>\tau</math> uno scalare di [[valore assoluto|modulo]] [[uno|1]]. Se <math>|\psi_0>\rangle</math> è un vettore unitario, anche il raggio <math>{\mathcal R}_{\psi_0}</math> si dirà unitario.

:<math>< \psi | \varphi > = < \varphi | \psi ></math>

:<math>{\mathcal R}_{\psi_0} = \{ |\psi>\rangle \; {\rm t.c.} \; |\psi>\rangle = \tau |\psi_0>\rangle, \; |\tau|=1 \}</math>

Per ''raggio'', o più precisamente ''raggio di vettori'', si definisce l'[[insieme]] di tutti i [[vettore (matematica)|vettori]] della forma <math>\tau |\psi_0></math>, dove <math>|\psi_0></math> è un vettore fissato in <math>\mathcal H</math> e <math>\tau</math> uno scalare di [[valore assoluto|modulo]] [[uno|1]]. Se <math>|\psi_0></math> è un vettore unitario, anche il raggio <math>{\mathcal R}_{\psi_0}</math> si dirà unitario.

:<math>{\mathcal R}_{\psi_0} = \{ |\psi> \; {\rm t.c.} \; |\psi> = \tau |\psi_0>, \; |\tau|=1 \}</math>

Poiché esiste una corrispondenza 1-a-1 tra gli stati quantistici ed i raggi di vettori, si parlerà di ''probabilità di transizione'', o più genericamente di ''[[probabilità]] tra raggi'' in luogo di quella tra stati quantistici.

Prendendo, quindi, un qualsiasi raggio <math>{\mathcal R}_\psi</math>, un vettore <math>|\psi>\rangle</math> ad esso appartenente sarà detto ''rappresentante'' del raggio <math>{\mathcal R}_\psi</math>. La probabilità di transizione da uno stato <math>{\mathcal R}_\psi</math> ad uno <math>{\mathcal R}_\varphi</math> equivale a <math>|<\langle \psi | \varphi >\rangle|^2</math>, dove <math>|\psi>\rangle</math> e <math>|\varphi>\rangle</math> sono rappresentanti rispettivamente di <math>{\mathcal R}_\psi</math> e <math>{\mathcal R}_\varphi</math>. Ciò suggerisce la seguente definizione per il prodotto tra [[due]] raggi:

:<math>{\mathcal R}_\psi \cdot {\mathcal R}_\varphi = |<\langle \psi | \varphi >\rangle|, \qquad {\rm con} \; |\psi>\rangle \in {\mathcal R}_\psi, \, |\varphi>\rangle \in {\mathcal R}_\varphi</math>

che è indipendente dalla scelta dei rappresentanti <math>|\psi>\rangle</math> e <math>|\varphi>\rangle</math>: un raggio <math>{\mathcal R}_\psi</math>, infatti, è unicamente determinato da uno dei suoi rappresentanti.

Inoltre, per ''[[norma (geometria)|norma]] del raggio'' si definisce:

:<math>|{\mathcal R}_\psi| = ({\mathcal R}_\psi \cdot {\mathcal R}_\psi)^{\frac{1}{2}} = \| |\psi>\rangle \|</math>

mentre si definisce ''[[distanza (matematica)|distanza]] tra raggi'' l'espressione:

:<math>d ({\mathcal R}_\psi, {\mathcal R}_\varphi) = \sqrt{2 (1 - {\mathcal R}_\psi \cdot {\mathcal R}_\varphi)}</math>

=== Proprietà ===

* Il prodotto tra raggi <math>{\mathcal R}_\psi \cdot {\mathcal R}_\varphi</math> è [[continuità|continuo]] in entrambi i fattori rispetto alla metrica <math>d ({\mathcal R}_\psi, {\mathcal R}_\varphi)</math>.

* Per [[scalareGrandezza (fisica)scalare|scalari]] [[numero reale|reali]] non-negativi <math>\rho</math>:

:<math>{\mathcal R}_{\rho \psi} = \{\rho |\psi>\rangle \}, \; {\rm con} \; |\psi>\rangle \in {\mathcal R}_\psi</math>

* In generale ogni raggio <math>{\mathcal R}_\psi</math> può essere espresso nella forma:

:<math>{\mathcal R}_\psi = \rho {\mathcal R}_e, \qquad {\rm con} \; |{\mathcal R}_e|=1, \; \rho \geqslant 0</math>

* <math>n+1</math> raggi <math>{\mathcal R}_{\psi_1}, \ldots, {\mathcal R}_{\psi_n}, {\mathcal R}_{\psi_{n+1}}</math> sono [[indipendenza lineare|indipendenti]] se i primi <math>n</math> raggi <math>{\mathcal R}_{\psi_1}, \ldots, {\mathcal R}_{\psi_n}</math> sono indipendenti e se esiste un raggio <math>{\mathcal R}_\varphi</math> che è [[ortogonalitàPerpendicolarità|ortogonale]] ai primi <math>n</math> e non ortogonale ad <math>{\mathcal R}_{\psi_{n+1}}</math>.

== Trasformazioni di simmetria ==

Utilizzando il concetto di raggio di vettori, per ''[[trasformazione di simmetria]]'' <math>T</math> si definirà una [[corrispondenza (matematica)|corrispondenza]] tra i raggi unitari <math>{\mathcal R}_{e_1}</math>, <math>{\mathcal R}_{e_2}</math>, ... dello spazio di Hilbert <math>\mathcal H</math> ed i raggi unitari <math>{\mathcal R}_{e'_1}</math>, <math>{\mathcal R}_{e'_2}</math>, ... dello spazio di Hilbert <math>\mathcal H'</math> tale che siano soddisfatte le seguenti proprietà:

*<math>T</math> è definita per ogni raggio unitario <math>{\mathcal R}_e</math> in <math>\mathcal H</math>, con <math>{\mathcal R}_{e'} = T {\mathcal R}_e</math> è un raggio unitario di <math>\mathcal H</math>;

*<math>T</math> conserva la probabilità ovvero:

::<math>|<\langle e_1|e_2> \rangle|^2 = |<\langle e'_1|e'_2> \rangle|^2</math>

:che nella notazione dei raggi può essere scritto più semplicemente come

::<math>{\mathcal R}_{e'_1} \cdot {\mathcal R}_{e'_2} = {\mathcal R}_{e_1} \cdot {\mathcal R}_{e_2}</math>

== Teorema di Wigner: enunciato ==

Per ogni trasformazione di simmetria <math>T: \mathcal R \rightarrow \mathcal R</math> tra raggi di uno spazio di Hilbert <math>\mathcal H</math> e tale da preservare la [[probabilità di transizione]], si può definire un operatore <math>U</math> sullo spazio di Hilbert <math>\mathcal H</math> tale che, se <math>|\psi>\rangle \in {\mathcal R}_\psi</math>, allora <math>U |\psi>\rangle \in {\mathcal R}'_\psi</math>, con <math>{\mathcal R}_\psi</math> il raggio dello stato <math>|\psi>\rangle</math>, <math>{\mathcal R}'_\psi = T {\mathcal R}_\psi</math> e con <math>U</math> ''unitario'' e ''lineare'':

:<math><\langle U \psi | U \varphi> \rangle = <\langle\psi | \varphi> \rangle, \qquad U |\alpha \psi + \beta \varphi> \rangle = \alpha U |\psi> \rangle + \beta U |\varphi> \rangle</math>

Per ogni trasformazione di simmetria <math>T: \mathcal R \rightarrow \mathcal R</math> tra raggi di uno spazio di Hilbert <math>\mathcal H</math> e tale da preservare la [[probabilità di transizione]], si può definire un operatore <math>U</math> sullo spazio di Hilbert <math>\mathcal H</math> tale che, se <math>|\psi> \in {\mathcal R}_\psi</math>, allora <math>U |\psi> \in {\mathcal R}'_\psi</math>, con <math>{\mathcal R}_\psi</math> il raggio dello stato <math>|\psi></math>, <math>{\mathcal R}'_\psi = T {\mathcal R}_\psi</math> e con <math>U</math> ''unitario'' e ''lineare'':

:<math><U \psi | U \varphi> = <\psi | \varphi>, \qquad U |\alpha \psi + \beta \varphi> = \alpha U |\psi> + \beta U |\varphi></math>

'''oppure''' con <math>U</math> ''antiunitario'' ed ''antilineare'':

:<math><\langle U \psi | U \varphi> \rangle = <\langle \varphi | \psi> \rangle, \qquad U |\alpha \psi + \beta \varphi> \rangle = \alpha^* U |\psi>\rangle + \beta^* U |\varphi>\rangle</math>

Inoltre <math>U</math> è unicamente determinato a meno di un fattore di fase.

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== Bibliografia ==

* E.P.Wigner, ''Group Theory and Itsits Application to the Quantum TheoryMechanics of Atomic Spectra'', Academic Press Inc., New York, 1959

* E.P.Wigner, ''Group Theory and Its Application to the Quantum Theory of Atomic Spectra'', Academic Press Inc., New York, 1959

* [[Ulf Uhlhorn|U.Uhlhorn]], ''Representation of symmetry transformations in quantum mechanics'', Arkiv f¨or Fysik, '''23''', n.30 (1963), pag.307

* [[Valentine Bargmann|V.Bargmann]], ''Note of Wigner’sWigner's Theorem on Symmetry Operations'', Journal of Mathematical Physics, vol.'''5''', n.7 (1964), pag.862

* [[Steven Weinberg|S.Weinberg]], ''The quantum theory of fields'', vol.1, Cambridge Press University, 1995

* '''Problem Set 10''': ''[http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Physics/8-323Relativistic-Quantum-Field-Theory-ISpring2003/9DF8EFDE-D63D-4987-8D85-8AD568C3C503/0/ft1ps1003.pdf Wigner’sWigner's simmetry representation theorem]'' (pdf), dal corso ''Relativistic quantum field theory'' I del MIT

* Mouchet, Amaury. "An alternative proof of Wigner theorem on quantum transformations based on elementary complex analysis". Physics Letters A 377 (2013) 2709-2711. [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00807644 hal.archives-ouvertes.fr:hal-00807644]

{{portale|fisica}}

[[Categoria:Teoremi di fisica|Wigner, Teorema di]]

[[Categoria:Meccanica quantistica]]

[[en:Wigner's theorem]]