Funzione omogenea: differenze tra le versioni

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{{F|geometria|luglio 2017}}

In [[matematica]] si dice '''funzione omogenea''' di grado <math>k</math> una [[funzione (matematica)|funzione]] tale che quando si moltiplica per un certo numero <math>t \alpha> 0</math> ogni sua variabile, il suo valore si calcola moltiplicando per <math>t\alpha^k</math> la funzione calcolata negli argomenti originari (cioè senza <math>t\alpha</math>).

Per esempio, se una funzione è omogenea di grado 1, quando tutti i suoi membri sono moltiplicati per un certo numero <math>t \alpha> 0</math>, il valore della funzione è moltiplicato per lo stesso numero t<math>\alpha</math>. Se <math>k=1</math> si parla di funzioni ''[[trasformazione lineare|linearmente]] omogenee''.

Le funzioni omogenee (in particolare i [[polinomio|polinomi]] omogenei) sono fondamentali in [[geometria algebrica]], poiché per definire il luogo degli zeri di un polinomio in uno [[spazio proiettivo]] occorre che tale insieme sia invariante rispetto al sistema di [[coordinate omogenee]] scelto. Ciò è garantito dai polinomi omogenei: infatti se per una certa scelta delle coordinate il polinomio si annulla nel punto, grazie alla proprietà di omogeneità si annullerà anche in ogni multiplo di tale punto, cioè in ogni altra possibile rappresentazione.

Questo concetto ha fruttuose applicazioni anche in [[economia]], visto che molte [[funzione di produzione|funzioni di produzione]] sono omogenee di grado 1 (cioè hanno [[rendimenti di scala]] costanti) o zero. Supponiamo invece che un consumatore scelga i beni da acquistare, a seconda del reddito e dei prezzi a scelta, tra tutti i [[paniere|panieri]] che si può permettere, e a seconda delle sue preferenze. Possiamo dunqueallora vederlavedere (la domanda) come una funzione dei prezzi e del suo reddito. PossiamoQuesta dimostrarefunzione chesi questa funzionedimostra èessere omogenea di grado 0: se tutti i prezzi e il reddito del consumatore vengono moltiplicati per <math>k>0</math>, la sua domanda di beni del medesimo consumatore resta la stessa (legge di omogeneità, in assenza di [[illusione monetaria]]).

In [[fisica]], le funzioni omogenee sono fondamentali per la [[teoria dei fenomeni critici]], in particolare per la [[teoria dello scaling]] e per il [[gruppo di rinormalizzazione]].

In [[termodinamica]] chimica sono funzioni omogenee di grado 1, le funzioni [[entropia]] <math>S(U,V,n_i),</math> [[energia interna]] <math>U(S,V,n_i),</math> [[entalpia]] <math>H(S,P,n_i),</math> [[energia libera di Helmholtz]] <math>A(T,V,n_i)</math> e [[energia libera di Gibbs]] <math>G(T,P,n_i).</math>

== Definizione rigorosa di funzione omogenea ==

Se <math>\alpha, k \in \R</math> con <math>\ \alpha > 0 </math>, una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>\ f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n})</math> definita su un [[cono (algebra lineare)|cono]] di <math>\R^n</math> si dice '''funzione (positivamente) omogenea''' di grado <math>k</math> se per ogni scelta di variabili <math>x_1,...\ldots,x_n</math> si ha

: <math>\ f(\alpha x_{1}, . . .\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

Si dice '''omogenea''' una funzione per cui la relazione sopra valga per ogni <math>\alpha</math>.

Se tutte le variabili sono nulle si ha ''necessariamente''

: <math>\ f(0, . . .\ldots, 0) = {\alpha}^{k}f(0, . . .\ldots, 0) = 0 .</math>

La funzione nulla è l'unica funzione omogenea di grado <math>k</math> per ogni <math>k</math> reale.

La definizione si può estendere, mantenendo identiche le notazioni, a [[funzionale|funzionali]] definiti in [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] qualsiasi a valori nel rispettivo [[campo (matematica)|campo]]. Notare però che perché abbia senso parlare di funzioni positivamente omogenee, deve essere definita una nozione di ''"positività''" degli elementi del campo, cioè esso deve essere un [[campo ordinato]].

== [[Derivata]] di una funzione omogenea ==

Sia <math>\ f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) </math> una funzione omogenea di grado <math>k</math> e parzialmente [[Derivata|derivabile]], allora vale la seguente proposizione:

* ''Ogni [[derivata parziale]] <math>\ f_{x_{i}} </math> con <math>\ i = 1, . . .\ldots, n </math> è una funzione omogenea di grado (<math>k - 1)</math>''

Dimostrazione:

Derivando rispetto alle <math>\ x_{i} </math> entrambi i membri dell'identità seguente

: <math>\ f(\alpha x_{1}, . . .\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) ,</math>

si ottiene

: <math>\ \alpha f_{x_{i}}(\alpha x_{1}, . . .\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k}f_{x_{i}}(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

Dividendo entrambi i membri per &<math>\alpha;</math> si ottiene l'asserto

: <math>\ f_{x_{i}}(\alpha x_{1}, . . .\ldots, \alpha x_{n})= {\alpha}^{k-1}f_{x_{i}}(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

== Teorema di [[Eulero]] sulle funzioni omogenee ==

Sia <math>f:\colon A\rightarrow\ mathbb{R}</math> una [[funzione differenziabile]] su un cono [[insieme aperto|aperto]] <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alphak</math> su <math>A</math> [[se e solo se]] vale l'identità detta '''identità di Eulero''':

Il [[teorema]] afferma che

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i} = kf(x_{1}, . . ., x_{n}) </math>

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(x)}{\partial x_{i}} \ x_{i} = kfk \ f(x_{1}x), .\quad\forall .x .\in A, x_{n}) </math>

'''Dimostrazione:'''

il primo membro è esattamente il [[prodotto scalare]] <math>\langle \nabla f(x), x \rangle</math>.

'''=== Dimostrazione:''' ===

Applichiamo prima la sostituzione <math>\ {x'}_{i} = \alpha x_{i}</math> ottenendo

: <math>\ f({x'}_{1}, . . .\ldots, {x'}_{n})= {\alpha}^{k}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

Differenziando ora rispetto ad &<math>\alpha;</math>

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial {x'}_{i}} \frac{\partial {x'}_{i}}{\partial \alpha} = k{\alpha}^{k-1}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

Utilizziamo ora le derivate delle <math>\ {x'}_{i} </math>

: <math>\ \frac{\partial {x'}_{i}}{\partial \alpha} = x_{i} ,</math>

ottenendo

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial {x'}_{i}} x_{i} = k{\alpha}^{k-1}f(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) ,</math> vera per ogni <math>\ \alpha > 0 .</math>

In particolare ponendo <math>\ \alpha = 1 </math> si ottiene

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i} = kf(x_{1}, . . .\ldots, x_{n}) .</math>

=== Dimostrazione alternativa ===

----

Per <math>x \in A</math> consideriamo la funzione <math>F:]\colon (0, +\infty[) \rightarrow \mathbb{R}</math> condefinita legge:da

== Dimostrazione alternativa ==

:<math>F(t)=\frac {f(tx)} {t^\alphak}.</math>

'''Enunciato:'''

Sia <math>f:A\rightarrow\ R</math> una funzione differenziabile su un cono aperto <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alpha</math> su <math>A</math> se e solo se vale l'identità detta identità di Eulero:

Si vede chiaramente che la funzione <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alphak</math> se e solo se la funzione <math>F</math> è costante ede uguale ada <math>f(x)</math> all'interno di tutto il suo dominio di definizione. Da un notoDal [[Funzione_costante|teorema di Lagrange]] ciò avviene se e solo se la derivata prima di <math>F(xt)</math> è [[Funzione costante|identicamente nulla]] in tutto il suo dominio <math>](0, +\infty[)</math>. Per ipotesi <math>f</math> è differenziabile dunque vale il [[regola della catena|teorema di derivazione delle funzioni composte]] e applicando la formula si ottiene:

<math>\langle \nabla f(x), x \rangle = \alpha f(x) \forall x \in A</math>

'''

Dimostrazione:'''

:<math>F'(t) =\frac 1 {t^{2k}} \left[\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial {x_i}}(tx) x_i t^{k}-k t^{k-1} f(tx)\right]=

Per <math>x \in A</math> consideriamo la funzione <math>F:]0, \infty[ \rightarrow R</math> con legge:

\frac 1 {t^{k+1}}\left[\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial {x_i}}(tx) x_i t - k f(tx)\right].</math>

imponendoImponendo la condizione di funzione costante otteniamo:

<math>F(t)=\frac {f(tx)} {t^\alpha}</math>

:<math>\sum_{i=1}^n f_\frac{\partial f}{\partial {x_i}}(tx) x_i t = \alphak f(tx), \quad \forall x \in A, \forall t>0.</math>

Si vede chiaramente che la funzione <math>f</math> è omogenea di grado <math>\alpha</math> se e solo se la funzione <math>F</math> è costante ed uguale ad <math>f(x)</math> all'interno di tutto il suo dominio di definizione. Da un noto [[Funzione_costante|teorema]] ciò avviene se e solo la derivata prima di <math>F(x)</math> è identicamente nulla in tutto il suo dominio <math>]0, \infty[</math>.

Per ipotesi <math>f</math> è differenziabile dunque vale il [[teorema di derivazione delle funzioni composte]] ed applicando la formula si ottiene:

sfruttandoSfruttando la proprietà che <math>A</math> è un cono in <math>R^n</math> si ha che <math>x \in A </math> se e solo se <math>tx \in A, \forall t>0</math> dunque a patto di cambiare <math>x</math> con <math>tx</math> possiamo riscrivere la precedente condizione come:

<math>F'(t) =\frac 1 {t^{2\alpha}} [\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t^{\alpha}-\alpha t^{\alpha-1} f(tx)]=\frac 1 {t^{\alpha+1}}[\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t - \alpha f(tx)]</math>

:<math>\langlesum_{i=1}^n \nablafrac{\partial f}{\partial {x_i}}(x), x \ranglex_i = \alphak f(x), \quad \forall x \in A</math>

imponendo la condizione di funzione costante otteniamo:

che altro non è che l'identità di [[Eulero (solo che il prodotto scalare è esplicitato)]].

<math>\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t = \alpha f(tx) \forall x \in A, \forall t>0</math>

sfruttando la proprietà che <math>A</math> è un cono in <math>R^n</math> si ha che <math>x \in A </math> se e solo se <math>tx \in A, \forall t>0</math> dunque a patto di cambiare <math>x</math> con <math>tx</math> possiamo riscrivere la precedente condizione come:

<math>\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) x_i t = \alpha f(x) \forall x \in A</math>

che altro non è che l'identità di Eulero (solo che il prodotto scalare è esplicitato).

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Funzioni reali di più variabili reali]]

[[Categoria:Geometria proiettiva]]

[[Categoria:Economia matematica]]

[[de:Homogene Funktion]]

[[en:Homogeneous function]]

[[eo:Homogena funkcio]]

[[he:פונקציה הומוגנית]]

[[nl:Homogeniteit (analyse)]]

[[pl:Funkcja jednorodna]]

[[ru:Однородная функция]]