Controllo sliding mode: differenze tra le versioni

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Con il termine '''Slidingcontrollo Modesliding mode''' (o '''Slidingsliding Modemode''' o Control'''sliding mode control''') si fa riferimento ada un [[Controllore (strumento)|controllore]] a struttura variabile in retroazione di stato, che modifica il comportamento di un sistema non lineare forzandolo con un segnale di controllo in alta frequenza.

== Idea di base ==

Il controllo '''Slidingsliding Mode'mode'' nasce per essere robusto e versatile, per questo motivo viene spesso appellatoindicato come "controllo universale". L'idea alla base di questo tipo di controllore è semplice,: si controlla il sistema in modo che raggiunga una superficie, detta di ''sliding'', che rappresenta il riferimento del sistema di controllo. Per ottenere ciò il sistema viene forzato con un segnale di controllo discontinuo, segnale che spinge le traiettorie del sistema in direzione della superficie di ''sliding:'' le traiettorie del sistema oscillano intorno alla superficie stessa (''chattering'') e l'ampiezza delle oscillazioni è tanto più piccola quanto maggiore è la frequenza del segnale di controllo. La sintesi di un sistema di controllo che applica direttamente un'azione di tipo discontinuo apre nuovi orizzonti per il controllo di attuatori di tipo on-off che tipicamente sono controllati in [[modulazione di larghezza di impulso|PWM]].

Per ottenere ciò il sistema viene forzato con un segnale di controllo discontinuo, che spingerà le traiettorie del sistema in direzione della superficie di sliding, le traiettorie del sistema oscilleranno intorno alla superficie stessa (chattering) e l'ampiezza delle oscillazioni è tanto più piccola quanto maggiore è la frequenza del segnale di controllo.

La sintesi di un sistema di controllo che applica direttamente un'azione di tipo discontinuo apre nuovi orizzonti per il controllo di

attuatori di tipo ON/OFF che tipicamente sono controllati in [[PWM]].

== Schema di controllo ==

La progettazione dello schema di controllo può essere sintetizzata in due passi:

# Si sceglie una [[superficie]] (detta superficie di ''sliding)'' sullasu qualecui le traiettorie del sistema dovrannodevono convergere,. dunque ilIl comportamento del sistema in retroazione dipenderàdipende dallada questa scelta della superficie di sliding.

# Si sceglie una legge di controllo in funzione della superficie di ''sliding,''; questa presenta sempre un termine discontinuo e può presentare anche termini continui.

ConsideriamoSi consideri il sistema non lineare descritto da: <br>

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"

|-

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\dot{x}(t)=f(x,t)+B(x,t)u(t),\quad x\in R^n, B\in R^{n\times m}

</math>

| align="right" | <math>(A1)\,</math>

|}

Per garantire l'esistenza e l'unicità della soluzione è necessario supporre che le funczionifunzioni f(.,.) and B(.,.) siano [[continue]] e [[differenziabili]].

ConsideriamoSi consideri la superficie di ''sliding'' di dimensione (n-m) <br>

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"

|-

Riga 33 ⟶ 30:

\sigma(x)=[\sigma_1(x),\ldots,\sigma_m(x)]^T=0,\quad \sigma(x) \in R^{m}

</math>

| align="right" | <math>(A2)\,</math>

|}

== Fondamenti teorici ==

I teoremi riportatiche in seguitoseguono sono alla base del controllo '''Slidingsliding Modemode''' e permettono di dimostrare la stabilità del sistema di controllo e valutare il comportamento sulla superficie di ''sliding''.

=== TeoremaPrimo 1teorema: Stabilitàstabilità ===

Si consideri la [[funzione di LyapunovLjapunov]]

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"

|-

Riga 50 ⟶ 46:

V(\sigma(x))=\frac{1}{2}\sigma^T(x)\sigma(x)

</math>

| align="right" | <math>(A3)\,</math>

|}

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superificiesuperficie di slinding''sliding'' descritta dalle (A2), una condizione sufficiente perché il sistema sia stabile è la seguente:

:<math> \frac{dV(\sigma)}{dt}=\sigma^T\dot{\sigma}\;<0 </math>

in un [[intorno]] di &<math>\sigma; = 0</math>.

La stabilità è riferita alla superficie di ''sliding'', che rappresenta anche il riferimento per il sistema, dunque questo teorema permette di valutare se il sistema può raggiungere e permanere sulla superficie.

=== TeoremaSecondo 2teorema: Regioneregione di attrattività ===

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superificiesuperficie di slinding''sliding'' descritta dalle (A2), l'intorno di &<math>\sigma; = 0</math> per il qualecui il sistema risulta stabile è dato da:

Per il sistema descritto dalle (A1), e la superificie di slinding descritta dalle (A2), l'intorno di &sigma;=0 per il quale il sistema risulta stabile è dato da:

:<math> \sigma\;=\;\{x:\sigma^T(x)\dot{\sigma}(x)\;<0\;\forall t\}</math>

=== TeoremaTerzo 3teorema: Dinamicadinamica sulla superficie di ''sliding'' ===

Se la matrice :<math> \frac{\partial\sigma}{\partial{x}}B </math> è non singolare<ref>Ovvero se il [[Determinante (algebra)|determinante]] della matrice non è singolarenullo.</ref>, quando il sistema è su <math> \sigma = 0 </math> la dinamica sulla superficie di ''sliding'' può essere ottenuta sostituendo nelle (A1) il controllo <math>u </math>, (che verrà detto '''controllo equivalente'''), che garantisce <math> \dot\sigma=0 </math>.

Si può dimostrare che la dinamica sulla superficie di ''sliding'' è indipendente dal [[campo vettoriale]] del sistema e dadai disturbi agenti sul sistema,; questo aspetto rende lo schema di [[controllo robusto]] e sostanzialmente universale.

== Progettazione della legge di controllo ==

ConsideriamoSi consideri un sistema SISO<ref>Per sistema SISO si intende un sistema con una singola entrata (''in'') e una singola uscita (''out'').</ref> e si Definiamodefinisca la superificiesuperficie di ''sliding'' come:

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"

|-

Riga 78 ⟶ 75:

\sigma(x)\;=\;s_1x_1+s_2x_2+\ldots+s_{n-1}x_{n-1}+x_n

</math>

| align="right" | <math>(A4)\,</math>

|}

Derivando la funzione di LyapunovLjapunov otteniamosi ottiene:

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"

|-

Riga 89 ⟶ 86:

&=& \sigma(x)^T\frac{\partial{\sigma(x)}}{\partial{x}}(f(x,t)x+B(x,t)u) \end{matrix}

</math>

| align="right" | <math>(A5)\,</math>

|}

A questo punto, per il secondo teorema, è necessario scegliere un ingresso di controllo che garantisca la condizione di stabilità. (Teorema 2), unaUna possibile scelta dell'ingresso di controllo è la seguente:

:<math>u(x,t)=\left\{\begin{matrix} u^+(x), & \mbox{for}\;\sigma\;>0 \\ u^-(x),& \mbox{for}\;\sigma\;<0\end{matrix}\right.</math>

ovvero

:<math>u(x,t)= u(x)sign(\sigma)</math>

Si nota come questa legge di controllo presenti una discontinuità di prima specie nel punto 0 data dalla funzione segno. Questa discontinuità comporta un problema teorico e uno pratico. Il problema teorico è dato dalla soluzione dell'equazione differenziale perché condizione sufficiente, ma non necessaria per la soluzione dell'equazione differenziale è data dalla continuità della funzione. Il problema pratico è dato dal fatto che le ripetute discontinuità nello sforzo di controllo generano il cosiddetto "chattering" ovvero un comportamento a zig-zag dell'uscita del controllore che si ripercuote sullo stato del sistema. Per ovviare a questi problemi si utilizza la funzione tangente iperbolica al posto della funzione segno.

== References Note==

<references/>

*{{cite book

| last = Filippov

== Bibliografia ==

| first = A.F.

*{{Cita libro

| title = Differential Equations with Discontinuous Right-hand Sides

| publishercognome = KluwerFilippov

| date nome = 1988A.F.

| titletitolo = Differential Equations with Discontinuous Right-hand Sides

| pages =

| isbn editore = 9789027726995Kluwer

| lastdata = Filippov1988

| ISBN = 978-902772-699-5

}}

*{{citeCita booklibro

| lastcognome = [http://www.ece.osu.edu/~utkin/ Utkin]

| firstnome = V.I.

| titletitolo = "Sliding Modes in Control and Optimization"

| publishereditore = Springer-Verlag

| datedata = 1992

| pagesISBN = 978-0-387-53516-6

| isbn = 9780387535166

}}

*{{Cita libro

<references/>

| cognome = V.I. Utkin, J. Guldner, J. Shi

| firstnome = A.F.

| titolo = "Sliding Mode Control in Electromechanical Systems

| editore = Taylor & Francis

| pagesdata = 1999

| ISBN = 0-7484-0116-4

}}

{{Portale|Controlli automatici}}

[[Categoria:Teoria del controllo]]

[[Category:Ingegneria dell'automazione]]