Decadimento beta: differenze tra le versioni

Versione delle 21:47, 7 ott 2008

Versione attuale delle 02:00, 12 ott 2025

(135 versioni intermedie di 77 utenti non mostrate)

Riga 1:

In [[fisica nucleare]], il '''decadimento ''β''''' è un tipo di [[decadimento radioattivo]], ovvero una trasformazione spontanea attraverso la quale un [[elemento chimico]] ([[Radioattività|radioattivo]]) si trasforma in un altro elemento più stabile, con l'emissione di particelle elettricamente cariche ([[Elettrone|elettroni]] o [[Positrone|positroni]]) e particelle neutre ([[Neutrino|neutrini]] o [[Antineutrino|antineutrini]]), ma conservando il [[numero di massa]].<ref>{{Cita|Bendiscioli}} p.2</ref> Queste caratteristiche differenziano il decadimento beta da altri tipi di decadimento. Il processo coinvolge le [[interazione debole|interazioni nucleari deboli]] alle quali si applicano le [[Legge di conservazione|leggi di conservazione]] della [[E=mc²|massa/energia]], della [[Legge di conservazione della quantità di moto|quantità di moto]] e del [[momento angolare]], ma sono implicate anche in altri tipi di decadimento.<ref>{{Cita libro|nome=David J.|cognome=Griffiths|titolo=Introduction to elementary particles|edizione=2., rev. ed., 5. reprint|collana=Physics textbook|data=2011|editore=Wiley-VCH|pp=59-60|ISBN=978-3-527-40601-2}}</ref>

<div style="float:right; width:16em; background:transparent;">{{voce complessa|Spettro|Interazione debole|Sezione d'urto|Scattering}}<br clear=all />{{processinucleari}}</div>

L'energia di decadimento, che normalmente è molto più grande rispetto a quella delle [[Reazione chimica|reazioni chimiche]], viene spartita principalmente tra le [[particelle subatomiche]] emesse, che pertanto risultano [[radiazione ionizzante|ionizzanti]] nei confronti della materia da esse impattata.

Il '''decadimento ''&beta;''''' è uno dei processi per cui [[nucleo atomico|nuclei]] instabili (e dunque [[radioattività|radioattivi]]) si trasformano in altri nuclei di atomi che possono a loro volta essere radioattivi oppure stabili. In natura i nuclei sono all'interno degli [[atomo|atomi]] e questo processo causa la trasformazione dell'intero atomo da un [[elemento chimico]] ad un altro.

== Storia ==

Più precisamente, il '''decadimento beta''' può avvenire in due modi: il '''beta meno''' tramite la trasformazione di un [[neutrone]] in una coppia [[protone]]-[[elettrone]] più un [[neutrino|antineutrino elettronico]]. Il protone resta nel [[nucleo atomico]], mentre le altre due particelle vengono espulse (emesse);

Negli anni successivi alla scoperta della [[radioattività]], fu osservato un diverso comportamento delle [[particella (fisica)|particelle]] emesse dalle sostanze radioattive durante il decadimento. In molti casi, gli strumenti di rilevazione mostravano la presenza di tracce simili a scie: quando era applicato un [[campo magnetico]], le tracce provenienti da alcune sostanze radioattive avevano la curvatura rivolta verso lati opposti. Ai raggi associati alle tracce deviate in modo opposto fu convenzionalmente dato il nome di [[raggi alfa]] (oggi si utilizza più comunemente il termine [[radiazione alfa]] parlando delle particelle emesse in questo caso e dei loro effetti) e di [[raggi beta]] (oggi [[radiazione beta]]); i rimanenti presero il nome di [[raggi gamma]] (oggi [[radiazione gamma]])<ref>{{cita libro|autore= Gianpaolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori|titolo=L'evoluzione della Fisica (Volume 3)|editore=Paravia|anno=2006|ISBN=88-395-1611-5}}p.524</ref>.

il '''beta più''' tramite la trasformazione di un [[protone]] in una coppia [[neutrone]]-[[positrone]] più un [[neutrino elettronico]] questo tipo di decadimento può avvenire solo o dentro ad alcuni nuclei oppure, molto di rado, libero e solo in presenza di sufficiente energia avendo il protone una massa inferiore a quella del neutrone. Esempio di questo è il decadimento dell'[[isotopo]] [[cobalto]]-60 (instabile) nell'isotopo [[nichel]]-60 (stabile), che segue questo schema:

:<math>{}^{60}_{27}\hbox{Co}\rightarrow {}^{60}_{28}\hbox{Ni} + e^- + \bar{\nu}_e</math>

Dato che i [[neutrino|neutrini]] interagiscono debolmente con la materia, quando [[Marie Curie]] osservò per la prima volta questo tipo di decadimento lo associò alla sola emissione di un [[elettrone]]; fu [[Enrico Fermi]] che, seguendo un'idea di [[Wolfgang Pauli]], introdusse l'idea del [[neutrino]] per risolvere un'apparente contraddizione fra i risultati sperimentali ed il principio di conservazione dell'[[energia]].

La natura delle particelle emesse e dei decadimenti è radicalmente diversa nei tre casi. La scoperta dei processi che avvengono all'interno del nucleo e danno luogo a questi decadimenti ha richiesto notevoli ricerche agli inizi del [[XX secolo]]. Queste ricerche hanno portato al rilievo che la scia emessa nel caso dei raggi beta è dovuta all'emissione di un [[elettrone]]. Il motivo per cui i tre tipi di raggi sono deviati in modo diverso dipende dalla diversa [[carica elettrica]] che hanno le particelle emesse: positive nel caso decadimento alfa ([[Particella α|particelle alfa]]) e <math>\beta^+</math> ([[positrone|positroni]]), negative nel caso del decadimento <math>\beta^-</math> (elettroni), e neutre nel caso del [[decadimento gamma]] (se si tratta di [[fotoni]]).

==Cenni storici==

Negli anni successivi alla scoperta della radioattività è stato osservato un diverso comportamento delle particelle emesse dalle sostanze radioattive durante il decadimento. In molti casi gli strumenti di rivelazione mostravano la presenza di tracce simili a scie: quando era applicato un campo magnetico, le tracce provenienti da alcune sostanze radioattive avevano la curvatura rivolta verso un lato, altre avevano una curvatura rivolta nel verso opposto alle prime. Ai raggi associati alle tracce deviate da una parte è stato convenzionalmente dato il nome di [[raggi alfa]] (oggi si utilizza più comunemente il termine [[radiazione alfa]] parlando delle particelle emesse in questo caso e dei loro effetti), a quelli le cui tracce erano deviate dall'altra parte quello di [[raggi beta]] (oggi [[radiazione beta]]); ai rimanenti, il nome di [[raggi gamma]] (oggi [[radiazione gamma]]). La natura delle particelle emesse e dei decadimenti è radicalmente diversa nei tre casi. La scoperta dei processi che avvengono all'interno del nucleo per dar luogo a questi decadimenti ha richiesto notevoli ricerche agli inizi del [[ventesimo secolo]]. Queste ricerche hanno portato alla conoscenza del fatto che la scia emessa nel caso dei raggi beta è dovuta al fatto che viene emesso un elettrone nel corso del decadimento beta. Il motivo per cui i tre tipi di raggi sono deviati in modo diverso dipende dalla diversa carica elettrica che hanno le perticelle emesse: positive (si tratta di particelle alfa) nel caso decadimento alfa, negative (elettroni) nel caso del decadimento beta e neutro (si tratta di fotoni) nel caso del decadimento gamma.

LoIl studioprimo sulinquadramento teorico del decadimento Beta<math>\beta</math> fu realizzato da [[Enrico Fermi]] che nel 1933 pubblicò la [[Interazione di Fermi|sua teoria del decadimento beta]].<ref>{{Cita|Bendiscioli}} p.172</ref>

Oggi iil decadimentidecadimento (e lela radiazioni)radiazione vengono classificati come beta (&<math>\beta;</math>) non più in base alla carica negativa della particella emessa, bensì in base al particolare tipo di processo nucleare che avviene tramite [[interazione debole]]. Normalmente, il [[neutrone]] coinvolto si trova in un nucleo di un [[atomo]] e quello che si verifica, oltre all'emissione delle due particelle, è che l'atomo si trasforma in quello di un altro elemento, ovvero in quello con [[numero atomico]] (Z) successivo. La somma dei protoni e dei neutroni (chiamata [[numero di massa]] A) all'interno del nucleo rimane invariata. A questo decadimento ci si riferisce con il nome di decadimento <math>\beta^-</math> (si parla di ''meno'' perché l'elettrone emesso ha [[carica negativa]]).

Viene osservato anche il decadimento:

Normalmente il neutrone coinvolto si trova in un nucleo di un [[atomo]] e quello che si verifica, oltre alla emissione delle due particelle, è che l'atomo si trasforma in quello di un altro elemento (in quello con numero atomico (Z) successivo). La somma dei protoni e dei neutroni (A) all'interno del nucleo rimane invariata.

:<math>p \rightarrow n + e^+ + {\nu}_e</math>

A questo decadimento, per distinguerlo con quello descritto appena qui sotto, ci si riferisce con il nome di decadimento beta meno (&beta;^-) (si parla di meno perché l'elettrone emesso ha carica negativa)

in cui un [[protone]] ''legato'' si trasforma in un neutrone legato, un positrone e un [[neutrino]]. Il positrone, che è l'[[antiparticella]] dell'elettrone, ha carica positiva; pertanto, questo decadimento viene indicato con il termine <math>\beta^+</math>.

Tuttavia viene osservato anche il seguente decadimento:

È importante sottolineare che il decadimento <math>\beta^+</math> può avvenire, per motivi cinematici di [[conservazione dell'energia]], solo per protoni legati; mai, quindi, per protoni liberi.

:<math>p \rightarrow n + e^+ + \nu</math>

== Descrizione ==

in cui un protone legato si trasforma in un neutrone legato, un [[positrone]] ed un neutrino. Il positrone, che è l'antiparticella dell'elettrone ha carica positiva, pertanto questo decadimento viene indicato con il termine beta più (&beta;⁺).

ÈSecondo importantele sottolineareattuali cheteorie accettate, il decadimento <math>\beta più</math> può avvenire, per motivi cinematici (conservazione dell'energia), solo perin nucleonidue legati.modi:

===Decadimento β negativo===

Un altro processo correlato, anche se non si tratta di decadimento, ma di cattura è

È un decadimento tipico dei nuclei aventi un eccesso di neutroni rispetto ai loro [[isobaro|isobari]] stabili; il nucleo si trasforma in un suo isobaro col numero atomico successivo, con contestuale emissione di un [[elettrone]] e di un [[antineutrino elettronico]] secondo il processo così schematizzabile:<ref name="ReferenceA">{{Cita|Bendiscioli}} p.157</ref>

:<math>A(Z,N)\;\to\;A(Z+1,N-1)+e^-+\bar{\nu}_e.</math>

====Condizioni energetiche====

:<math>p + e^- \rightarrow n + \nu</math>

Per il principio di conservazione dell'energia applicato a questo tipo di decadimento, è possibile scrivere la seguente relazione<ref name="ReferenceB">{{Cita|Bendiscioli}} p.163</ref>

:<math>M(A,Z)=M(A,Z+1)+T_A+m_{e^-}+T_{e^-}+E_{\bar{\nu}_e},</math>

dove:

* <math>M(A,Z)</math> e <math>M(A,Z+1)</math> sono le masse rispettivamente del nucleo padre e del nucleo figlio

* <math>T_A</math> e <math>T_e</math> sono le [[Energia cinetica|energie cinetiche]] del nucleo e dell'elettrone

* <math>E_{\bar{\nu}_e}</math> è l'energia dell'[[antineutrino]] emesso.

Spostando a sinistra dell'equazione le masse e tenendo a destra le energie, è possibile ricavare la condizione energetica a cui avviene il decadimento <math>\beta^-</math>:

:<math>Q_{\beta^-}=M(A,Z)-M(A,Z+1)-m_{e^-}=T_A+T_{e^-}+E_{\bar{\nu}_e}>0</math>

in cui <math>Q_{\beta^-}</math> è l'energia liberata.

Pertanto, affinché avvenga il decadimento, l'energia liberata deve essere positiva. Ciò per esempio accade nel decadimento del neutrone: un neutrone, libero o meno, decade in una coppia protone-elettrone più un antineutrino elettronico secondo la relazione:

: <math>n\;\to\;p^++e^-+\bar{\nu}_e</math>

chiamato [[cattura elettronica]]. Per certi versi quest'ultimo processo è del tutto simile a quello del decadimento beta più.

che è possibile da un punto di vista energetico poiché <math>Q_{\beta^-}=m_n-m_p-m_{e^-}=782 keV>0.</math><ref name="ReferenceC">{{Cita|Bendiscioli}} p.164</ref>

Il protone resta nel [[nucleo atomico]], mentre le altre due particelle vengono emesse. Un esempio di decadimento <math>\beta^-</math> è il decadimento del [[isotopo|radionuclide]] [[cobalto-60]] nel nuclide [[nichel-60]], che segue questo schema:

:<math>{}^{60}_{27}\hbox{Co}\rightarrow {}^{60}_{28}\hbox{Ni}^+ + e^- + \bar{\nu}_e.</math>

Nel seguito per semplicità si parlerà solo del decadimento beta meno (che è quello molto più frequente rispetto agli altri, a tal punto che spesso ci riferisce a questo con il solo nome di decadimento beta). Tuttavia gli stessi ragionamenti, con le dovute modifiche, valgono anche nel caso del decadimento beta più e in alcuni casi anche per la cattura elettronica.

===Decadimento β positivo===

==Cenni teorici==

È un decadimento tipico dei nuclei aventi un difetto di neutroni rispetto ai loro [[isobaro|isobari]] stabili; il nucleo si trasforma in un suo isobaro col numero atomico precedente, con contestuale emissione di un [[positrone]] e di un [[neutrino elettronico]] secondo il processo così schematizzabile:<ref name="ReferenceA"/>

Il problema è abbastanza complesso e si cercherà di trattarlo in maniera qualitativa. Il decadimento che si osserva è quello del [[neutrone]], che apparentemente decade in un [[protone]] ed in un [[elettrone]]:

:<math>A(Z,N)\;\to\;A(Z-1,N+1)+e^++{\nu}_e.</math>

==== Condizioni energetiche ====

:''n'' &rarr; ''p'' + ''e''^-

Sempre applicando il principio di conservazione dell'energia alle masse ed energie in gioco nel decadimento, è possibile scrivere che<ref name="ReferenceB"/>

:<math>M(A,Z)=M(A,Z-1)+T_A+m_{e^+}+T_{e^+}+E_{{\nu}_e}</math>

dove:

* <math>M(A,Z)</math> e <math>M(A,Z-1)</math> sono le masse rispettivamente del nucleo padre e del nucleo figlio

* <math>T_A</math> e <math>T_{e^+}</math> sono le [[Energia cinetica|energie cinetiche]] del nucleo e del positrone

* <math>E_{{\nu}_e}</math> è l'energia del neutrino emesso.

Analogamente al caso <math>\beta^-</math>, spostando a sinistra le masse e tenendo a destra le energie è possibile scrivere la condizione energetica a cui avviene il decadimento <math>\beta^+</math>:

In questo caso, lo [[spettro]] dell'elettrone uscente dovrebbe essere una riga, poiché

:<math>Q_{\beta^+}=M(A,Z)-M(A,Z-1)-m_{e^+}=T_A+T_{e^+}+E_{{\nu}_e}>0,</math>

in cui <math>Q_{\beta^+}</math> è l'energia liberata. Anche in questo caso il decadimento è possibile quando l'energia liberata ha un bilancio positivo.

Il protone ''libero'' è una particella stabile e non può decadere secondo:

:''m_ec''² (0,5 [[elettronvolt|MeV]]) « ''m_pc''² (938,3 MeV) circa ''m_nc''² (939,6 MeV)

: <math>p^+\;\to\;n+e^++{\nu}_e</math>

poiché : <math>Q_{\beta^+}=m_p-m_n-m_{e^+}=-1,81MeV<0.</math><ref name="ReferenceC"/>

Tuttavia secondo alcune teorie, in attesa di verifica sperimentale, il protone dovrebbe decadere, anche se in un arco di tempo pari a <math>10^{33}</math> anni, ben più dell'età attuale dell'[[universo]]. Un esempio di decadimento <math>\beta^+</math> è il decadimento del [[isotopo|radionuclide]] [[fluoro-18]] nel nuclide stabile [[ossigeno]]-18, che segue questo schema:

Supponendo che il neutrone sia fermo, si può ragionevolmente ritenere che anche il protone creato sia immobile, quindi l'unica particella a muoversi è l'elettrone. Quindi, per la [[legge di conservazione dell'energia|conservazione dell'energia]] si ha:

:<math>{}^{18}_{9}\hbox{F}\rightarrow {}^{18}_{8}\hbox{O}^- + e^+ + {\nu}_e.</math>

:''m_nc''² = ''E_p'' + ''E_e''

===Cattura elettronica===

È una [[reazione nucleare]], anch'essa governata dall'interazione debole, a seguito della quale un protone del nucleo di un atomo viene trasformato in neutrone, con emissione di un neutrino,<ref>{{Cita web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Nuclear/radact2.html|titolo=Radioactivity|sito=hyperphysics.phy-astr.gsu.edu|accesso=11 giugno 2023}}</ref> come avviene nel decadimento beta positivo: per questo, il processo viene spesso trattato insieme ai decadimenti beta. La trasformazione del protone in neutrone viene resa possibile dalla cattura da parte del nucleo di un elettrone dell'atomo di cui fa parte e il neutrino è l'unica particella subatomica emessa e quindi è monoenergetica; la presenza nell'atomo di almeno un elettrone è condizione necessaria (ma non sufficiente): un atomo soggetto a cattura elettronica non può decadere in questo modo se privato di tutti i suoi elettroni,<ref>{{Cita web|url=https://homework.study.com/explanation/are-electron-capture-and-beta-decay-the-same.html#:~:text=No,%20electron%20capture%20and%20beta,a%20proton%20to%20a%20neutron.|titolo=|sito=homework.study.com|accesso=10 giugno 2023}}</ref> cosa che invece non impedirebbe gli altri decadimenti beta. Il processo è così schematizzabile:<ref name="ReferenceA"/>

:<math>A(Z,N)+e^-\;\to\;A(Z-1,N+1)+{\nu}_e.</math>

Nonostante non sia un processo di decadimento, esso è un processo di stabilizzazione degli atomi più favorito rispetto al decadimento <math>\beta^+</math> e il nuclide che viene prodotto è lo stesso.

====Condizioni energetiche====

Applicando il principio di conservazione dell'energia alle masse ed energie in gioco nel decadimento, è possibile scrivere che<ref name="ReferenceB"/>

:<math>M(A,Z)+m_e=M(A,Z-1)+T_A+E_{{\nu}_e}</math>

dove:

* <math>M(A,Z)</math> e <math>M(A,Z-1)</math> sono le masse rispettivamente del nucleo padre e del nucleo figlio

* <math>T_A</math> è l'energia cinetica del nucleo

* <math>E_{{\nu}_e}</math> è l'energia del neutrino emesso.

Spostando, come nei casi precedenti, le masse a sinistra e le energie a destra, si ottiene la relazione: <math>Q_{CE}=M(A,Z)-M(A,Z-1)+m_e=Q_{\beta^+}+2m_e=T_A+E_{{\nu}_e}>0.</math>

Questo vuol dire che la [[cattura elettronica]] è favorita, rispetto al decadimento β⁺, dell'equivalente energetico di 2 masse elettroniche, cioè di 1022&nbsp;keV.

Nel seguito, si parlerà solo del decadimento <math>\beta^-</math>, il più frequente, al punto che spesso ci riferisce a esso con il solo nome di decadimento <math>\beta</math>. Tuttavia, gli stessi ragionamenti, con le dovute modifiche, valgono anche nel caso del decadimento <math>\beta^+</math> e, in alcuni casi, anche per la cattura elettronica. Dato che i [[neutrino|neutrini]] interagiscono debolmente con la materia, quando [[Marie Curie]] osservò per la prima volta questo tipo di decadimento, lo associò alla sola emissione di un [[elettrone]]; fu [[Enrico Fermi]] che, seguendo un'idea di [[Wolfgang Pauli]], che tentava di risolvere un'apparente contraddizione fra i risultati sperimentali e il principio di conservazione dell'[[energia]], inglobò nella teoria il neutrino.

== La legge di conservazione dell'energia ==

Il problema è abbastanza complesso e si cercherà di trattarlo in maniera qualitativa.

Il decadimento che si osserva è quello del neutrone, che apparentemente dovrebbe decadere in un protone e in un [[elettrone]]<ref>{{Cita|Bendiscioli}} p.168</ref>:

: <math>n\;\to\;p+e^-</math>

In questo caso, lo [[spettroscopia|spettro]] dell'elettrone uscente dovrebbe essere una riga, poiché:

:''m_ec''² (0,5 [[elettronvolt|MeV]]) « ''m_pc''² (938,3 [[elettronvolt|MeV]]) ≈ ''m_nc''² (939,6 MeV)

Supponendo che il neutrone sia fermo, si può ragionevolmente ritenere che anche il protone creato sia immobile; perciò, l'unica particella a muoversi è l'elettrone. Quindi, per la [[legge di conservazione dell'energia|conservazione dell'energia]], si ha:

:<math>m_nc^2=E_p+E_e</math>

con

Riga 52 ⟶ 107:

:<math>E_e = \sqrt {m_e^2 c^4 + p_e^2 c^2}</math>

Trascurando il rinculo del protone, si ha:

:<math>m_n c^2 \sim m_p c^2 + \sqrt {m_e^2 c^4 + p_e^2 c^2}</math>

Riga 58 ⟶ 113:

dove l'unica incognita è l'[[quantità di moto|impulso]] dell'elettrone e quindi lo spettro risulta una riga (in pratica si sarebbe dovuto osservare un picco).

Sperimentalmente, però, si osserva qualcosa di diverso: uno spettro completo che parte da [[zero0 (numero)|0]] per salire, fino a raggiungere un massimo che dipende dall'energia liberata dal decadimento (e che può andare dai <math>2,6keV</math> del <math>{}^{187}_{75}\hbox{Re}</math> ai <math>20MeV</math>) e quindi ritornare ad annullarsi in corrispondenza di un valore massimo che è circa 5 volte e mezza la [[massa (fisica)|massa]] dell'elettrone<ref name="ReferenceA"/>.

[[ImmagineFile:decadimento beta (spettro).jpg|thumb|left|300pxupright=1.4|Spettro del decadimento beta]]

Questo risultato portò enorme scompiglio nella [[comunità scientifica,]]. e ilIl primo a trovaredare una motivazione fu [[Niels Bohr|Bohr]], che suggerì la presenza di una violazione nella conservazione dell'[[energia]]. In realtà sia Fermi, sia Pauli supponevanoritenevano che il decadimento non fosse a [[due]] corpi, come osservato, ma a [[tre]]:; supponevano infatti che ovverotra i prodotti della reazione ci fosse una terza particella, piccolissima, di [[carica elettrica|carica neutra]] e non rilevabile con le strumentazioni usuali: il [[neutrino]].

La reazione, allora, deve essere corretta nel modo seguente:

Riga 74 ⟶ 129:

dove si trascura la massa del neutrino.

Appare evidente come, in questo caso, le variabili siano due e viene pertanto ovviamente spiegato lo spettro osservato come di un processo a tre e non a due corpi. Tra l'altro, ponendo nullo l'impulso del neutrino, si riesce a calcolare l'impulso massimo dell'elettrone, che risulta consistentecoerente con il valore sperimentalmente trovato.

Il decadimento ''&<math>\beta;''</math> è esotermico: avviene, cioè, spontaneamente, senza necessità di energia esterna per attivarsi. La [[vita media]] del neutrone è ''&tau;<submath>n{\tau}_n=887s</submath>''=887 [[secondo|s]], e, ovviamente,questo dato si riferisce al neutrone ''libero'': esso, infatti, all'interno del [[nucleo atomico]], èil neutrone può essere del assolutamentetutto stabile.

== Stima della rapidità di decadimento e della costante d'accoppiamento debole ==

<ref>{{Cita|Bendiscioli}} p.172-183</ref>

Il numero di elettroni che si misurano nel decadimento ''&<math>\beta;''</math> può essere teoricamente stimato calcolando la [[rapidità]] del decadimento stesso. Si parte dalla '''[[regola d'oro di Fermi]]'''<ref>{{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=Springer|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1}}p.42</ref>:

:<math>w_{i \rightarrow f} = \frac {2\pi}{\hbar} \left | \langle i | V | f \rangle \right |^2 \delta \left ( E_f - E_i \right )</math>

dove ''E<submath>fE_f</submath>'' è l'[[energia]] finale ed ''E<submath>iE_i</submath>'' quella iniziale, mentre ''<smath>h\hbar</smath>'' è la [[costante di Planck ridotta]].

L'elemento di matrice per l'interazione debole, posto ''g<submath>&g_{\beta;}</submath>'' il potenziale, è:

:<math>\begin{align}

:<math>\langle i | V | f \rangle \cong g_\beta \int_V \operatorname d^3 r \bar {u}_n (r) u_p (r) \frac {\operatorname e^{i \frac {p_e \cdot r}{\hbar}}}{L^{\frac {3}{2}}} \frac {\operatorname e^{i \frac {p_\nu \cdot r}{\hbar}}}{L^{\frac {3}{2}}}</math>

:::<math>\conglangle i | V | f \fracrangle &\cong {g_\beta}{L^3} \int_V \operatorname d^3 r \bar {u}_n (r) u_p (r) \congfrac {\operatorname e^{i \frac {g_p_e \betacdot r}{\hbar}}}{L^{\frac {3}</math>{2}}} \frac {\operatorname e^{i \frac {p_\nu \cdot r}{\hbar}}}{L^{\frac {3}{2}}}\\

&\cong \frac {g_\beta}{L^3} \int_V \operatorname d^3 r \bar {u}_n u_p\\

&\cong \frac {g_\beta}{L^3}

\end{align}</math>

e questo perché, poiché protoni e neutroni sono praticamente immobili e lo spazio a loro disposizione è dell'ordine del [[femtometro|fermi]], è necessario che ''<math>r''</math> sia inferiore alla [[lunghezza d'onda]] [[effetto Compton|Compton]] del protone:

:<math>r < \frac {\hbar}{m_p c}</math>

e poiché l'impulso dell'elettrone è di molto inferiore alla massa del protone in energia (''m_pc^2'') è facile vedere che

:<math>\frac {p_e r}{\hbar} «\ll 1</math>

Ora, il modo migliore per stimare la costante d'accoppiamento debole, è confrontarla con quella [[elettromagnetismo|elettromagnetica]], e quindi si scriverà:

Riga 103 ⟶ 162:

:<math>g_\beta = f_\beta^2 \left ( \frac {\hbar}{m_p c} \right )^2</math>

Poiché il numero di stati finali è:

:<math>\frac {V}{(2\pi\hbar)^3} \operatorname d^3 p_e \frac {V}{(2\pi\hbar)^3} \operatorname d^3 p_\nu = \frac {V^2}{c (2\pi\hbar)^6} p_e^2 \operatorname d p_e \operatorname d \Omega_e p_\nu^2 \operatorname d E_f \operatorname \Omega_\nu</math>

dove ''<math>c''</math> è la [[velocità della luce]] e ''&Omega;<submath>e\Omega_e</submath>'' e ''&Omega;<submath>&\Omega_\nu;</submath>'' sono gli angoli solidi rispettivamente di elettrone e neutrino uscenti.

Poiché la rapidità è definita dall'integrale della ''w_fi'' sugli stati finali

Riga 123 ⟶ 182:

e la funzione trovata è compatibile con lo spettro sperimentale rilevato (il calcolo, però, non è perfetto in quanto si sarebbe dovuto integrare anche sull'[[angolo solido]], ma per questo studio qualitativo si è interessati solo a stime di ordine di grandezza).

Alla fine, comunque, la rapidità di transizione sarà una costante moltiplicata per l'integrale del prodotto degli impulsi al quadrato di elettrone e protone, valutabile come una potenza [[cinque|5]] della massa dell'elettrone:

:<math>\int \operatorname d p_e p_e^2 p_\nu^2 = \left (m_e c \right )^5</math>

Riga 131 ⟶ 190:

:<math>\Gamma = \frac {1} {(2\pi)^3} \left ( \frac {f_\beta}{\hbar c} \right )^2 \left ( \frac {m_p c^2}{\hbar} \right )^2 \left ( \frac {m_e}{m_p} \right )^5</math>

In questa equazione si conosce tutto, a parte ''f&<math>f_{\beta;''}</math>, la '''[[Costanti di accoppiamento|costante d'accoppiamento]] debole''' (la rapidità, infatti, è l'inverso della vita media) e sostituendo i valori di tutte le costanti si ottiene:

:<math>\frac {f_\beta}{\hbar c} = 10^{-57}</math>

che è cinque [[tre]]Ordine di grandezza|ordini di grandezza]] inferiore rispetto a quella elettromagnetica:

:<math>\frac {e^2}{\hbar c} \cong 10^{-2}</math>.

==Note==

{{Portale|fisica}}

<references/>

[[Categoria:Radioattività]]

== Bibliografia ==

* {{Cita libro|autore=Giorgio Bendiscioli|titolo=Fenomeni Radioattivi|editore=Springer|anno=2013|ISBN=978-88-470-0803-8|cid=Bendiscioli}}

* {{cita libro|autore=Nicola Manini|titolo=Introduction to the Physics of Matter|editore=Springer|anno=2014|ISBN=978-3-319-14381-1}}

== Voci correlate ==

* [[Doppio decadimento beta]]

* [[Decadimento radioattivo]]

* [[Decadimento alfa]]

* [[Decadimento gamma]]

* [[Radioattività]]

*[[Esperimento di Wu]], che ha dimostrato la violazione della parità dell'[[interazione debole]]

==Altri progetti==

[[ast:Emisión beta]]

{{interprogetto|preposizione=sul}}

[[ca:Emissió beta]]

[[da:Betahenfald]]

==Collegamenti esterni==

[[el:Διάσπαση βήτα]]

* {{cita web|url=http://goldbook.iupac.org/B00572.html|titolo=IUPAC Gold Book, "β-decay"|lingua=en}}

[[en:Beta decay]]

[[es:Desintegración beta]]

{{processinucleari}}

[[fa:واپاشی بتا]]

{{Controllo di autorità}}

[[fi:Beetahajoaminen]]

{{Portale|fisica}}

[[fr:Radioactivité β]]

[[he:קרינת בטא]]

[[Categoria:Radioattività]]

[[hu:Béta-bomlás]]

[[id:Peluruhan beta]]

[[is:Betasundrun]]

[[ja:ベータ崩壊]]

[[kk:Бета-ыдырау]]

[[ko:베타 붕괴]]

[[lt:Beta skilimas]]

[[nl:Betaverval]]

[[no:Betahenfall]]

[[pl:Rozpad beta]]

[[pt:Emissão beta]]

[[ru:Бета-распад]]

[[sk:Beta rozpad]]

[[sl:Razpad beta]]

[[sv:Betasönderfall]]

[[ta:பீட்டா சிதைவு]]

[[tr:Beta çözünmesi]]

[[ur:بیٹا تنزل]]

[[zh:Β衰变]]