Operatore differenziale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[Operatore (matematica)|operatore]] definito come una funzione dell'operatore di [[derivata|derivazione]].

Nel seguito si trattano operatori differenziali [[trasformazione lineare|lineari]], che sono i maggiormente diffusi, sebbene esistano anche diversi operatori differenziali non lineari.

Il più semplice operatore differenziale è la [[derivata]]. Una notazione comune è <math>{d \over dx}</math> o <math>D_x</math>, mentre quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata si usa solo <math>D</math>. Per le derivate successive si usa rispettivamente <math>d^n \over dx^n</math>, <math>D^n</math> e <math>D^n_x</math>. La notazione <math>D</math> è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma <math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math> nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]].

In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[operatore]] [[trasformazione lineare|lineare]] definito come una funzione dell'operatore [[derivata|differenziazione]].

==Operatori differenziali lineari==

==Notazioni==

Un operatore differenziale lineare è un particolare operatore differenziale che agisce come una [[trasformazione lineare]], cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono valide particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:

: <math>{dA = \oversum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n},</math>

che applicato a un elemento dello [[spazio funzionale]] <math>f(x)</math>:

: <math>D,\,</math> quando la variabile di differenziazione è chiara, e

:<math>A f(x)= \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n f(x)}{dx^n}.</math>

: <math>D_x,\,</math> quando la variabile è dichiarata esplicitamente.

In generale un operatore è rappresentato da una [[matrice quadrata]] e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice.

Per le derivate successive

===Proprietà===

: <math>d^n \over dx^n</math>

Le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali:

:<math>(A+B) f = Af + Bf \qquad (A \cdot B) f = A(Bf) \qquad (AB)C = A(BC) \qquad A(B+C) = AB + AC.</math>

: <math>D^n\,</math>

Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:

: <math>D^n_x.\,</math>

:<math>AB \ne BA.</math>

La notazione D è accreditata a [[Oliver Heaviside]], che considerava gli operatori differenziali della forma

Definendo [[commutatore (matematica)|commutatore]]:

:<math>\sum_{k=0}^n c_k D^k</math>

:<math>AB - BA = [A,B]</math>

nello studio delle [[equazione differenziale|equazioni differenziali]].

Unosi deipuò piùdire frequentiche due operatori differenziali è ilcommutano [[laplacianose e solo se]],: definito come<math>[A,B]=0</math>.

===Polinomi===

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.</math>

Ogni [[polinomio]] in <math>D</math> con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola:

:<math>(D_1 \circ D_2)(f) = D_1 [D_2(f)].</math>

Un altro operatore differenziale è l'operatore &Theta;, definito come

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore <math>D_2</math> deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore <math>D_1</math> richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre, questo anello non è [[commutativo]] poiché un operatore <math>gD</math> non è in generale uguale a <math>Dg</math>. Per esempio, si veda la relazione in [[meccanica quantistica]]:

:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

:<math>Dx -xD = 1.</math>

==Aggiunto di un operatore==

Il sottoanello degli operatori che sono polinomi in <math>D</math> con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

===Potenza e funzione di operatore===

Definiamo ''potenza ennesima'' di un operatore, l'operatore:

:<math>A^n=\underbrace{ A\cdot A \cdots A }_{n}.</math>

Se la funzione <math>F(t)</math> è sviluppabile in [[serie di potenze]] di Mc Laurin:

:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n,</math>

allora si definisce la funzione <math>F(A)</math> come:

:<math>F(A)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_n A^n.</math>

==Operatore aggiunto==

{{vedi anche|Operatore aggiunto}}

Dato un operatore lineare differenziale:

: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>

l' '''aggiunto''' di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che

: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle</math>

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare.

l'aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che:

Nello spazio funzionale delle funzioni a [[quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx. </math>

Se a questo aggiungiamo la condizione che ''f'' e ''g'' tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

: <math>T^*\langle u,Tv \rangle = \sum_{k=0}^nlangle (-1)T^k*u, D^kv [a_k(x)u]\rangle,</math>.

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di '''operatore aggiunto formale'''.

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizione di prodotto scalare. Nello spazio funzionale delle [[funzione a quadrato sommabile|funzioni a quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

Un operatore '''auto-aggiunto''' è un operatore che è aggiunto di se stesso.

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx .</math>

L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale autoaggiunto. L'operatore differenziale del secondo ordine ''L'' può essere scritto nella forma:

Se a questo aggiungiamo la condizione che <math>f</math> e <math>g</math> tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;\!</math>

: <math>T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u].</math>

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di ''operatore aggiunto formale''.

: <math>\begin{matrix}

L^*u &=& (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\

&=& -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\

&=& -(pu)''+(p'u)'+qu \\

&=& -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\

&=& -p'u'-pu''+qu \\

&=& -(pu')'+qu

&=& Lu\\

\end{matrix}</math>

Questo L'operatore gioca un ruolo fondamentale nelladi [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] doveè vengonoun esaminateesempio leben [[autofunzioni]]conosciuto di questo operatore (analoghe agliformale [[autovettorioperatore autoaggiunto|autoaggiunto]]). L'operatore differenziale del secondo ordine <math>L</math> può essere scritto nella forma:

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.</math>

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

==Proprietà degli operatori differenziali==

Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle [[derivata|derivate]], che sono lineari

:<math>\begin{align}

: <math>D (f+g) = (Df) + (Dg)</math>

L^*u &= (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu)\\

&= -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\

&= -(pu)''+(p'u)'+qu\\

&= -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\

&= -p'u'-pu''+qu\\

&= -(pu')'+qu \\

&= Lu

\end{align}</math>

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[Autovettore e autovalore|autovettori]])

: <math>D (af) = a (Df)</math>

==Esempi==

dove ''f'' e ''g'' sono funzioni e ''a'' è una costante.

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il [[laplaciano]], definito come:

:<math>\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.</math>

Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola

Un altro operatore differenziale è l'operatore <math>\Theta</math>, definito come:

:(''D''₁o''D''₂)(f) = ''D''₁ [''D''₂(''f'')].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore ''D''₂ deve essere [[differenziabile]] tante volte quanto l'operatore ''D''₁ richiede. Per ottenere un [[anello (algebra)|anello]] di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è [[commutativo]]: un operatore ''gD'' non è in generale uguale a ''Dg''. Per esempio la relazione semplice in [[meccanica quantistica]]

:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

:''Dx'' &minus; ''xD'' = 1.

== Bibliografia ==

Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in ''D'' con [[coefficienti costanti]] è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

*{{Cita libro | cognome=Evans | nome=Lawrence C. | titolo=Partial differential equations | annooriginale=1998 | url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf | editore=[[American Mathematical Society]] | città=Providence, R.I. | edizione=2nd |serie=Graduate Studies in Mathematics | anno=2010 | volume=19| id={{MathSciNet | id = 2597943}} }}

* A. D. Polyanin, ''Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists'', Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

*Rozhdestvenskii, B.L., in Hazewinkel, Michiel, [[Encyclopedia of Mathematics]], Springer, 2001 ISBN 978-1556080104

==Più variabiliVoci correlate ==

* [[Derivata]]

La stessa costruzione può essere usata con le [[derivata parziale|derivate parziali]].

* [[Derivata parziale]]

* [[Equazione delle onde]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]]

* [[Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica]]

* [[Operatore aggiunto]]

* [[Operatore autoaggiunto]]

* [[Trasformazione lineare]]

* [[Notazione per la differenziazione]]

== Collegamenti esterni ==

==Voci correlate==

* {{Collegamenti esterni}}

* [[Operatore differenziale lineare]]

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:CalcoloOperatori adifferenziali| più variabili]]

[[Category:Operatori differenziali]]

[[de:Differentialoperator]]

[[en:Differential operator]]

[[es:Operador diferencial]]

[[fa:عملگر دیفرانسیلی]]

[[fi:Differentiaalioperaattori]]

[[fr:Opérateur différentiel]]

[[pl:Operator różniczkowy]]

[[pt:Operador diferencial]]

[[ru:Дифференциальный оператор]]